第二章 线性算子与线性泛函第一节 有界线性算子一、线性算子本段中只需假设,,X Y Z 等是K 上的向量空间。

定义： 若一个映射:T X Y →满足()(,,,)T x y Tx Tyx y X αβαβαβ+=+∈∈K ，则称T 为从X 到Y 的线性算子。

容易看出，上述等式可推广到更一般的情形：()i iiiiiT x Tx αα=∑∑。

命题2.1.1 设:T X Y →是一线性算子，则以下结论成立：（1）任给子空间A X ⊂与子空间B Y ⊂，TA 与1T B -分别为Y 与X 的子空间。

特别，(0)0T =与()R T TX =（值域）是Y 的子空间；1()(0)N T T -是X 的子空间（称为T 的核或零空间）。

（2）若向量组{}i x X ⊂线性相关，则{}i Tx 亦线性相关；若A 是X 的子空间且dim A <∞，则dim dim TA A <。

（3）T 是单射(){0}N T ⇔=。

说明：若0()Tx Y x X ≡∈∈，则称T 为零算子，就记为0；若(),Tx x x X αα≡∈∈K 为常数，则称T 为纯量算子（或相似变换，若0α≠），记作I α，当0α=与1时，I α分别是零算子和单位算子。

对线性算子可定义两种自然的运算：线性运算与乘法。

若,:T S X Y →是线性算子，,αβ∈K ，则:T S X Y αβ+→是一个线性算子，它定义为()().(2.1.2)T S x Tx Sx x X αβαβ+=+∈若:R Y Z →是另一个算子，则由()()().(2.1.3)RT x R Tx x X =∈定义出一个线性算子:RT X Z →，称它为R 与T 的乘积。

实际上，线性算子的乘积就是它们的复合。

容易原子能正验证，如上定义的运算有以下性质：11(),()();R T S RT RS R R T RT R T +=+⎧⎨+=+⎩分配律()();()Q RT QR T =结合律()()(),()RT R T R T αααα==∈K只要以上等式的一端有意义。

若线性算子:T X Y →为双射，则称它为线性同构，此时其逆映射1:T Y X -→亦为线性算子。

T 是线性同构的充要条件是，存在线性算子:S Y X →，使得,(2.1.4)X YST I TS I ==二、有界线性算子定义2.1.2 设:T X Y →是一个线性算子。

令sup /(2.1.5)x T Tx x≠=若T <∞，则称T 为从X 到Y 的有界线性算子，且称T 为T 的算子范数，简称为范数。

若T =∞，则称T 为无界算子。

约定以(,)L X Y 记从X 到Y 的有界线性算子之全体，(,)L X X 简写为()L X 。

注1：:T X Y →的有界的等价刻画： （1）0,k x X ∃>∀∈，有;Tx k x ≤或 （2）T 映X 中的有界集为Y 中的有界集。

注2：若(,)T L X Y ∈，则对任给的x X ∈有(2.1.6)Tx T x≤注3：范数定义的几种等价形式 （1）1sup (2.1.7)x T Tx== （2）1sup (2.1.8)x T Tx≤=（3）inf{0:().(2.1.9)T k Tx k x x X =≥≤∀∈例2.1.3 设[,]()J a b a b =<，给定()C J ϕ∈。

定义()()()(,()),Tu x x u x x J u C J ϕ=∈∈T 是从()C J 到自身的线性算子。

求T 。

命题2.1.4 设:T X Y →是一个线性算子，则T 有界T ⇔连续。

推论：（1）T 是拓扑同构T ⇔与1T -皆连续（即T 为同胚）； （2）若(,),{}n T L X Y x X ∈⊂，nx∑收敛，则有111()(lim )lim ()lim n n nn k k k n n n n nk k k nT x T x T x Tx Tx →∞→∞→∞=======∑∑∑∑∑。

