§2.质点系动量定理和质心运动定理
质点系的动量定理

t
t0 t
n ( F1 f1i )dt m1v1 m1v10 ( F2 f 2i )dt m2 v2 m2 v20 ( Fn f ni )dt mn vn mn vn 0
if
m1 m2
u1 v2 u2 v1
在完全弹性正碰中，质量相等的两个物体碰撞后相互交 换了速度。
if m1 m2
且v2 0
m1 m2 2m2 u1 v v 1 m m m m 2 2 2 1 1 m2 m1 2m1 u2 v v 2 m m m m 1 1 1 2 2
完全非弹性碰撞：两球碰后合为一体，以共同的速度运
动。 •非弹性碰撞：碰撞过程中两球的机械能（动能）要损
失一部分。
mv mv , mv mv mu mu
1 1 2 2
1
1
2
2
1
1
2
2
1 1 1 1 mv mv mu mu, 2 2 2 2
1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2
例 ：求半径为R、顶角为2的均匀圆弧的质心。
解：选择如图所示的坐标系，圆弧关于x 轴对称。 设圆弧的线密度为 ， 取质量元dm = R d
O
α α
dθ
θ
dl
x
坐标为x=R cos
则圆弧质心坐标为
xC xdm dm
xRd Rd
R cos d
R
2
d

Rsin

例 如图，在半径为R的均质等厚大圆板的一侧挖掉 半径为R/2的小圆板，大小圆板相切，求余下部分的质心
解：选择如图坐标系，考虑对称性，余 下部分质心的y坐标为零，仅需求x坐标 大圆板质量为 M R 2 ， 质心坐标为 xc 0 y
0
1 2 小圆板质量为 m1 R， 4 质心坐标为
O
如果绳子张力的作用时间为Dt，根据动量定理，则有
FT Dt mv (mu ) FTDt m0v 0
由以上两式可以解得绳子刚被拉紧时两个物体的运动 速率，
mu m v 2 gh m0 m m0 m
物体m0所能达到的最大高度Zm可以用能量关系求解 系统初状态的机械能

t
t0
n n Fi dt mi vi mi vi 0 n i 1 i 1 i 1
在一段时间内，作用于质点系的外力矢量和的冲 量等于质点系动量的增量。
——质点系动量定理
d n Fi mi vi dt i 1 i 1
n
（微分形式）
o
x
证明：取如图坐标，设t时刻已有
x长的柔绳落至桌面，随后的dt时 间内将有质量为ldx（Mdx/L)的 柔绳以dx/dt的速率碰到桌面而停 止，它的动量变化率：
o
x
根据动量定理，桌面对柔绳的冲力为：
柔绳对桌面的冲力F＝－F’ 即：
而已落到桌面上的柔绳的重量为mg=Mgx/L 所以F总=F+mg=2Mgx/L+Mgx/L=3mg
•正碰：两球碰撞前的速度在两球的中心连线上。
那么，碰撞时相互作用的力和碰后的速度也 都在这一连线上。（对心碰撞） •斜碰：两球碰撞前的速度不在两球的中心连线上。
, mv mv mu mu
1 1 2 2 1 1 2 2
正碰的情况
m v m v m u m u ,
1 1 2 2 1 1 2 2
0 0 0
m v m
i 1 n i 1 i 1 n
n
ix i x
恒量
iy
iy iy
v 恒量 恒量
F
iz
m v
iz i z
§4.碰撞
一.碰撞现象：如果两个或两个以上的物体相互作用， 且作用力较大，时间极为短暂。 •碰撞过程的特点：1、各个物体的动量明显改变。
2、系统的总动量守恒。 •弹性碰撞：碰撞过程中两球的机械能（动能）完全没 有损失。
I x mvx mv0 x I y mvy mv0 y I z mvz mv0 z
冲量在某个方向的分量等于在该方向上质点动量 分量的增量，冲量在任一方向的分量只能改变自 己方向的动量分量，而不能改变与它相垂直的其 他方向的动量分量。
动量定理的应用
例、一质量均匀分布的柔软细绳铅直地悬挂着，绳的 下端刚好触到水平桌面上，如果把绳的上端放开，绳将 落在桌面上。试证明：在绳下落的过程中，任意时刻作 用于桌面的压力，等于已落到桌面上的绳重力的三倍。
解得
mh zm 2 2 2 g (m0 m) m0 m
( m 0 m)v
2
2
二、质心
n个质点系统
rc
分量形式
xc
mi ri
m
i
i i
i
i
m x m
i i i
i i
yc
m y m
i i
i
zc
m z m
i i i
i i
可见质心位矢是质点位矢的带权平均值，这个“权”与质点的 质量分布位置有关.
t t t t I Fdt F1dt F2 dt ...... Fn dt t0 t0 t0 t0 I1 I 2 ...... I n
合力在一段时间内的冲量等于各分力在同一段时 间内冲量的矢量和。
I mv mv0
x1c R 2
x
3 余下的质量为 m2 R 2 ，质心坐标用 x2 c 表示，则 4
1 3 2 R R R 2 x2c 2 4 0 4 R 2
R x2 c 6
§3.动量守恒定律
d n Fi mi vi dt i 1 i 1
2 1 2 1 2 2 2 2
m1 (v1 u1 ) m2 (u2 v2 )
v1 u1 u2 v2
m1 m2 2m2 u1 v v 1 m m m m 2 2 2 1 1 m2 m1 2m1 u2 v v 2 m m m m 1 1 1 2 2
i 1 i2 n i 1 n
F1
1 3
F3
t0 t
F2
2
n
Fn
t0

