从而得到湍流边界层厚度的分布
15
0.370 x
x
由此可见：湍流边界层厚度（δ∝x4/5），比层流边界 层厚度（δ ∝ x1/2）随进流距离增加而增厚要快得多。
第二节 平面层流边界层微分方程（普朗特边界层微分方程）
所以，原方程组就简化为
x
y 0
x y
x
x
x
y
x
y
2 x
y 2
定解条件为
y 0， 0， 0
x
y
y ，
x
0
普朗特边界层微分方程的解是由他的学生布拉修斯
在1908年首先求出的，他首先引入了流函数的概念，
得出边界层微分方程的解是一无穷级数。
（3）湍流区：随着流进尺寸的进一步增加，使得Rex > 3×106，这时边界层内的流动形态已进入湍 流状态，边界层的厚度随流进长度的增加而 迅速增加。
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第一节 边界层理论的基本概念
应特别强调的是：无论过渡区还是湍流区，其边界层最 靠近壁面的一层始终都是作层流运动， 此即所谓的层流底层。
第三节 边界层内积分方程（冯—卡门方程）
2）从CD面单位时间流出的动量记为M x+Δx，流出的质量 记为m x+Δx
m x x
l
dy
0
x
d dx
l
dy x
0
x
M x x
l
x
2dy
0
d dx
l
x

dy
0
x
3）从BC面单位时间内流入的质量记为ml，流入的动量
在x方向的分量记为Ml ；而AD面没有流体的流入、 流出。
作用在AB面和CD面上的压力差而施加给控制体的作用
力为
Fp
l 0
pdy
l 0
pdy
d dx
l 0
pdy
Vx
d dx
l 0
pdy Vx
通过前面的推导我们已经知道
p 0 y
所以，上式变为
Fp
dp dx
lx
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第三节 边界层内积分方程（冯—卡门方程）
上式即为简化后的冯～卡门方程，可以用于不同的流 态，只要是不可压缩流体就可。
二、 层流边界层积分方程的解
波尔豪森是最早解出冯～卡门方程的人，他分析了方 程的特点，假设在层流情况下，速度的分布曲线是y的三 次方函数关系，即
υx=a+by+cy2+dy3
式中的四个待定常数a、b、c、d 可由以下边界条件确定：
于是， x方向动量传输方程可简化为
x
x
x
y
x
y
1
p x
2 x
y 2
关于y轴方向上的动量传输方程，因为边界层厚度δ很
小，第三式中的Vy对x和y的各项偏导数与x轴方向上的
动量传输相比均属无穷小量，可略而不计。因而，第三
式可以简化为
p 0 y
p dp x dx
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第三节 边界层内积分方程（冯—卡门方程）
这些边界条件是
1）y 0, 0 x
3）y
,
x
0
y
2）y ,
x
0
4）y
2
0, x
0
y 2
条件1），2），3）是显而易见的; 条件4）是由于y=0
时，υx= υy =0； 再结合前面推导的普朗特微分方程而 得到
边界层理论
理论形成的背景：
实际流体流动方程是非线性偏微分方程，难以求解；人 们注意到大多数实际流体的流动都可以分为两个区域，即 靠近壁面、速度梯度较大的一薄层（边界层）和大部分远 离壁面、速度梯度较小的区域。对速度梯度较小的区域可 以利用理想流体的欧拉方程和伯努利方程求解；对很薄的 边界层可以通过简化后再求解。这样就将整个区域求解问 题转化为主流区的理想流体的流动问题和靠近壁面边界层 内的流动问题。当然，与此同时就有一个区域的划分问题 或者说有一个边界层厚度的确定问题。
圆管内湍流速度分布的1/7次方定律
x
0
y R
1
7
用边界层厚度δ代替式中的R得到
x
0
y
1
7
用它来代替波尔豪森多项式的速度分布，根据圆管湍
流阻力的关系式，得出壁面切应力τ0为
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第三节 边界层内积分方程（冯—卡门方程）
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第二节 平面层流边界层微分方程（普朗特边界层微分方程）
f ( ) A2 2 1 A22 5 11 A23 8 375 A24 11 L
2! 2 5! 4 8!
8 11!
n1
1 2
n
An1 2
3n 2
!Cn 3n2
第二节 平面层流边界层微分方程（普朗特边界层微分方程）
一、 微分方程的建立 对于二维平面不可压缩层流稳态流动，在直角坐标系下 满足的控制方程为
x
y
0
x y
连续性方程
x
x
x
y
x
y
X
1
p
x
2x
x2
2x
y 2
x方向动量传输方程
x
y
x
y
y
y
Y
1
p y
2 y
x2
2 y
y 2
y方向动量传输方程
第一节 边界层理论的基本概念
当Re< Recr时，流动为层流；Re > Recr 时，流动为湍流。 对于流体掠过平板的流动，流动形态仍然可通过雷诺数来
判别，不过此时的雷诺数用 Rex=xν0ρ/η 计算。
其中：x 为流体进入平板的长度，又称进流深度；
ν0 为主流区流体速度。 对于光滑平板而言：Rex<2×10 5 时为层流；Rex>3×10 6 时为湍流；2×10 5 <Rex <3×10 6为层流到湍流的过渡区。
式中：Cn为二项式的系数；A2为系数，可由边界条 件确定。
边界层厚度δ与流进距离x 和流速υ0 的关系为
5.0 x 5.0 1 x
Re
0
x
式中Re 0 x x
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第三节 边界层内积分方程（冯—卡门方程）
一、 边界层积分方程的建立
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边界层理论
意义：粘性流体流动理论应用于实际问题，明确了研究
理想流体流动的实际意义，在流体力学的发展中起了非 常重要的作用。
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第一节 边界层的基本概念
一、边界层的定义 边界层：流体在流经固体壁面时，在固体壁面形成速度
第二节 平面层流边界层微分方程（普朗特边界层微分方程）
对主流区中的同一 y 值，不同的 x 值其伯努利方程可写为
p 02 C 2g
由于ρ与υ0皆为常数，故p为常数，即 dp/dx=0
因此
x
x
x
y
x
y
1
p x
2 x
y 2
x
x
x
y
x
y
2 x
y 2
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注意：层流底层和边界层的区别与联系 层流底层是根据有无脉动现象来划分；边界层则是 根据有无速度梯度来划分。边界层内 的流体可以是层流流动，也可以是作 湍流流动。
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第一节 边界层理论的基本概念
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建立动量守恒方程如下
l 0
2 x
dy
l 0
2 x
dy
d dx
l 0
2 x
dy
Vx
0
d dx
l 0
x
dy
Vx
0
Vx
dp lVx dx
0
化简后得
d
dx
l
0
0
x
x
dy
0
dp l dx
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第三节 边界层内积分方程（冯—卡门方程）
注：x
t
x
x
x
y
x
y
z
z
z
X
1
p x
2x
x2
2 x
y 2
2z
z 2
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第二节 平面层流边界层微分方程（普朗特边界层微分方程）
考虑不可压缩流体作平面层流（二维流场），此时质量
力对流动产生的影响较小，则有方程组
x
y 0
x y
连续性方程
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