例2.1.5：设[0,]J π=，在1()C J 与()C J 中均采用sup 范数。

显然1:()(),(2.1.10)dT C J C J u u dx'=→→是一线性算子。

令()sin n u x nx =，则01nu =，而0n u n '=，可见T 是无界算子。

三、有界线性算子的运算与扩张命题2.1.6：(,)L X Y 依算子范数是一个赋范空间；当空间Y 完备时，(,)L X Y 是Banach 空间。

定理 2.1.7（扩张定理）：设D 是X 的稠密子空间，(,)T L D Y ∈，Y 完备，则T 可保持范数惟一地扩张到X 上。

若线性算子:T X Y →是单射（即(){0}N T =），则1:()T R T X -→是一确定的线性算子，当它有界时称为T 的有界逆，并说T 有有界逆。

命题2.1.8线性算子:T X Y →有有界逆的充要条件是存在0k >，使得().(2.1.14)Tx k xx X ≥∈。

第二节 常用有界线性算子一、矩阵设,X Y 是有限维赋范空间，dim ,dim ,(,)X n Y m T L X Y ==∈。

分别取X 的基{}j e 与Y 的基{}i ε。

设(1),j ij iiTe a j n ε=≤≤∑则T 完全由矩阵[]m nij A a ⨯=∈K所确定。

若,(,)T S L X Y ∈分别对应矩阵,,,m n A B αβ⨯∈∈K K ，则算子T S αβ+恰好对应矩阵A B αβ+。

这样，线性算子空间(,)L X Y 线性同构于矩阵空间m n ⨯K ，因而对(,)L X Y 的研究可代之以对m n ⨯K 的研究。

任给[]m nij A a ⨯=∈K，依矩阵乘法自然地定义一个线性算子：,,(2.2.1)n m x Ax →→K K其中x 当作1n ⨯阶矩阵。

不妨用同一字母A 表示算子（2.2.1），它也可表成：,(),(),(2.2.1),1,2,,.n m j i i ij j j y Ax x x y y y a x i m ⎧==∈=∈⎪'⎨==⎪⎩∑K K若在n K 中使用范数1(),1,(2.2.2)max ,,p p jj pj jx p xx p ⎧≤<∞⎪=⎨⎪=∞⎩∑则n K 可看作pl 的子空间，只需将()n j x x =∈K 等同于pl 中的元1(,,,0,0,)T n x x 。

通常称范数（2.2.2）为p 范数，采用p 范数的nK 也记作p n l 。

相应地，算子:p p n m A l l →（定义见（2.2.1））的范数记作p A ，即1sup .(2.2.3)p p p x A Ax ≤=p A 也称为A 的p 范数。

命题2.2.1 设[]m nij A a ⨯=∈K，则1max ;(2.2.4)ij jiA a =∑。

1max ;(2.2.5)T ij ijA a A ∞==∑2}j jA λ=是T A A 的特征值的全体。

(2.2.6)以[](,1,2,)ij A a i j ==记一个无穷矩阵，其中ij a ∈K 。

仿照(2.2.1)'，形式地定义一个算子x Ax →：,(),(),(2.2.7),1,2,,.j i i ij j j y Ax x x y y y a x i ===⎧⎪⎨==⎪⎩∑仍将式（2.2.7）所定义的算子记作A 。

命题2.2.2 设算子A 定义如式（2.2.7），p A 依式（2.2.3）（但假定其中px l ∈）。

（1）若sup ij jia β<∞∑，则1()A L l ∈且1A β=。

（2）若sup ij ija β<∞∑，则()A L l ∞∈且A β∞=。

（3）若122,()ij i ja β<∞∑，则2()A L l ∈且2A β≤。

二、积分算子设[,]()J a b a b =<，函数(,)K x y 为定义在J J ⨯上的Lebesgue 可测函数。

定义积分算子()(,)()().(2.2.8)baTu x K x y u y dyx J =∈⎰要求上述积分对几乎所有x J ∈存在，函数(,)K x y 称为积分算子T 的核或核函数。

命题2.2.3 设(,)K x y 是J J ⨯上的Lebesgue 可测函数，算子T 依式（2.2.8）定义，约定sup ()xess x ϕϕ∞=（L ∞范数又称为本性上确界）。

1、若sup (,),bay Jess K x y dx β∈<∞⎰则1(())T L L J ∈且T β=。

2、若sup (,),bax Jess K x y dy β∈<∞⎰则(())T L L J ∞∈且T β=。

3、若122((,)),bbaaK x y dxdy β<∞⎰⎰则2(())T L L J ∈且T β≤。

例子 考虑积分算子：()().()(2.2.9)xaTu x u y dy x J =∈⎰取1,,(,)0,,y x K x y y x ≤⎧=⎨>⎩可将（2.2.9）写成（2.2.8）的标准形式。

由命题2.2.3得：1sup ;byy JT ess dx b a ∈==-⎰sup ;xax JTess dy b a ∞∈==-⎰122()bxaaTdx dy ≤=⎰⎰。

命题2.2.4 设(,)K x y 在J J ⨯上连续，积分算子T 定义如式（2.2.8），则(())T L C J ∈，且sup (,).(2.2.10)bax JT K x y dy ∈=⎰下面考虑几个具有特殊形式核的积分算子。

（一）给定函数ϕ，以(,)()K x y x y ϕ=-为核。

此时，积分算子为()()()()(2.2.11)n n RT u x x y u y dyx R ϕϕ=-∈⎰通常将式（2.2.11）右端的积分记作u ϕ*，并称它为函数ϕ与u 的卷积。

算子T ϕ显然是在其有定义的集合上的线性算子，其定义域与性质则取决于ϕ的选择。

命题2.2.5 设1/(1)p q q ≤=-≤∞。

（1）若1()n L ϕ∈R ，则(())p n T L L ϕ∈R ，且1T ϕϕ≤。

（2）若()pnL ϕ∈R ，则((),())q n n b T L L C ϕ∈R R ，且p T ϕϕ≤，此处()()()n n n b C C B =R R R ，采用sup 范数。

（3）若2()nL ϕ∈R ，则2((),())n n b T L L C ϕ∈R R ，且2T ϕϕ≤。

定理的证明需要如下引理：引理 2.2.6 设()(1)p n L p ϕ∈≤<∞R ，()()x y x y ϕϕ=+，则当,0nx x ∈→R 时有0x pϕϕ-→。