解：棒下摆为加速过程，外
力矩为重力对O的力矩。 棒 O
上取质元dm,当棒处在下摆
l
角时，该质量元的重力对轴
的元力矩为
dM l cosgdm gl cosdl
dm dl
gdm
dM l cosgdm gl cosdl O
重力对整个棒的合力矩为
l
M＝ dM
L
0 gl
cosdl
gL2 cos 1 mgL cos
mva ( 1 Ml 2 ma 2 )
1
1 (
Ml
3
2
ma 2 )2
23
a
30
M
l
mga (1 cos 300 ) Mg l (1 cos 300 ) 2
v 1 g (2 3 )( Ml 2)( Ml 2 3ma 2 ) ma 6
例3、如图所示，将单摆和一等长的匀质直杆悬挂在
同一点，杆的质量m与单摆的摆锤相等。开始时直杆 自然下垂，将单摆的摆锤拉到高度，令它自静止状态 下垂,于铅垂位置和直杆作弹性碰撞。求碰撞后直杆下
Ep mg
mi hi m
hc
mi yi m
h
mi
PC
hi hC
O
E p mghC
刚体的重力势能等于其重力与质心高度之积.
机械能守恒定律
若在刚体转动过程中,只有重力做功,其他非保守内 力不做功,则刚体在重力场中机械能守恒.
E
1 2
J 2
mghC
常量
一、 刚体的角动量定理
刚体绕定轴转动时,各质元某一瞬时均以相同的 角速度绕该定轴作圆周运动.
J1 , 则2
1
2、转动惯量可变的物体。
当J增大时，就减小； 当J减小时，就增大，从而J保持不变.
F
F
实际中的一些现象 Ⅰ、芭蕾舞演员的高难动作
艺术美、人体美、物理美相互结合
Ⅱ当滑冰、跳水、体操运 动员在空中为了迅速翻转 也总是曲体、减小转动惯 量、增加角速度。当落地 时则总是伸直身体、增大 转动惯量、使身体平稳地。
则有：J＝JC＋md2。
这个结论称为平行轴定理。
右图所示刚体对经过棒端 且与棒垂直的轴的转动惯量
mL
如何计算？(棒长为L、球半
径为R）
mO
J L1
1 3
mL L2
Jo
2 5
mo R2
J L2 J0 m0d 2 J0 m0(L R)2
J
1 3
m
L
L2
2 5
mo R2
mo (L
R)2
三、转动定律
O’
O
刚体的一般运动
既平动又转动：质心的平动加绕质心的转动
二、定轴转动的角量描述
转动平面
P
X
参考 转轴 方向
P X
Q
X
各质元的线速度、加速度一般不同， 但角量（角位移、角速度、角加速度）都相同
描述刚体整体的运动用角量最方便。
d
dt
dddt ddt22
dt
v r
角速度方向规定为沿轴方向， 指向用右手螺旋法则确定。
dt
d dt d
2 Md
1
2 1
Jd
1 2
J
2 2
1 2
J12
W
1 2
J
2 2
1 2
J12
刚体定轴转动的动能定理
合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体 转动动能的增量。
六 、包括刚体的系统的场中机械能守恒定律
刚体的重力势能是组成它的各个质元的重力
势能之和.
Ep mi ghi g mihi
作用在刚体上的轴的力矩
Z
F
f1
O r P f2
转动平面
Mz
r
F
Mz rF sin
转动定律
Fi
fi
mi ai
Fi sini fi sini miai
将切向分量式两边同乘以 变换得
ri
,
Firi sini firi sini miri2
Z
fi i
Fi
ri
mi
i
Firi sini firi sini (miri2 )
ωω
花样滑冰运动 员通过改变身体姿 态即改变转动惯量 来改变转速.
涡旋星系
例1、如图所示,一质量为m的子弹以水平
速度射入一静止悬于顶端长棒的下端,穿 出后速度损失3/4,求子弹穿出后棒的角
速度。已知棒长为l,质量为M.
