3) 对质点，各力作功之和等于合力作的功
Wi
i
i
L
Fi
dr
L
F合
dr
4) 功的计算
F
Fx
i
Fy
j
Fz
k
dr dx i dy j dz k
W
B F dr
A
A（B Fx dx Fy dy Fz dz）
例 1：一质量为 m 的小球竖直 落入水中， 刚接触水面时其 速率为 v0。设此球在水中所受 的浮力与重力相等，水的阻力 为 Fr = – b v, b 为一常量。 求阻力对球作的功与时间的 函数关系。
定 理
力(矩)的空间积累(功)引起动能的变化。
能量、动量和角动量的守恒定律是自然界 的基本规律，适用范围远超出牛顿力学。
思路：单个质点 质点系
§3.1 质点和质点系的动量定理
一.力的冲量，质点的动量定理
牛顿第二定律
F
dp
dt
Fdt dp 两边对时间积分
t
2
F
(
t
)dt
t1
p2
p1
2rdr d(r 2 ) d(r r ) d r r r dr 2r dr
二.保守力与非保守力
保守力：作功与路径无关，只与始、末位置 有关的力
保守力的等价表述：
F dr 0
沿任意闭合路径做功为零的力 L
A
F dr F dr F dr
L
ACB
ADB
C
D
(3) 动量守恒定律比牛顿定律更普遍更基本， 在宏观和微观领域都适用
例1：某静止的原子核衰变辐射出一个电子
e和一个中微子 后成为一个新原子核 N。
求pe p1N.2
1022
?
(SI),
pν
解：p e
pν
pN
0
pN ( pe2 pν2 )1 2
6.4 1023 (SI),
pe pν
p
(动量定理)
• 冲量：力的时间积累 I
t
2
F
(
t
)dt
t1
讨论
动量定理
I p
1) 特征：过程量＝状态量的增量
冲量矢量是过程量，动量矢量是状态量
2) 矢量关系 3) 分量形式
p2
I
p1
I x
t2 t1
Fx
(
t
)
dt
p2 x
p1 x
4) 只适用于惯性系
5) 估算合外力的平均作用力
t
讨论 外力和内力 内力仅能改变系统内某个物体的动量， 但不能改变系统的总动量
例2：链条长为 l，单位长度的
质量为，放在有小孔的桌上。
m2
O
链条一端由小孔稍伸下，其余
部分堆在小孔周围。由于某种
m1
y
扰动，链条因自身重量开始
下落。忽略所有摩擦，且认为
y
链条软得可以自由伸开。
求链条下落速度 v 与 y 之间的关系。
2
F
(
t
)dt
t
F
,
t1
t t2 t1
动量定理
平均力
F
p
t
平均力的分量
Fx
px t
Fx
固定 I, 延长作用时间
缓冲
Fx
I
t
0 t1
t2
例1：质量为0.05 kg、速率为 10 m·s-1的刚球，以与钢板法线 呈45º角的方向撞击在钢板上， x 并以相同的速率和角度弹回来。 设碰撞时间为0.05 s。求在此 时间内钢板所受到的平均冲力。
y 0
势能零点： 地面或末态
万有引力势能
G m m EP r
EP
r
0
势能零点： 无穷远处
§3.6 功能原理 机械能守恒定律
一.质点系的动能定理
对第 i 个质点应用动能定理 Wiex Wiin Eki Eki0
外力功 内力功
m1
Fiex
m2 Fiin mi
• 质点系的总动能 Ek Ek1 Ek2 ... EkN • 质点系的动能定理 W ex W in Ek Ek0
质点系动量定理： t
动量守恒定律：F
t0 ex
F
ex
0
dt
p p
p0 p0
分量形式：若某方向合外力为零， 则沿此方向动量守恒。
Fxex 0 px px0
讨论 (1) 系统的总动量保持不变，但系统内
任一物体的动量是可变的
(2) 守恒条件：合外力为零 外力 << 内力(碰撞、爆炸)时 动量近似守恒。
v1 3.17103 m/ s
§3.4 动能定理
一.力的功
F
恒力作用，直线运动 W F r cos F
r
