ji
i1
i 1
t n
nn
t0 i1 Fidt i1 mivi i1 mivi0
在一段时间内，作用于质点系的外力矢量和的冲 量等于质点系动量的增量。
——质点系动量定理
n
i 1
Fi
d dt
n i 1
mivi
（微分形式）
分量形式
t
t0 Fi xdt mivi x mivi0x
dt
Fdt dP
力F在dt时间内的累积效应等于质点动量的增量。
t
P
Fdt
t0
P0
dP
P
P0
冲量 I P P0 mv mv0
在运动过程中，作用于质点的合力在一段时间内的冲
量等于质点动量的增量。
——动量定理
I mv mv0
动量定理
t
I Fdt t0
冲量是力的时 间的累积效应
分量形式为
rc
rdm dm
rdV dV
xc
xdm dm
yc
ydm dm
zc
zdm dm
如果质点体系的质量分布连续均匀时：
① 线分布 ②面分布 ③ 体分布：
dm ldl dm dS dm dV
rc lrdl M
rc rdS M
rc
rdV
V
M
三、质心运动定理
由质点系动量定理的微分形式得 n
绳子拉直后，由于绳子的张力 使物体m的速度大小变为v，
z
FT
m0
O
如果绳子张力的作用时间为Dt，根据动量定理，则有
FT Dt mv (mu)
FTDt m0v 0
由以上两式可以解得绳子刚被拉紧时两个物体的运动
速率，
v mu m 2gh m0 m m0 m
物体m0所能达到的最大高度Zm可以用能量关系求解
系统初状态的机械能
E0
1 2
m0v
2
1 mv2 2
mgz0
当m0达到最大高度zm时为末状态，此时两个物体都 静止不动了，则系统机械能
E m0 gzm mg (z0 zm )
E E0
E0
1 2
m0v2
1m0 gzm
mg(z0
zm)
解得
zm
(m0 m)v2 2g(m0 m)
x
根据动量定理，桌面对柔绳的冲力为：
柔绳对桌面的冲力F＝－F’ 即：
而已落到桌面上的柔绳的重量为mg=Mgx/L 所以F总=F+mg=2Mgx/L+Mgx/L=3mg
§2.质点系动量定理和质心运动定理
质点系的动量定理
t n
t0 (F1
t
i 1 n
f1i )dt m1v1 m1v10
t0 (F2 i2 f2i )dt m2v2 m2v20
t
t0 Fi ydt mivi y mivi0 y
t
t0 Fi zdt mivi z mivi0z
例 在右图所示的装置中，一
不可伸长的轻绳跨过定滑轮，
两端系有质量分别为m和m0 （>m）的物体。开始时m0 静止在地面上，绳子松弛，
当物体m自由下落h的距离
后，绳子才被拉紧。滑轮的
t
t
I y t0 Fydt I z t0 Fzdt
有n个力同时作用于质点上
F F1 F2 ...... Fn
t
t
t
t
I
Fdt
t0
t0
F1dt
t0
F2dt ......
t0 Fndt
I1 I2 ...... In
合力在一段时间内的冲量等于各分力在同一段时 间内冲量的矢量和。
质量和摩擦力都可忽略不计， h
求绳子刚被拉紧时物体的运
m
动速率及物体m0所能达到的 最大高度。
m0
解：建立如右图所示的坐标系，
当物体m自由下落h的距离时，
它就具有了速度
u 2gh
从这一刻开始物体受到绳子 的张力FT,由于绳子是轻绳， 质量可以忽略，所以滑轮两 侧绳子的张力大小相等，
FT
h
m
FT FT
下端刚好触到水平桌面上，如果把绳的上端放开，绳将 落在桌面上。试证明：在绳下落的过程中，任意时刻作 用于桌面的压力，等于已落到桌面上的绳重力的三倍。
o
x
证明：取如图坐标，设t时刻已有
x长的柔绳落至桌面，随后的dt时
o
间内将有质量为ldx（Mdx/L)的
柔绳以dx/dt的速率碰到桌面而停
止，它的动量变化率：
t n
t0 (Fn i1 fni )dt mnvn mnvn0
F1 F2
1 2
F3
3
n
Fn
t n n n
nn
t0 ( i1 Fn i
fij )dt mivi mivi0
ji
i1
i 1
t n n n
nn
t0 ( i1 Fn i
fij )dt mivi mivi0
n i1
Fi
d
dt
n
(
i 1
mivi )
n i 1
mi
d2 dt 2
i 1 n
mi ri mi
n i 1
mi
d2 dt 2
rC
式中
d
2
rC
dt 2
=
aC
为质心加速度
i1 所以有:
n
m2h m02 m2
二、质心
水平上抛三角板
投掷手榴弹 运动员跳水
n个质点系统
分量形式
mi xi xc i mi
i
miri rc i mi
i
mi yi yc i mi
i
mi zi zc i mi
i
可见质心位矢是质点位矢的带权平均值，这个“权”与质点的 质量分布位置有关.
对质量连续分布的物体，其质心位矢由上式推广得
I mv mv0
I x mvx mv0x I y mvy mv0 y Iz mvz mv0z
冲量在某个方向的分量等于在该方向上质点动量 分量的增量，冲量在任一方向的分量只能改变自 己方向的动量分量，而不能改变与它相垂直的其 他方向的动量分量。
动量定理的应用
例、一质量均匀分布的柔软细绳铅直地悬挂着，绳的
A EkQ EkP
动能定理
Q
A P F dr
功是力的空间 的累积效应
F
冲力：作用时间极短，数 值很大而且变化很快
F (t1 t0 ) mv mv0
F
t1
Fdt
F t0
t t1 t0
O t0 t1 t
I Fdt F 的大小和方向都随时间改变 t0
t
I x t0 Fxdt
第三章 动量守恒定律
§1.动量和动量定理 §2.质点系动量定理和质心运动定理 §3.动量守恒定律 §4.碰撞
§1.动量和动量定理
F ma
m dv
d (mv)
dt dt
1. 动量
P
mv
大小： mv
方向： 速度的方向
F
dP
dt
单位： kg m ·s -1
力是物体动量改变的原因
F
dP