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2011年全国高考文科数学试题及答案-安徽

2011年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数学(文科)参考公式: 椎体体积13V Sh =,其中S 为椎体的底面积,h 为椎体的高.若111ni y y n==∑(x 1,y 1),(x 2,y 2)…,(x n ,y n )为样本点,ˆy bx a =+为回归直线,则 111ni x x n==∑,111ni y y n==∑()()()111111222111nni i nni i i xy y y xy n x yb x x x nxa y bx====---==--=-∑∑∑∑,a y bx =-说明:若对数据适当的预处理,可避免对大数字进行运算.第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

(1)设 i 是虚数单位,复数ai i1+2-为纯虚数,则实数a 为(A )2 (B ) -2 (C ) 1-2(D )12(2)集合}{,,,,,U =123456,}{,,S =145,}{,,T =234,则)(T C S U ⋂等于(A )}{,,,1456 (B ) }{,15 (C ) }{4 (D ) }{,,,,12345(3)双曲线x y 222-=8的实轴长是(A )2 (B) (C ) 4 (D )(4) 若直线x y a 3++=0过圆x y x y 22++2-4=0的圆心,则a 的值为(A )-1 (B ) 1 (C ) 3 (D ) -3(5)若点(a,b )在lg y x = 图像上,a ≠1,则下列点也在此图像上的是(A )(a1,b ) (B )(10a,1-b ) (C ) (a10,b+1) (D )(a 2,2b )(6)设变量x,y 满足,x y 1x y 1x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥0⎩,则x y +2的最大值和最小值分别为(A )1,-1 (B )2,-2 (C )1,-2 (D )2,-1(7)若数列}{n a 的通项公式是=+++-=1021),23()1(a a a n a n n 则 (A )15 (B )12 (C )-12 (D )-15(8)一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 (A ) 48 (B )(C )48+8(D )80(9) 从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点,则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于(A )110 (B ) 18 (C ) 16 (D ) 15(10)函数2)1()(x ax x f n -=在区间〔0,1〕上的图像如图所示,则n 可能是 (A )1 (B )2(C )3(D )4第II 卷(非选择题 共100分)考生注意事项:请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.................. 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卡的相应位置. (11)设()f x 是定义在R 上的奇函数,当x≤0时,()f x =22x x -,则(1)f = . (12)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是 . (13)函数y =的定义域是 .(14)已知向量a ,b 满足(a+2b )·(a-b )=-6,且a =1,b =2,则a 与b 的夹角为 .(15)设()f x =sin 2cos 2a x b x +,其中a ,b ∈R ,ab ≠0,若()()6f x f π≤对一切则x ∈R 恒成立,则①11()012f π=②7()10f π<()5f π③()f x 既不是奇函数也不是偶函数④()f x 的单调递增区间是2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦⑤存在经过点(a ,b )的直线与函数()f x 的图像不相交 以上结论正确的是 (写出所有正确结论的编号).三、解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的制定区域内. (16)(本小题满分13分)在△ABC 中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 所对的边长,,,12cos()0B C ++=,求边BC 上的高.(17)(本小题满分13分)设直线.02,,1:,1:21212211=+-=+=k k k k x k y l x k y l 满足其中实数 (I )证明1l 与2l 相交;(II )证明1l 与2l 的交点在椭圆222x +y =1上.(18)(本小题满分13分)设21)(axex f x+=,其中a 为正实数.(Ⅰ)当34=a 时,求()f x 的极值点;(Ⅱ)若()f x 为R 上的单调函数,求a 的取值范围.(19)(本小题满分13分)如图,A B E D F C 为多面体,平面A B E D 与平面A C F D 垂直,点O 在线段A D 上,1O A =,O D =,△OAB ,△OAC ,△ODE ,△ODF 都是正三角形。

(Ⅰ)证明直线B C E F ∥; (Ⅱ)求棱锥F O B E D -的体积.(20)(本小题满分10分)(Ⅰ)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y bx a =+; (Ⅱ)利用(Ⅰ)中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量。

