2 1
力矩的功率 P＝Mω 1 1 2 2 转动动能 E K ( mi v i ) J 2 2 i
A M Z d
刚体定轴转动动能定理 2 1 1 2 A M Z d J 2 J 12 EK 1 2 2 机械能守恒定律:只有保守内力做功时 1 J 2 mghC 常量 2
m2 g m2 a ( 2) 1 a 对滑轮： (T1 T2 ) r I mr 2 (3) 2 r ( m1 m2 ) g a 1 m1 m2 m 2
T1 m1 g m1
m2
T
2
T
2
r
m T
1T
a
m1 1
( m1 m2 ) g , 1 ( m1 m2 m) 2 ( m1 m2 ) g T2 m2 g m2 . 1 ( m1 m2 m) 2
大学物理习题课
刚体定轴转动
基本概念和规律
1 .描述刚体定轴转动的物理量
角位置
角位移 角速度 角加速度

d dt d dt

角量与线量的关系
s r
v r
an r
2
z
at r
2 .力矩和转动惯量
k
F
r
(1)力矩
M rF
r0 力臂
O

解: 对滑轮:滑轮所受力距，并根据转动定律
M z Tr J ,
滑轮的转动惯量 J
Tr
对重物： mg T ma m r ( 2 )
1 2 1 s at rt 2 (3) 2 2 2 t g 2 1) 由(1),(2),(3) 得 J mr ( 2s
变力矩的冲量矩
3 .刚体的定轴转动定律

t2
t1
M dt
O

5. 角动量定理和角动量守恒定律 dL 角动量定理 微分形式 M dt t2 积分形式 M dt ( J) ( J )
ri
mi
vi

t1
2
ห้องสมุดไป่ตู้
1
角动量守恒定律:当合外力矩为零时
M 0,
6. 力矩的功
J 常矢量
7 .质点的运动和刚体的定轴转动物理量对比 质点直线运动 刚体的定轴转动 角位移 位移 x dx d v 角速度 速度 dt 2 dt 2 d d dv d x 2 2 角加速度 加速度 a dt dt
dt dt
质量 功 动能
m
A Fdx 1 E K mv 2 2
mvl
1 1 mvl ( Ml 2 ) Ml 2 (1) 2 3
O. L M
M
（1）由角动量守恒
由机械能守恒：子弹射出后，转动动能等于 球上升到最大高度时系统的势能
ω1
1 1 2 2 1 ( Ml ) ( Ml 2 ) 2 Mg 2l Mgl ( 2) 2 3 2 m
力矩的大小： Frsinθ=Fr0 (2)转动惯量 当刚体质量连续分布 组合体的转动惯量
J z mi ri
J r 2 dm
2
J J1 J2 J3 ... Ji
d M J J dt 4. 角动量和冲量矩 刚体的角动量 L J 冲量矩是反映力矩对时间累积效应的物理量 恒力矩的冲量矩 M t z
0
u
r ut ( 2)
把（2）代入（1），得：

0
2mu 2t 2 1 MR 2
例5、一质量为 m 的物体悬于一条轻绳的下端，绳的另一端绕在一 轮轴的轴上，如图所示。轴水平且垂直于轮轴面，其半径为 r ，整 个装置加在光滑的固定轴承之上。当物体从静止释放后，在时间 t 内下降了一段距离 s 。试求整个轮轴的转动惯量.
(4)
例4、如图所示， 设一转台质量为 M , 可绕竖直中心轴转动， 初角速度为ω0 。 有一质量为 m 的人以相对于转台的恒定速率 u 沿半径从转台中心向边缘走去，求转台转动的角速度与时间 t 的关系。
解：由角动量守恒
1 1 2 2 MR 0 0 MR mr r 2 2
(1)
(1)
r o
T T m mg
例:6：如图所示，两物体的质量分别为 m1 和 m2 ，滑轮质量为 m ，半径为 r, 已知 m2 与桌面之间的滑动摩擦系数为 μ，不计轴承摩擦，求 m1 下落的 加速度和两段绳中的张力。 解答提示 对 m2 ： T2
对 m1 ：
m1 g T1 m1a (1)
1 J1 MR 2 (1) 2 1 式中整个圆盘的质量 M m m 3
J2 1 R R m2 ( ) 2 m2 ( ) 2 2 2 2
R
O
R/2
O`
(2)
由平行轴定理，半径为 R/2 的小圆盘对 O 点的转动惯量为
(3)
1 m2 m (4) 式中小圆盘的质量 3 13 总转动惯量 J J1 J 2 mR 2 24
3
g M , v4 2l m
V/2
2 gl
（2）由转动定律 ( Mg
l 1 9g Mgl ) ( Ml 2 Ml 2 ) 2 3 8 l
例8. 一质量为m，半径为r的匀质圆柱体，从倾角为θ的斜 面上无滑动地滚下，求其质心的加速度。（多思路解题）
开阔思路，多个角度考虑问题，方可遍地开花
动量 功率
mv
P Fv
A M Z d 1 1 转动动能 E K J 2 2 J 角动量 P M 角功率
2 J m r 转动惯量 ii
功
2
例1. 从一个半径为 R 的均匀薄圆板上挖去一个半径为 R/2 的圆板，所形 成的圆洞的中心在距圆薄板中心 R/2 处，所剩薄板的质量为 m 。求此时薄 板对通过圆中心与板面垂直的轴的转动惯量。 解：半径为 R 的圆盘对 O 点的转动惯量为
例2 . 匀质细杆长为2L，质量m，以与棒长方向垂直的速 度v0在光滑水平面内平动时，与前方固定光滑支点O发生 完全非弹性碰撞，如图所示。求棒在碰撞后瞬时绕O点转 动的角速度。（角动量守恒问题）
v0 L/2 O L/2
L
v0
解： 碰橦前瞬间,杆对O点的角动量为, 以垂直于纸面向外为正

3L
2
0
V0 xdx
3）由运动学定律求转过圈数：
2 mg 2 dM r dr 2 R 2 M dM mgR (1) 3

dM dm g r
m dm 2rdr , 2 R
r dr r
O
(2)
2 3 0 R N 16g
2
(3)
N 2
L
2
0
1 V0 xdx V0 L mV0 L 2
2
式中为杆的线密度,碰橦后瞬间,杆对 O点的角动量为
1 3 3 1 1 m L m L J 3 4 2 4 2
2 2
7 mL2 12
7 1 2 碰橦前后角动量守恒 mL mV0 L 12 2
6V0 7L
例3. 有一半径为 R 的圆形平板平放在水平桌面上，平板与桌面的摩擦 系数为μ，若平板绕通过其中心且垂直板面的固定轴以角速度 ω0 开始旋 转，它将在旋转几圈后停止？ 解答提示 1）求圆盘的摩擦力矩。
在圆形平板上取一细圆环 该圆环所受摩擦力矩
圆盘受摩擦力矩
M 2）求角加速度：由转动定律 M J , 2 J 0
例7 如图所示，质量为 M 长为 L 的均匀细棒， 其一端有一质量也为 M 的小球，另一端可绕垂直于细棒的水平轴 O 自由转动。现有一质量为 m 的子弹，以水平速度 v 射向小球，子弹穿过小球后速度减为 v/2 . 求： （1） 要使上述球摆能在铅直平面内完成一个完全的圆周运动，子弹入 射速度 v 应为多大？ （2） 如果球摆摆到水平位置时的角速度为ω1，求它在该位置的角加 速度β。 解答提示