由上所列保守力的功的特点可知，其功值仅取决于物体初、 终态的相对位置，故可引入一个由相对位置决定的函数；
又由于功是体系能量改变量的量度。因此，这个函数必定具
有能量的性质；而这个具有能量性质的函数又是由物体相对
位置所决定，故把这种能量称之为势能（或曰位能），用ＥＰ
表示。
则有：
r2 r1
F保
dr
EP
rB rA
rB
rA
(3) 弹性力作功
F F'
o
F kxi
x Px
dA kxdx
A
x2 Fdx
x1
x2 x1
kxdx
( 1 2
k x22
1 2
k x12
)
（4） 保守力做功的特点
某些力对质点所做的功只与质点的始末位置有关， 而与路径无关。这种力称为保守力。
典型的保守力： 重力、万有引力、弹性力 与保守力相对应的是耗散力,力所作的功与路 径有关． 典型的耗散力： 摩擦力
pi 常量
i
2. 在某些情况下，如碰撞、打击、爆炸等过程，外力与 内力相比小很多，在极短的时间内，外力的时间积累 （冲量）相比之下可以忽略不计。
我们可以有近似的动量守恒。
3. 动量守恒定理只适用于惯性系,且所有的速度均相对于同 一个参考系。
4. 在牛顿力学的理论体系中，动量守恒定律是牛顿定律的推论。 但动量守恒定律是更普遍、更基本的定律，它在宏观和微观领 域、低速和高速范围均适用。
或
dEP F dr
由定积分转换成不定积分，则是
EP
F保
dr
c
式中c为积分常数，在此处是一个与势能零点的选 取相关的量。
保守力的功 势能计算
A (Ep2 Ep1) EP
——保守力作功，势能减少
质点在某一点的势能大小等于在相应的保守 力的作用下，由所在点移动到零势能点时保 守力所做的功。
牛顿定律是瞬时的规律。 但在有些问题中， 如：碰撞（宏观）、散射（微观）… 我们往往只关心过程中力的效果，即只关心始末态间的关系 ， 对过程的细节不感兴趣；而有些问题我们甚至尚弄不清楚过 程的细节。
作为一个过程，我们关心的是力对时间和空间的积累效应。
力在空间 上的积累
作功，改变动能
力在时间 (1)平动 冲量，改变动量 上的积累 (2)转动冲量矩，改变角动量
例5 如图，车在光滑水平面上运动。已知m、M、 l v0
人逆车运动方向，相对于车以速度u,从车头经t 到达车尾。
求：1、若人匀速运动，他到达车尾时车的速度；
2、车的运动路程；
3、若人以变速率运动， 上述结论如何？
解：以人和车为研究系统， 取地面为参照系。水平方向 系统动量守恒。
(M m)v0 Mv m(u v)
2.
与参考系有关，动能定理只在惯性系中成立。
3. 应用： 4. 微分形式：
例8 柔软匀质物体以初速v0 送上平台，物体前端在平台 上滑行 s 距离后停止。设滑道上无摩擦，物体与台面间 的摩擦系数为μ ，且 s ＞Ｌ，求初速度v0 。
解：
L
水平平台
传送机滑道 o x L
sx
由动能定理：
3-5 保守力与非保守力
一、冲量 质点的动量定理
牛顿2nd定律
Fdt dP
F
m
dv dt
dp dt
dI
Fdt
为力在时间上的积累效应，定义为元冲量
即力 F 在 t t+dt 时间内给质点的元冲量.
dI Fdt dP ——动量定理的微分形式
在有限时间内，
I
t2
F(t
)dt
I
t2
t1 F (t)dt
(1) t=4 秒时刻木箱速度；
(2) t=7 秒时刻木箱速度；
(3) t=6 秒时刻木箱速度。
m
解：(1) 根据动量定理：
F/N
30
0
4 7 t/s
F/N 30
0
4 7 t/s
二 质点系的动量定理
质点系
t2
t1
(F1
F12 )dt
m1v1
m1v10
t2
t1
(F2
F21 )dt
m2 v2
例如人从高处跳下、飞 机与鸟相撞、打桩等碰 撞事件中，作用时间很 短，冲力很大 .
mv
mv1
mv2
F
F
Fm
F
o t1
t
t2
例2 一弹性球，质量m＝0.20 kg，速度v＝5 m/s，与墙碰撞后弹回.设弹回时速度 大小不变，碰撞前后的运动方向和墙的法线所夹的角都是α(图2.12)，设球和墙碰撞 的时间Δt＝0.05 s，α＝60 °，求在碰撞时间内，球和墙的平均相互作用力.
