定义3.3.3（对偶空间）
当赋范空间 X 上定义的线性算子空间
B ( x , y ) 中的元素为有界线性泛 X * 表示。
举例：
1、Rn中由点积定义的泛函
2、Lp[a,b]空间
3.3.3 希尔伯特空间上泛函的一般形式
定理3.3.4（黎斯表现定理） 希尔伯特空间 H上任一有界线性泛函可由内积表示，即 f ( x ) = < x , z > （对任意 x ∈ H ）
h ( x , y) = < S x , y> x∈ H1 ，y∈H2
其中S： H1 → H2 为一有界线性算子，且 由 h 唯一确定，并有范数 ‖ S‖ = ‖ h‖
3.3 有界线性泛函和对偶空间 3.3.1 有界线性泛函 定义3.3.1（线性泛函） 设 X 为线性
空间，f 为 D ( f )（含于X）到数域 K 的
线性算子，则称 f 为线性泛函，D ( f ) 为 f
的定义域，而
R ( f ) = { f ( x ) ∣x ∈ D ( f ) }
为 f 的值域。简单说：值域为数域的算子 称为泛函。
实双线性泛函，简称双线性泛函。
举例
1
2
有界及范数的定义
定义3.3.7（二次泛函）在双线性泛函中，
如果令 x = y，则称为 X × X 到 R 上的泛
函，称作二次泛函。
举例：二次型，信号的能量
定理3.3.8（双线性泛函的黎斯表示）
设 H1、H2为希尔伯特空间，h： H1 × H2 → K 为有界复双线性泛函，则 h 可以 表示为
定义3.3.2（有界线性泛函）
设X是数域K上的赋范空间，f： D ( f )
→K是线性泛函，如果存在常数 C > 0，使
得对所有 x ∈ D ( f ) 有
︱f ( x )︱ ≤ C ‖x‖ 则称 f 为有界线性泛函，其范数与以前定义
的算子的范数一致。
举例：
1、点积
2、定积分
3、范数
3.3.2 对偶空间
3.3.4 双线性泛函和二次泛函
定义3.3.6（双线性泛函）设 X、Y 是同一 数域上的线性空间，如果映射 h： X × Y → K
对所有x，x1，x2 ∈ X 及所有y，y1，y2 ∈ Y，α，β ∈ K 均有 （1）h ( x1 + x2 , y ) = h ( x1 , y) + h ( x2 , y )
（2）h ( x , y1 + y2 ) = h ( x , y1) + h ( x , y2 )
（3）h ( α x , y ) = α h ( x , y)
（4）h ( x , β y ) = β h ( x , y)
则称 h 是 X × Y 上的复双线性泛函，若
K = R，X，Y都是实线性空间，h 就称为
其中 z ∈ H 依赖于 f 并由 f 唯一地确定，其 范数为 ‖ z ‖ = ‖ f‖
引理3.3.5（相等性）
若v，v1，v2 ∈ X，X为内积空间，对
所有 ω ∈ X，均有 < v1 , ω > = < v2 , ω > ,
则v1 = v2 ；若 < v , ω > = 0 , 则有v = θ。