绪
言
1. 什么是运筹学? 运用科学的数量方法﹝主要是数 学模型﹞，研究对人力、财力和物力 进行合理的筹划和运用，以寻求管理 及决策最优化的综合性学科 。 是系统工程学和现代管理科学中 的一种基础理论和不可缺少的方法、 手段和工具。运筹学已被应用到各种 管理工程中。
科学技术：科学技术是第一生产力
发 展 经 济
解： 设 X1、X2、X3 是 甲，乙，丙三种产品的 产量，Z 是工厂的总利润。那么 Z = 3X1+2X2+5X3 这里 Z 称为目标函数，而 X1、X2、X3称为决策 变量。由于各种产品在三道工序的加工时间不能超过 现有的加工能力，所以，
工序
每件产品加工时间（分钟） 每天加工能力 甲（ X1） 乙（X2）丙（X3） （分钟）
所以这个问题就是要求出 X1、X2、X3，它们 满足以上约束条件，并使 Z = 3X1+2X2+5X3 的值 最大。该问题的数学模型为：
求 Z = 3X1+2X2+5X3 的最大值 约束条件 X1+2X2+X3<=430 3X1 +2X3<=460 <=420
X1+4X2 X1>=0，
X2>=0， X3>=0
例 1.4 （产品配套问题）假定一个工厂的甲、 乙、丙三个车间生产同一种产品， 每件产品包括四 个Ａ零件和三个Ｂ零件。这两种零件由两种不同的 原材料制成， 而这两种原材料的现有数额分别是 100公斤和200公斤。每个生产班的原材料需要量和 零件产量如下： 车间 每班进料数（公斤） 每班产量（个数）
0.8
0.5
0.9
1.5
现在我们希望每天得到的维生素不少于所规定 的最低需要量，问应该如何搭配各种食品才能使所 花的费用最少？
维生素
单位
甲
乙
丙
丁
每人每天
Ａ Ｂ C
单价(元)
X1 X2 X3 X4 最低需要 国际单位 1 000 1 500 1 750 3 250 4 000 毫克 0.6 0.27 0.68 0.8 1 毫克 17.5 7.5 0 80 30 0.8 0.5 0.9 1.5
§1.1线性规划的数学模型及其标准形式
通常在线性规划中讨论的决策问题， 1。问题往往有若干个（有限或无限）决策方案 可供选择，需要确定的决策方案或未知数即称为决 策变量。 2。把决策要达到的目标（只能是一个）表示成 这些决策变量即可供选择的决策方案的函数，称为 目标函数。 3。在现实目标函数最优化的过程中，必然会有 各种客观的限制条件。它们是有关决策方案（变量） 的等式或不等式，称为约束条件。 线性规划模型要求这些函数及约束条件都是决 策变量的线性函数或线性方程。
一 二 三
１ ３ １
２ ０ ４
１ ２ ０
４３０ ４６０ ４２０
利润 (元) ３ ２ 对于第一道工序，有：
对于第二道工序，有： 对于第三道工序，有：
５ X1+2X2+X3<=430
3X1 +2X3<=460 <=420 X1+4X2
这些限制变量的条件称为约束条件.又由于X1， X2，X3是表示产量,当然有: X1>=0， X2>=0， X3>=0 这些称为决策变量非负性约束条件。
由于在最后装配数ｙ达到最大的时候， 它的上限是由上面两个不等式中左边较小 的一个来确定的，所以这个问题是求X1， X2，X3。
使ｚ=ｙ最大
约束条件：
7x 1 6x 2 8x 3 - 4y 0 5x 1 9x 2 4x 3 - 3y 0 8x 1 5x 2 3x 3 100 6x 1 9x 2 8x 3 200 x 1 0, x 2 0, x 3 0, y 0
一、建立决策问题数学模型的一般方法。 1、确定决策变量和有关参数 决策什么？有那些可供选择的方案？将 不同的选择方案数量化，设成决策变量。 2、确定目标函数 决策问题的决策目标是什么？它们是决 策变量（各种可选方案）的函数。（本章线 性规划讨论的数学模型仅有一个决策目标） 3、确定约束或限制条件（等式或不等式 方程组）
３．运筹学研究的基本思想和方法：
现实世界系统
假定的
计算
数学模型
现实世界
对复杂的现实世界系统，进行归纳，分析， 整理，从中抽象出数学模型，然后利用数学方 法，以计算机为工具，求解出最优的方案，并 可对得出的方案作种种分析。
４．运筹学的主要分支： 由于客观世界的多样性，复杂性，对不 同的问题，需归结出不同类型的数学模型， 从而有不同的计算方法，所以《运筹学》按 不同的数学模型类型有很多分支。 如“线性规划”、“运输问题”、“目 标规划”、“动态规划”、“整数规划”、 “图与网络”、“存储问题”、“决策和对 决策”、“排队论”和“模拟”等。
0.6X1+0.27X2+0.68X3+0.3X4>=1