温馨提示:答题前请仔细阅读卷首所给的计算公式及说明.(21)(本小题满分13分)在数1和100之间插入n 个实数,使得这2n +个数构成递增的等比数列,将这2n +个数的乘积记作n T ,再令,lg n n a T =1n ≥.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设1tan tan ,n n n b a a += 求数列{}n b 的前n 项和n S .参考答案一、选择题:本题考查基本知识和基本运算,每小题5分,满分50分.(1)A (2)B (3)C (4)B (5)D (6)B (7)A (8)C (9)D (10)A 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算,每小题5分,满分25分.(1)-3 (12)15 (13)(-3,2) (14)3π(15)①,③三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(16)(本小题满分13分)本题考查两角和的正弦公式,同角三角函数的基本关系,利用正弦定理或余弦定理解三角形,以及三角形的边与角之间的对应大小关系,考查综合运算求和能力.解:由A C B C B -=+=++π和0)cos(21,得.23sin ,21cos ,0cos 21===-A A A再由正弦定理,得.22sin sin ==aA b B.22sin 1cos ,2,,=-=<<<B B B B A B a b 从而不是最大角所以知由π由上述结果知).2123(22)sin(sin +=+=B A C设边BC 上的高为h ,则有.213sin +==C b h(17)(本小题满分13分)本题考查直线与直线的位置关系,线线相交的判断与证明,点在曲线上的判断与证明,椭圆方程等基本知识,考查推理论证能力和运算求解能力. 证明:(I )反证法,假设是l 1与l 2不相交,则l 1与l 2平行,有k 1=k 2,代入k 1k 2+2=0,得.0221=+k此与k 1为实数的事实相矛盾. 从而2121,l l k k 与即≠相交.(II )(方法一)由方程组⎩⎨⎧-=+=1121x k y x k y解得交点P 的坐标),(y x 为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-=.,2121212k k k k y k k x而.144228)()2(22222122212121222121222121221222=++++=-++++=-++-=+kkk k k k kkk k k k k k k k k k yx此即表明交点.12),(22上在椭圆=+y x y x P(方法二)交点P 的坐标),(y x 满足.0211,02.1,1.011212121=++⋅-=+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=≠⎩⎨⎧=+=-xy x y k k x y k xy k x xk y x k y 得代入从而故知整理后,得,1222=+y x所以交点P 在椭圆.1222上=+y x(18)(本小题满分13分)本题考查导数的运算,极值点的判断,导数符号与函数单调变化之间的关系,求解二次不等式,考查运算能力,综合运用知识分析和解决问题的能力.解:对)(x f 求导得.)1(1)(222ax axaxex f x+-+=' ①(I )当34=a ,若.21,23,0384,0)(212===+-='x x x x x f 解得则综合①,可知 所以,231=x 是极小值点,212=x 是极大值点.(II )若)(x f 为R 上的单调函数,则)(x f '在R 上不变号,结合①与条件a>0,知0122≥+-ax ax在R 上恒成立,因此,0)1(4442≤-=-=∆a a a a 由此并结合0>a ,知.10≤<a(19)(本小题满分13分)本题考查空间直线与直线,直线与平面,平面与平面的位置关系,空间直线平行的证明,多面体体积的计算,考查空间想象能力,推理论证能力和运算求解能力.x)21,(-∞21 )23,21(23 ),23(∞)(x f ' + 0 - 0 + )(x f↗极大值↘极小值↗(I )证明:设G 是线段DA 与EB 延长线的交点. 由于△OAB 与△ODE 都是正三角形,所以OB ∥DE 21,OG=OD=2,同理,设G '是线段DA 与FC 延长线的交点,有.2=='OD G O又由于G 和G '都在线段DA 的延长线上,所以G 与G '重合.在△GED 和△GFD 中,由OB ∥DE 21和OC ∥DF 21,可知B 和C 分别是GE 和GF 的中点,所以BC 是△GEF 的中位线,故BC ∥EF.(II )解:由OB=1,OE=2,23,60=︒=∠EOB S EOB 知,而△OED 是边长为2的正三角形,故.3=OED S所以.233=+=OED EOB OEFD S S S过点F 作FQ ⊥DG ,交DG 于点Q ,由平面ABED ⊥平面ACFD 知,FQ 就是四棱锥F —OBED 的高,且FQ=3,所以.2331=⋅=-OBED OBED F S FQ V(20)(本小题满分10分)本题考查回归分析的基本思想及其初步应用,回归直线的意义和求法,数据处理的基本方法和能力,考查运用统计知识解决简单实际应用问题的能力.解:(I )由所给数据看出,年需求量与年份之间是近似直线上升,下面来配回归直线方程,为此对数据预处理如下: 对预处理后的数据,容易算得.2.3,5.6402604224294192)11()2()21()4(,2.3,02222=-===+++⨯+⨯+-⨯-+-⨯-===x b y a b y x由上述计算结果,知所求回归直线方程为,2.3)2006(5.6)2006(257+-=+-=-∧x a x b y即.2.260)2006(5.6+-=∧x y ①(II )利用直线方程①,可预测2012年的粮食需求量为2.2992.26065.62.260)20062012(5.6=+⨯=+-(万吨)≈300(万吨).年份—2006 -4 -2 0 2 4 需求量—257 -21-11 0 19 29= = = =21.(本小题满分13分)本题考查等比和等差数列,指数和对数的运算,两角差的正切公式等基本知识,考查灵活运用知识解决问题的能力,综合运算能力和创新思维能力. 解:(I )设221,,,+n l l l 构成等比数列,其中,100,121==+n t t 则,2121++⋅⋅⋅⋅=n n n t t t t T ① ,1221t t t t T n n n ⋅⋅⋅⋅=++ ②①×②并利用得),21(1022131+≤≤==+-+n i t t t t n i n.1,2lg ,10)()()()()2(2122112212≥+==∴=⋅⋅⋅⋅=+++++n n T a t t t t t t t t T n n n n n n n n(II )由题意和(I )中计算结果,知.1),3tan()2tan(≥+⋅+=n n n b n另一方面,利用,tan )1tan(1tan )1tan())1tan((1tan kk k k k k ⋅++-+=-+=得.11tan tan )1tan(tan )1tan(--+=⋅+kk k k所以∑∑+==⋅+==231tan )1tan(n k nk kn k k bS.1tan 3tan )3tan()11tan tan )1tan((23n n kk n k --+=--+=∑+=。

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