r
变元力功作dW用， 曲F 线 d运r 动
B
dr
B F
W A F d r
A
讨论
dW
F
dr
F
cos
ds
1) 元功的正负
0o 90o , dW 0
90o
90o
第三章 动量守恒定律和 能量守恒定律
§3.1 质点和质点系的动量定理 §3.2 动量守恒定律 §3.4 动能定理 §3.5 保守力与非保守力 势能 §3.6 功能原理 机械能守恒定律
作业 3-8；3-9；3-12；3-19； 3-20；3-26
本章基本要求
• 理解动量、冲量概念，掌握动量定理 和动量守恒定律
牛顿第二定律
Ft
m
dv dt
dW m dv ds m dv
dt
A v1 dr
θ B
F
(合外力)
v2
W
v2 mv dv
v1
1 2
mv22
1 2
mv12
质点动能
EK
1 2
m 2
W
1 2
mv22
1 2
mv12
Ek 2
Ek1
质点的动能定理：合外力对质点所作的功，
等于质点动能的增量
• 功是过程量，动能是状态量；
F钢板 F
14.1 i (N)
(压力)
例：逆风行舟
显示动量定理的矢量性
水
F阻 龙骨 F横
F
F横
F纵
m t
v风 (1 - cos )
【思考】逆风行舟中， 能否顶风前进？
前进方向
V
v1
F纵
m F帆对风
帆
v2
p1 p
p2
v2 v1
二.质点系的动量定理 Fi
1. 质点系 (研究对象)：
N d N
i 1
Fi j
ji
Fi
i 1
dt
i 1
pi
所有内力 之和＝0
合 外力 F ex
总动量 p
mi
Fi j Fji
mj
Fj
F ex
F1
F2
FN
pdpmF1ex1(质m点2系2动量...定m理N的N 微分形式)
dt
I ex
t
F
ex
dt
t0
p
p0
质点系动量定理：作用于系统的
合外力冲量等于系统动量的增量
解：以整段链条为系统，建立坐标系
F ex m1g yg 质点系的总动量 p y v
质点系动量定理
dp F exdt
yg dt d( yv)
dy
dt
dt dy
y2 g dy y d( yv)
g y3 ( y )2
d[
] 0
32
m2
O
m1
y
y
v 2gy 3
§3.2 动量守恒定律
• 能计算变力的功，理解保守力作功的 特点及势能的概念，会计算万有引力、 重力和弹性力的势能
• 掌握动能定理、功能原理和机械能守恒 定律，掌握运用动量和能量守恒定律 分析力学问题的思想和方法
基本物理量：动量、角动量、能量 动量描述平动，角动量描述转动。
运 的时间积累(冲量)引起动量的变化；
动 力矩的时间积累 引起角动量的变化。
讨论 W ex W in Ek Ek0
• 内力可以改变质点系的总动能
• 计算质点系的功时，需考虑所有的力， 包括内力和外力，和它们的作用路径。
• 通常将内力分为保守内力和非保守内力
W
in
Wcin
W in nc
非保守内力 做的功
二.质点系的功能原理
W
ex
Wcin
W in nc
Ek
Ek 0
180o F
, dr
dW
dW
0
0
dr
F
ds dr
2) 瞬时功率：功随时间的变化率
P dW
Fv
dt
P Fvcos
讨论
W
B F dr
A
1) 功是过程量，反映力的空间积累； 数值一般与路径、参考系有关
平均功率：P
W t
(做功的快慢)
2) 功的单位：焦耳 1 J 1 N m 功率的单位：瓦特 1 W 1 J s1 1 kW 103 W
若只有保守内力作功，则质点系的
动能和势能相互转换，机械能保持
不变
例 1：雪橇从高 h=50 m 的山顶 A点沿冰道 由静止下滑, 坡道 AB 长为 s′=500 m。滑 至点 B 后，又沿水平冰道继续滑行，滑行 若干米后停止在 C 处。μ=0.050。求雪橇 沿水平冰道滑行的路程 s。
解：应用功能原理
W xB(kx)dx xA
F k x