第3章连续线性算子与连续线性泛函本章将介绍赋范线性空间上，特别是Banach空间上的有界线性算子与有界线性泛函的基本理论，涉及到泛函分析的三大基本定理，即共鸣定理，逆算子定理及Hahn-Banach定理。

他们是泛函分析早期最光辉的成果，有广泛的实际背景, 尤其在各种物理系统研究中应用十分广泛。

3.1连续线性算子与有界线性算子在线性代数中，我们曾遇到过把一个”维向量空间E"映射到另一个加维向量空间E"的运算，就是借助于川行”列的矩阵对F中的向量起作用来达到的。

同样，在数学分析中，我们也遇到过一个函数变成另一个函数或者一个数的运算，即微分和积分的运算等。

把上述的所有运算抽象化后，我们就得到一般赋范线性空间中的算子概念。

撇开各类算子的具体属性，我们可以将它们分成两类：一类是线性算子；一类是非线性算子。

本章介绍有界线性算子的基本知识，非线性算子的有关知识留在第5章介绍。

[定义3・1]由赋范线性空间X中的某子集D到赋范线性空间丫中的映射T 称为算子，D称为算子了的定义域，记为D(r),为称像集｛y|y = 7k,xeD(7')｝为算子的值域，记作T(D)或77)。

若算子T满足：(1)T(x+y) = Tx+Ty e£)(T))(2)T(ax) = (/rx(V<zeF,xe£)(r))称了为线性算子。

对线性算子，我们自然要求T(D)是X的子空间。

特别地，如果了是由X到实数(复数)域F的映射时，那么称算子T为泛函。

例3.1设X是赋范线性空间，a是一给定的数，映射T.x^ax是X上的线性算子，称为相似算子；当a = l时，称了为单位算子或者恒等算子，记作/。

例3・2 XfxeC[a,b],定义Tx(t) =由积分的线性知，T是C[a,b]到C[a,列空间中的线性算子。

若令f (x) = [ x(T)dt(Vx e C[a,b])则/是C［a,b］上的线性泛函。

［定义3.2］设X, Y是两个赋范线性空间，门X t X是线性算子，称T在兀点连续的，是指若e X,x tl—>x,则7\ T7k(” ts)；若丁在X上每一点都连续，则称了在X上连续；称T是有界的，是指T将X中的有界集映成Y中有界集。

［定理3・1］设X』是赋范线性空间，T是X的子空间D到丫中的线性算子, 若了在某一点x o e£)(r)连续，贝灯在D(T)±连续。

证明：对0xwD(T),设｛x”｝u£)(7'),且->x(n ->oo),于是-X + X o -->00),由假设T 在点连续，所以当"TS时，有T (兀一X+勺)=%” 一％+矶 T 矶因此，Tx.—Tx,即了在X点连续。

由X的任意性可知，7*在D(T)上连续。

定理3.1说明线性算子若在一点连续，可推出其在定义的空间上连续。

特别地，线性算子的连续性可山零元的连续性来刻画，即线性算子T连续等价于若(X中零元)，则7\,T& (Y中零元)。

例3・3若T是/?维赋范线性空间X到赋范线性空间丫中的线性算子，则T在X上连续。

证明：在X中取一组基｛知勺,…,£”｝，设兀“ =S E X (m= 1,2,3,…)j-i且x m—> 6(m—>s),即||x w| —>0(w —>oo),贝ij丄£(歼卜0 (〃+)从而—>0(j = 1,2,3,•••”)(〃? ts) o 于是IKII = |輕牝IS踽I側卽引T 0 (心。

0)因此，7兀T&(〃2TS),即丁在x = B处连续，进而T在X上每点连续。

［定理3・2］设X,Y是赋范线性空间，T是X的子空间D到Y中的线性映射,则T有界的充分必要条件是：存在常数M>0,使不等式成立，即证明：必要性。

因丁有界，所以丁将D中的闭单位球B1(^) = {x|||.v||<l}映成Y中的有界集，即像集厲(&)是Y中的有界集。

记M=sup{||7\||："8］(&)}，此由M的定义有<M(3.1)B|J ||7x|| < M ||x||,而当x = &时，不等式(3.1)变成等式。

故VxeD(T)有充分性。

设A是D(T)的任一有界集，则存在常数冋使H<M,(VxeA)o 由||7x||<A/H(xeD(T))知故7X有界。

证毕。

［定理3.3］设X,Y是两个赋范线性空间，T是从X的子空间D到丫中的线性映射，则T是连续的充要条件是丁是有界的。

证明：充分性。

设T有界，则存在常数M>0 ,使对一切x e £)(7'),||7^|| < M ||x||,从而对x” ->s),{x&} u D(T)冇一珂=卩(兀一聊 < M ||兀 _兀|| T 0 (M T O0)即Tx n T 7x(/7 —>°o) o所以，T是连续的。

必要性。

若丁连续但T是无界的，那么对每个nN,必存在%wD(T), 使瓯||>"||兀||，令儿=；^訂，那么II儿卜+ —°3 —°°)，即儿—&，由丁的连续性，7X T%7T S),但是另一方面，內」|=务>怕=1,引出矛盾，Z?||A;,||故T有界。