一、保守力的功
(1)重力的功
力函数 mg 元位移 dr
A
2 mg
dr
1
2 mg dr cos 1
dr cos dy
势能
1 y1 y2
dy
dr
r
r/ mg 2
A
y2 mgdy
y1
mgy2
mgy1
(2) 万有引力的功
m' 对m 的万有引力为
F
G
m'm r2
er
m移动dr时，F作元功为
所以：＝arctg pe
p
arctg
1.2 10 23 6.4 10 23
61.9
pe
pN
αθ
p
＝180－61.9 118.1
3-4 功 动能定理
1、能量是一个普适的物理量。是唯一的可量度 各种不同运动形式在相互转化中的数量关系 的物理量。
2、任一研究对象（称为系统）其内部各种形式 的能量可以相互转化和传递，只要不与外界 交换能量，系统的总能量保持不变。
2
dP
t1
1
——动量定理积分形式
t2 t1
Fdt
p2
p1
mv2
mv1
动量定理 在给定的时间内，外力作用在质点 上的冲量，等于质点在此时间内动量的增量 .
分量形式
Ix
t2 t1
Fxdt
mv2 x
mv1x
I Ixi Iy j Izk
Iy
t2 t1
Fydt
mv2 y
mv1y
Iz
m2 v20
F1
F12
m1
F2
F21
m2
因为内力
故
t2 t1
(
F1
F12
F2 )dt
F21 0
(m1v1
，
m2 v2
)
(m1v10
m2 v20
)
由此类推，对由n个质点组成的质点系有
t2 Fexdt t1
n i1
mi vi
n mi vi0
i1
I
p
p0
质点系动量定理 作用于系统的合外力的冲量等于
解 以球为研究对象.设墙对球的平 均作用力为 f ，球在碰撞前后的速
度为
v1
和
v2
，由动量定理可得
ft mv2 mv1 mv
将冲量和动量分别沿图中N和x两方向
分解得：
fxt mvsin mvsin 0
fNt mvcos (mvcos) 2mvcos
解方程得
fx 0
fN
2mv cos t
p1
t2 t1
汽车气囊、拳击手套、运动护垫 etc.
❖
讨论
3。动量定理适用于任何形式的质点运动，但在讨论 如冲击、碰撞等过程时更方便。
4。动量与参照系有关，但动量差值与参照系无关。 因此，动量定理适用于所有惯性系。
例1 m=10 kg木箱，在水平拉力作用下由静止开始运动，拉 力随时间变化如图。已知木箱与地面摩擦系数为 =0.2，求：
Am
rA
r dr
r dr
m' rB
B
dA
F
dr
G
m'm r2
er
dr
m从A到B的过程中F作功：
A
F
dr
B
A
G
m'm r2
er
dr
er dr er drcos dr rA
A
rB
rA
G
m'm r2
dr
m'
A
r
mdr
r dr
rB
B
A Gmm( 1 1 ) [(G mm) (G mm)]
置 角上。均求近：似(1处) F于 的力功平，衡状(2态) ，重直力到的绳功子。与竖直方向成
解：
l m
l
变力
m
恒力 曲线运动
2.4.2 质点的动能定理
设质点m在力的作用下沿曲线从a点移动到b点
元功：
b
a
总功：
b
a
质点的动能定理：
合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。
说明
1. 合外力的功是动能变化的量度。
3、能量是系统状态的函数；功是系统能量变化的 量度. 系统能量随其状态而变化时，必伴有外界对系 统作功．系统从一个状态变化到另一个状态所引起的 机械能的变化，可用状态变化过程中外界对系统所作 功的多少来量度。
一、力的功
1．恒力的功
如果力 F 作用在物体上，使物体运动一定距离 s
力对质点作功： 如果 与 位移 有一定夹角时，如图
只有位移方向上的分量作功 力 对质点作功为：
2. 变力的功
当N→∞时
说明 一般情况下，功与力和路径有关 直角坐标系：
F 与参照系无关，位移与参照系有关，故