解:以f代表棒对子弹的阻力,对子弹有:
子弹对棒的反作用力对棒的 M 冲量矩为：
3
1 2
m(v02
v2 )
1 2
J
2
c hc
二式联立解得：
h’
h
v v0 , 3v0
b
2
2l
按机械能守恒，碰撞后摆锤达到的高度显然为
而杆的质心达到的高度满足由此得h来自2hc3h0 2
1 2
J 2
mghc
[例]如图示已知： M=2m，h， =60 ° 求：碰撞后瞬间盘的 0 ？ P 转到 x 轴时盘的 =? ?
2
2
代入转动定律，可得
M
1 mgL cos
2
3g cos
J
1 mL2
2L
3
dm dl
gdm
M J J d J d d J d dt d dt d
Md Jd
代入M＝1 mgl cos
2
1 mgL cosd Jd
2
1 mgL cosd
Jd
02
0
1 mgL sin 1 J 2
端达到的高度h。
解:碰撞前单摆摆锤的速度为
l l
m ho
a
v0 2gh0
令碰撞后直杆的角速度为，
摆锤的速度为v＇。
c
由角动量守恒，有
hc
ml (v0 v) J
式中J 1 ml 2 3
h’
b
h
在弹性碰撞过程中机械能也是守恒的:
1 2
m(v02
v2 )
1 2
J 2
ml (v0 v) J
式中J 1 ml 2
转动惯量。 Z
r
Z
解： 一球绕Z轴旋转，
dZ
离 球心Z高处切一厚为dz 的薄圆盘。其半径为
O X
R
r R2 Z2
Y
其体积：
dV r2dZ (R2 Z 2)dZ
其质量： dm dV (R2 Z 2)dZ
其转动惯量： dJ 1 r2dm 1 (R2 Z 2 )2 dZ
2
2
dJ 1 r 2dm 1 (R2 Z 2 )2 dZ
加速转动 减速转动
方方向向一 相致 反
r v
一 、刚体的转动动能
E ki
1 2
mivi 2
1 2
miri 2 2
Ek
i
(1 2
miri 2
2
)
1 2
(
miri 2 ) 2
1 2
J 2
J (miri2 )
i
刚体对给定轴的转动惯量(moment of inertia)
刚体绕定轴转动时转动动能等于刚体的转动惯量
B
L/2
X
L
JC
2 L
x 2dx
mL2
/ 12
2
平行轴定理
前例中JC表示相对通过质心的轴的转动惯量， JA表示相对通过棒端的轴的转动惯量。两轴 平行，相距L/2。可见：
J A＝JC＋m
L 2
2
1 12
mL2
1 4
mL2
1 mL2 3
推广上述结论，若有任一轴与过质心的轴 平行，相距为d，刚体对其转动惯量为J，
t2
Mdt
t1
L2 L1
dL
J 22
J11
t2 t1
Mdt
J 22
J11
二 、 角动量守恒定律及其应用
M 0
J 常矢量 或 J22 J11
当物体所受的合外力矩为零时,物体的角动量保
持不变.这一结论称为角动量守恒定律.
角动量守恒定律的两种情况：
1、转动惯量保持不变的单个刚体。
当M
0时，J2
第二章 刚体和流体力学
刚体:在外力作用下形状和大小保持不变的物体.
各质点间的相对位置永不发生变化的质点系。 一、刚体的平动和转动 平动：用质心运动讨论
刚体在运动中，其上任意两点的连线始终保持平行。
A
A
B
A
B
B
转动：对点、对轴
转轴
定轴转动：各质元均作圆周 运动，其圆心都在一条固定 不动的直线（转轴）上。
0 t 5s 20.9rad/s 2
外力矩是摩擦阻力矩，角加速度为负值。
M＝ fr R NR J mR 2
NR mR 2
N mR
0
例3、一根长为l、质量为m的均匀细直棒，其一端 有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转
动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆角时的
角加速度和角速度。
v 1 4mgh
R R 2m M
例2、一个飞轮的质量为69kg，半径为
0.25m,正在以每分1000转的转速转动。现 在要制动飞轮，要求在5.0秒内使它均匀 减速而最后停下来。摩擦系数为0.2。求 闸瓦对轮子的压力N为多大？
F
0
解：飞轮制动时有角加速度
0
t
fr N
0 1000r / min 104.7rad/s
Li mi ri2
Lz Li miri2 Jz