定理3.3说明，对于线性算子，连续性与有界性是两个等价概念，今后用L(X.Y)表示X到Y的有界线性算子组成的集合。

例3.1 ,例3.2的线性算子均易证明是有界线性算子，但无界线性算子是存在的。

例3.4考察定义在区间［0,1］上的连续可微函数全体，记作C* ［0J］,其中范数定义为H = inax|x(r)|,不难证明，微分算子扌是把C'［0,l］映入C［0,l］中的线性算子。

取函数列{sinw/},显然，卜inw/| = l,但因此，微分算子是无界的。

［定义3・3］设X,Y是赋范线性空间，丁是从X到丫的有界线性算子，对一切XWX ,满足||7：v||<M||x||的正数M的下确界，称为算子丁的范数，记作|卩||。

由定义可知，对一切*X,都有||7：V||<||7'||H O［定理3・4］设X,Y是赋范线性空间，丁是从X到丫的有界线性算子，则有证明：由||7x||<||T||||x||,易得根据卩||的定义，对于任给的£>0,存在非零x() e X ,使令力舒则有网巨PZ),因此由式（3.2）和式（3.3）,便得令£—0得例3・5在l![a,b]上定义算子T 如下（〃）「）叮（巧訂S 问）（1）把T 视为d[a,b]到C[“]的算子,求p||； （2）把T 视为Il[a,b\到的算子，求|卩卜解：算子7的线性是显然的，下面分别求|卩卜（1） 设T ： l![a,b]^C[a,b],任取/ eL*[a^b],由于7/eC[«,Z?],从而网卜喇（〃）⑴卜噩|"（M |故丁是有界的，并且llrll< 1 o 另一方面，取九（/）=_!_,/eg,可，并且b-a uii =£l -A （o^=£^^/r=i 于是 p|| = sup||Tr|| > ||T/… || =黒怂 J ：士力=t 丄弘=1故阿T 。

（2） 设T ： L! [a,b]^l![a,b],任取 / eL 1 [a,b],由于Tf & 11 [a.b],从而可：0>（側）心（j ）M因此T 是有界的，并且|卩||“7；另一方面，对任何使得a + *<b 的自然数允，山定义易知。

1xe a,a + —n作函数f n(X) = <显然£丘厶［恥］,且||£|| = ［|九(/)M = 1，而MI=J：|J：£⑴平15d/+「［〃/dxJd+-n1 . 1 . 1=—+ b — a~— = b-a-—2n n 2n所以，乂有||T||>sup||7jf||=Z>-«因此，卩[|"一°。

此例告诉我们，虽然形式上是一样的算子，但由于视作不同空间的映射，他们的算子范数未必相同。

一般说来，求一个具体算子的范数并不容易，因此，在很多场合，只能对算子的范数作出估计。

例3・6 设K（s,f）在上连续，定义算子T： C[d,b]—>C[a,b]为7X（5）=|K则Tw2L（C[d,b],C[ab]）,且||T|| < max J |^（5,r）dt:a<s<l^证明：由于Smax J* |K（s,/）k〃・max x（f）a<s<b Ja I \ 7|a<s<b ' 7=max j K（5,/）p/r:a<s< Z?J*||x||故结论成立。

事实上，还可以进一步证明||r|| = max < f :a<s< /?}由于证明要用到实分析知识，这里从略。

例3.7已知实矩阵A = （a IJ）,定义T • RJ R”为7k = Ar ,则\ 7 /nxmr n m \2TwL(RSR“),且|卩卜工工砖。

k J— /1\ n ( m丫平证明：IM=11^11= Z X a u x ji \ y-1 丿「/ V 、胡s E TA 2>；_ \ >-i 八丿/_n in \i=EE«<? -HI\ z j-i 7'n m X2故卩卜EE-JI $■］ J-l >对于赋范线性空间X上的线性泛函f,我们总视/为X到数域F所成赋范线性空间的线性算子，因此，关于泛函的连续性，有界性以及它们之间的关系不再重述。

对于赋范线性空间X上的线性泛函/,由于/(x)eF(VxeX),所以ll/(^)ll=\f a)i，因而/的范数就是||/||=sup\f(x)|o•s*对于线性泛函，还有下面的连续性等价定理。

［定理3・5］设X是赋范线性空间，/是X上的线性泛函，则：(1)/是连续的充要条件是/的零空间N(f) = {x\f(x) = O,xeX}是X的闭子空间；(2)非零线性泛函/是不连续的充要条件是2(/)在X中稠密。

证明：(1 )必要性：设/是X上的线性泛函，又设{x”}uN(f),兀Tx(ms),由/的连续性可得/(x) = lim/(x n) = Oo 因此，JI «—►scxe/v(y),所以2(门是X的闭子空间。

充分性：设2(f)是闭集，如果/•不是有界线性泛函，则对每个自然数”，必有捡eX,卜讣=1,使得\f (xj|>«o闭集矛盾。