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2011年全国新课标高考文科数学试题及答案

数学(文)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M N I ,则P 的子集共有 A .2个 B .4个 C .6个 D .8个 2.复数512ii=-A .2i -B .12i -C . 2i -+D .12i -+3.下列函数中,既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是A .3y x = B .||1y x =+ C .21y x =-+D .||2x y -=4.椭圆221168x y +=的离心率为A .13 B .12C .33D .225.执行右面的程序框图,如果输入的N 是6,那么输出的p 是A .120B . 720C . 1440D . 50406.有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为A .13 B . 12 C .23 D .347.已知角θ的顶点与原点重合,始边与x 轴的正半轴重合,终边在直线2y x =上,则cos2θ=A . 45-B .35-C .35D .458.在一个几何体的三视图中,正视图与俯视图如右图所示,则相应的侧 视图可以为9.已知直线l 过抛物线C 的焦点,且与C 的对称轴垂直,l 与C 交于A ,B 两点,||12AB =,P 为C 的准线上一点,则ABP ∆的面积为 A .18 B .24C . 36D . 4810.在下列区间中,函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为A .1(,0)4-B .1(0,)4C .11(,)42D .13(,)2411.设函数()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++,则 A .()y f x =在(0,)2π单调递增,其图象关于直线4x π=对称 B .()y f x =在(0,)2π单调递增,其图象关于直线2x π=对称 C .()y f x =在(0,)2π单调递减,其图象关于直线4x π=对称D .()y f x =在(0,)2π单调递减,其图象关于直线2x π=对称12.已知函数()y f x =的周期为2,当[1,1]x ∈-时2()f x x =,那么函数()y f x =的图象与函数|lg |y x =的图象的交点共有A .10个B .9个C .8个D .1个本卷包括必考题和选考题两部分.第13题-第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题-第24题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.已知a 与b 为两个不共线的单位向量,k 为实数,若向量a+b 与向量ka-b 垂直,则k=_____________. 14.若变量x ,y 满足约束条件32969x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩,则2z x y =+的最小值是_________.15.ABC ∆中,120,7,5B AC AB =︒==,则ABC ∆的面积为_________.16.已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面积是这个球面面积的316,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值为______________.三、解答题:解答应写文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)已知等比数列{}n a 中,113a =,公比13q =.(I )n S 为{}n a 的前n 项和,证明:12nn a S -=(II )设31323log log log n n b a a a =+++L ,求数列{}n b 的通项公式.如图,四棱锥P ABCD-中,底面ABCD为平行四边形,60DAB∠=︒,2AB AD=,PD⊥底面ABCD.(I)证明:PA BD⊥;(II)设PD=AD=1,求棱锥D-PBC的高.19.(本小题满分12分)某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标越大表明质量越好,且质量指标值大于或等于102的产品为优质品.现用两种新配方(分别称为A配方和B配方)做试验,各生产了100件这种产品,并测量了每产品的质量指标值,得到时下面试验结果:指标值分组[90,94)[94,98)[98,102)[102,106)[106,110] 频数8 20 42 22 8指标值分组[90,94)[94,98)[98,102)[102,106)[106,110] 频数 4 12 42 32 10(I)分别估计用A配方,B配方生产的产品的优质品率;(II)已知用B配方生产的一种产品利润y(单位:元)与其质量指标值t的关系式为2,942,941024,102ty tt-<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率,并求用B配方生产的上述100件产品平均一件的利润.在平面直角坐标系xOy 中,曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上.(I )求圆C 的方程;(II )若圆C 与直线0x y a -+=交于A ,B 两点,且,OA OB ⊥求a 的值.21.(本小题满分12分) 已知函数ln ()1a x bf x x x=++,曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=.(I )求a ,b 的值;(II )证明:当x>0,且1x ≠时,ln ()1xf x x >-.请考生在第22、23三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.做答是用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为2cos (22sin x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数),M 为1C 上的动点,P 点满足2OP OM =u u u r u u u u r,点P 的轨迹为曲线2C .(I )求2C 的方程;(II )在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线3πθ=与1C 的异于极点的交点为A ,与2C 的异于极点的交点为B ,求|AB|. 23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲设函数()||3f x x a x =-+,其中0a >.(I )当a=1时,求不等式()32f x x ≥+的解集.(II )若不等式()0f x ≤的解集为{x|1}x ≤-,求a 的值.2011年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试卷参考答案一、选择题(1)B (2)C (3)B (4)D (5)B (6)A (7)B (8)D (9)C (10)C (11)D (12)A二、填空题(13)1 (14)-6 (15)4315 (16)31 三、解答题 (17)解:(Ⅰ)因为.31)31(311n n n a =⨯=-,2311311)311(31nn n S -=--=所以,21n na S --(Ⅱ)n n a a a b 32313log log log +++=Λ )21(n +++-=Λ 2)1(+-=n n所以}{n b 的通项公式为.2)1(+-=n n b n(18)解:(Ⅰ)因为60,2DABAB AD ∠=︒=,由余弦定理得BD =从而BD 2+AD 2= AB 2,故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ,可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面P AD. 故 P A ⊥BD(Ⅱ)如图,作DE ⊥PB ,垂足为E 。