t
t0
n n n n ( Fn f ij )dt mi vi mi vi 0 n i 1 i j i i 1 i 1

t
t0
n n n n ( Fn f ij )dt mi vi mi vi 0 n i 1 i j i i 1 i 1
h
m
m0
解：建立如右图所示的坐标系， 当物体m自由下落h的距离时，
z
FT
h
m
它就具有了速度
u 2 gh 从这一刻开始物体受到绳子 的张力FT,由于绳子是轻绳， 质量可以忽略，所以滑轮两 侧绳子的张力大小相等，
FT
FT FT
绳子拉直后，由于绳子的张力 使物体m的速度大小变为v，
m0
1 1 2 2 E0 m0v mv mgz0 2 2
当m0达到最大高度zm时为末状态，此时两个物体都 静止不动了，则系统机械能
E m0 gzm mg ( z0 zm )
E E0
1 1 2 2 E0 m0v m0v mgz0 m0 gzm mg ( z0 zm ) 2 2
F
F

t1
t0
Fdt
t I Fdt
t0
t t0
t1 t0
O t0
t1
t
F 的大小和方向都随时间改变
I y Fy dt
t0 t
I x Fx dt
I z Fz dt
t0
t
有n个力同时作用于质点上
F F1 F2 ...... Fn
1 1 1 1 2 2 2 2 m2 v2 m1 u1 m2 u 2 , m 1 v1 2 2 2 2
m1 (v1 u1 ) m2 (u2 v2 )
m1 (v u ) m2 (u v )
2 1 2 1 2 2 2 2
m1 (v u ) m2 (u v )
dm dV
rc rdS M
V
rc l rdl M
rc rdV M
三、质心运动定理
n 2 mi ri 2 n n n n d d i 1 d mi 2 rC Fi ( mi vi ) mi 2 n i 1 dt dt i 1 dt i 1 i 1 mi i 1 2 d rC aC 为质心加速度 式中 = 2 n dt Fi maC 所以有:
由质点系动量定理的微分形式得

i 1
此式表示，质点系质心的运动与这样一个质点的运 动具有相同的规律，该质点的质量等于质点系的总质
量，作用于该质点的力等于作用于质点系的外力的矢
量和。这个结论称为质心运动定律。
质心运动定律的意义：
不论体系如何复杂，体 系质心的行为与一个质 点相同.从这个意义上 说，牛顿定律所描绘的 不是体系中任一质点的 运动，而是质心的运动. 而质心的存在，正是任 意物体在一定条件下可 以看成质点的物理基础.
n
如果