4 2 1
y 0
3 2
略去高次项
d 3 2 3 [ u ] a dx 20 2
d 2 a 2 d u u 10 dx dx
d 2 a 2 d u u 10 dx dx
d
令：
3
d 3 39 1 dx 4 x 56 x Pr
一阶线性常微分方程
d 3 39 1 dx 4 x 56 x Pr
P
Q
通解： e
Pdx
Pdx ( Qe dx c)
13 1 cx 3 / 4 14 Pr
x 0, t 0
基本思路

1) 建立边界层积分方程。 2) 对边界层内的速度和温度分布做出假 设，常用的函数形式为多项式。 3) 利用边界条件确定速度和温度分布中的常 数，然后将速度分布和温度分布带入积分方程， 解出 t 4) 根据求得的速度分布和温度分布计算边界 上的 c fx Nux
边界层能量积分方程式
w w
边界层动量积分方程解：
d du u ( u u ) dy dx 0 dx


0
(u u )dy
u y
y 0
d u u u u (1 )dy 0 dx u u y
2
y 0
假定速度分布函数： u a0 a1 y a2 y 2 a3 y3
140 dx 13 u
280 x 13 u
2
280 d 2 a 2 140 x 10 13 dx 13
13 2 d 3 4 x dx 14 Pr
d 2 13 3 2 x dx 14 Pr 4 d 3 13 3 x 3 dx 14 Pr
y 0： u 0
u u 2u u v v 2 x y y
2u 0 2 y
y ： u u
u 0 y
平板层流边界层微分方程组中 的速度场方程
u a0 a1 y a2 y 2 a3 y3
y 0： u 0
2u 0 2 y
y ： u u
3
13 1 cx 3 / 4 14 Pr
3
0
c0
13 1 14 Pr
t 1 Pr 1/ 3 Pr 1/ 3 1.025
T hx Twx T y

y 0
3 1 2
3 x Nux 2
hx x
1/ 2 3 Re 1/ 2 1/ 3 1/ 3 x 0.332 Re Pr 1.025Pr x 2 4.64
对控制体应用质量，动量和能量守恒关系，导出动量 积分方程和能量积分方程。
能量积分方程：
d t t u (t t )dy a dx 0 y
y 0
边界层动量积分方程式
动量积分方程：
d du u (u u )dy dx 0 dx


0
u (u u )dy y
边界层积分方程组求解

报告人：慈超 学 号：2013110806
边界层积分方程组求解
背景


1921年，冯卡门提出了边界层动量积分方程。 1936年，克鲁齐林求解了边界层能量积分方程所得 的结果称为边界层问题的近似解。 边界层积分方程一般可由两种方法获得：一是将动 量守恒定律和能量守恒定律应用于控制体：二是对 边界层微分方程直接进行积分。前一种方法物理意 义清晰，有助于对流动和换热机理的理解；后一种 推倒方法比较简捷。
y 0
假定速度分布函数： b0 b1 y b2 y2 b3 y3
y 0： 0
T T 2T u v a 2 x y y
2 0 2 y
y ：
0 y
平板层流边界层微分方程组中 的温度场方程
b0 b1 y b2 y2 b3 y3
c fx
wx
1 2 u 2
0.646 Re
1/2 x
边界层能量分析求解 边界层温度场、厚度、及壁面温度梯度，从而 求出表面传热系数。 为简化方程推导，设定换热条件是：1）壁温 为t w ，主流温度为 t ，主流速度为 u2）流 体为常物性，且 pr 1 3）流体无内热源也不 考虑耗散热。根据热边界层的特点，x方向上 导热很小故不考虑，只考虑y方向的导热。
y 0
动量积分方程的求解
动量积分方程式推导中没有附加紊流或层流的 条件，故它不仅适用于层流也适用于紊流。但 求解时，必须先给出边界层速度分布函数以及 粘滞应力的表达式。给出的这两个函数是否精 确将影响到积分结果，这是积分方程解的特点， 因此其解是近似的。
外掠平板层流边界层的厚度及摩擦系数

作为实例，把 u 作为常数，此时动量积分方 du 程左边第二项为0，且 dy。同时为积分 方程，补充的边界层速度函数一般选用多项式 较好，也可选用其他形式函数，选择哪一种， 主要看它能否更好表达边界层内的速度分布。
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u 0 y
a0 0
a1 3/2
u

a2 0
u a3 3 2
u 3y 1 y 3 ( ) u 2 2 代入动量积分方程后求解得：


0
140 d 13 u

0
x
dx

x

280 1/2 4.64 Re x 13 u x

x

280 1/2 4.64 Re x 13 u x
代入速度分布方程：
u 3 y 1 y 3 ( ) 1/2 1/2 u 2 4.64 Re x 2 4.64 Re x x x
u w y
y 0
3/2 3 u u 0.323 1 / 2 2 4.64 Re x x x
tw
外掠平板层流热边界层厚度及表面传热系数

以外掠平板层流作为实例，为求解能量积分方 程，必须先给出边界层速度分布函数u和边界 层温度分布函数t，速度分布函数u已确定了， 尚须补充温度分布函数，仍选用多项式函数。
边界层能量积分方程解：
引入过余温度：θ=T-Tw
d t u u (1 )dy a dx 0 u y
y 0： 0
2 0 2 y
y t：
b2 0
0 y
b0 0
b1 3/2
b3 1/2
3 y 1 y 3 ( ) 2 t 2 t
令：
t /
1
t y
d 3 2 3 4 3 代入能量积分方程： dx [ u ( 20 28 )] 2 a