17.5X1+7.5X2+30X4>=30 X1,X2,X3,X4>=0
:B
:C
例 1.3 (切割损失问题)。假定某个造纸厂 接到三份订购卷纸的定单，其长和宽的要 求如下：
定单号码
1 2 3
宽（米）
0.5 0.7 0.9
长（米）
1 000 3 000 2 000
该厂生产１米和２米两种标准宽度的卷 纸。假定卷纸的长度无限制，即可以连接起 来达到所需要的长度，问应如何切割才能使 切割损失的面积最小？
解： 每一种标准卷纸可以有好几种切
割的方式。例如 ２米宽的卷纸可以切成四个 0.5 米宽的卷纸，也可以切成二个 0.5 米宽和 一个 0.9 米宽的卷纸，同时产生 0.1米宽的边 上的切割损失等等。
科学管理 决策
定性分析方法
概率统计分析 方法 定量分 析方法
最优化分析方法 （运筹学） 其它数学模型分 析方法
２、运筹学的发展历史： （１）运筹学的思想在我国很早就产生了， 如公元前四世纪春秋战国时 “ 田忌赛马 ” 的故事。 （２）在我们的日常生活，工作中也在有意 无意地运用运筹学的朴素的思想与方法。 （３）作为一门学科，是社会生产力发展到 一定程度的产物，产生于第二次世界大战期间 ，应用到军事系统。 (Operations Research)
这个目标函数是非线性的，但可以通 过适当的变换把它化为线性的。设：
7x 1 6x 2 8x 3 5x 1 9x 2 4x 3 y min , 4 3
因为不知道哪一个比较小，固上式等价于：
7x 1 6x 2 8x 3 5x 1 9x 2 4x 3 y 和 y 4 3
6X1+9X2+8X3<=200
这三个车间所生产的
Ａ零件总数是7X1+6X2+8X3，
Ｂ零件总数是5X1+9X2+4X3
因为目的是要使产品的配套数最大， 而每件产品需要四个Ａ零件和三个Ｂ零件， 所以产品的最大产量将不超过
7X1+6X2+8X3 4
和
5X1+9X2+4X3 3
中较小的一个。
如果设Ｚ是产品的配套数，那么 7x 1 6x 2 8x 3 5x 1 9x 2 4x 3 z min , 4 3
设Ｘij是第 i 种标准卷纸按照第 j 种方式 的切割的长度。那么两种标准卷纸所有可能 采用的切割方式及其边上的切割损失如下表。
宽度 （米）
1米宽卷纸 X11 X12 X13
２米宽卷纸 需要量 X21 X22 X23 X24 X25 X26 (米)
0.5
0.7
2
0
0
1
0
0
4
0
2
1
2
0
1
2
0
1
0
0
1 000
解：设 X1、X2、X3和 X4 是每天采购甲、乙、丙、 丁四种食品的数量，M是每天采购食品的费用，那么 M=0.8X1+0.5X2+0.9X3+1.5X4（求最小值） 约束条件：1 000X1+1 500X2+1 750X3+3250X4>=4 000 : A
0.6X1+0.27X2+0.68X3+0.3X4>=1 : B
（４） 二次大战后，英美等国把对运筹学 的研究从军事部门转移到工业，商业等部门， 对企业管理作出了很大的贡献。 （５） 近年来，随着计算机技术的飞速发 展，运筹学本身的发展与完善，它已应用到 今日经济管理的各个领域，发挥着极为重要 的作用。 作为一门较年青的学科，运筹学本身仍 在不断的发展与完善中．新的模型，新的算 法，新的思想仍在不断涌现。
工序 每件产品加工时间（分钟） 每天加工能力 甲产品 乙产品 丙产品 （分钟）
一 二 三
利润 (元)
１ ３ １
３
２ ０ ４
２
１ ２ ０
５
４３０ ４６０ ４２０
工序
每件产品加工时间（分钟） 每天加工能力 甲产品 乙产品 丙产品 （分钟）
一 二 三
利润 (元)
１ ３ １
３
２ ０ ４
２
１ ２ ０
５
４３０ ４６０ ４０
0.9 0.7
0.4
1000米
可得到0.9宽度的纸3000米，0.7宽度的 纸3000米，而客户需要的0.9宽度的纸只有 2000米，造成0.9米宽的纸的长度上1000米 的浪费。
于是： Z = 0.3X12 + 0.1X13 + 0.3X22 + 0.1X23 +0.1X24 +0.4X25+ 0.2X26 + 0.5S1 + 0.7S2 + 0.9S3 约束条件是： 2X11+4X21+2X22+2X23+X24-S1=1 000 X12+X22+2X24+X25 -S2=3 000 X13+X23+X25+2X26 -S3=2 000 Xij>=0, Si>=0, 对一切 i和 j 。 所以这个问题就是要求出上面所规定的 各个Ｘij和Ｓi，它们满足以上的约束条件并使 Ｚ的值最小。