已知PD ⊥底面ABCD ,则PD ⊥BC 。

由(Ⅰ)知BD ⊥AD ,又BC//AD ,所以BC ⊥BD 。

故BC ⊥平面PBD ,BC ⊥DE 。

则DE ⊥平面PBC 。

由题设知,PD=1,则BD=3,PB=2,根据BE·PB=PD·BD ,得DE=23,即棱锥D —PBC 的高为.23(19)解(Ⅰ)由试验结果知,用A 配方生产的产品中优质的频率为228=0.3100+,所以用A 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3。

由试验结果知,用B 配方生产的产品中优质品的频率为32100.42100+=,所以用B 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42(Ⅱ)由条件知用B 配方生产的一件产品的利润大于0当且仅当其质量指标值t≥94,由试验结果知,质量指标值t≥94的频率为0.96,所以用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0.96.用B 配方生产的产品平均一件的利润为68.2)442254)2(4(1001=⨯+⨯+-⨯⨯(元) (20)解:(Ⅰ)曲线162+-=x x y 与y 轴的交点为(0,1),与x 轴的交点为().0,223(),0,223-+故可设C 的圆心为(3,t ),则有,)22()1(32222t t +=-+解得t=1.则圆C 的半径为.3)1(322=-+t 所以圆C 的方程为.9)1()3(22=-+-y x(Ⅱ)设A (11,y x ),B (22,y x ),其坐标满足方程组:⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-.9)1()3(,022y x a y x 消去y ,得到方程.012)82(222=+-+-+a a x a x由已知可得,判别式.0416562>--=∆a a因此,,441656)28(22,1a a a x --±-=从而2120,422121+-=-=+a a x x a x x ①由于OA ⊥OB ,可得,02121=+y y x x 又,,2211a x y a x y +=+=所以.0)(222121=+++a x x a x x ②由①,②得1-=a ,满足,0>∆故.1-=a(21)解:(Ⅰ)221(ln )'()(1)x x b x f x x x α+-=-+由于直线230x y +-=的斜率为12-,且过点(1,1),故(1)1,1'(1),2f f =⎧⎪⎨=-⎪⎩即1,1,22b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩解得1a =,1b =。

(Ⅱ)由(Ⅰ)知ln 1f ()1x x x x=++,所以)1ln 2(111ln )(22x x x x x x x f -+-=-= 考虑函数()2ln h x x =+x x 12-(0)x >,则22222)1()1(22)(x x x x x x x h --=---='所以当1≠x 时,,0)1(,0)(=<'h x h 而故当)1,0(∈x 时,;0)(11,0)(2>->x h x x h 可得当),1(+∞∈x 时,;0)(11,0)(2>-<x h xx h 可得从而当.1ln )(,01ln )(,1,0->>--≠>x xx f x x x f x x 即且 (22)解:(I )连接DE ,根据题意在△ADE 和△ACB 中, AD×AB=mn=AE×AC ,即ABAEAC AD =.又∠DAE=∠CAB ,从而△ADE ∽△ACB 因此∠ADE=∠ACB 所以C ,B ,D ,E 四点共圆。

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