o 3o R N 2 2 16g
2 2
3－3 刚体定轴转动的动能定理
一、力矩的功 外力Fi 使刚体转动一微小 角度d 所作的元功：
dAi Fi dri Fi dri cos(90 i ) Fi sin i ri d M i d
1 2 J mr , v r 2
k
m r M
h
2 Mgh kh2 v 1 M m 2
3－4 角动量定理 角动量守恒定律
一、质点的角动量定理和角动量守恒定律 1．质点的角动量 一质量为m的质点，以速度v运动，相对于坐标 原点O的位置矢量为r，定义质点对坐标原点O的角 动量为
L r P r m v

M
解：对定滑轮 M ，由转动定律， 对于轴O，有
R
O T1 T2 a mg
RT J MR / 2
2
对物体m，由牛顿第二定律
mg T ma
滑轮和物体的运动学关系为
a R
h
以上三式联立，可得物体下落的加速度为
m a g mM 2
物体下落高度h时的速度
4m gh v 2ah 2m M
m 2 M r g 2rdr mgR 2 0 R 3 1 J mR 2 2 M 4g 于是得 J 3R
R
o
r dr
由= o+t = 0得
o
r dr
o 3RO t 4g
又由2-o2=2，所以停下来前转过的圈数为
此时，刚体中所有质点的位移、速度和加速度都相同， 可任选刚体上一点的运动来代表。即刚体的平动满足 质心运动定理：
F ma
i
c
二、刚体的定轴转动：
刚体绕一固定直线（转轴Z）的转动。
z
此时轴外各质点都在垂直于转 轴的平面上作圆周运动，在同 一时间间隔内，走过的弧长虽 不同，但角位移，因而角速 度、角加速度都一样。适合 用圆周运动的角量描述：
2 l 2 2
A
O l
x
dx
1 J 0 r dm x dx m l2 l 2 12 12
（2）当转轴通过棒的一端A并与棒垂直时：
l 3
1 2 J A r dm x dx ml 0 3 3
2 l 2
l
3
例2 求质量为m、半径为R、厚 为h的均质圆盘对通过盘心并与 盘面垂直的轴的转动惯量。 解：如图所示，将圆盘看成许多薄圆环组成。取任一 半径为r，宽度为dr的薄圆环，它的转动惯量为：
dJ r 2dm 2r 3hdr
积分：J dJ


R
0
1 4 1 2 2r hdr R h mR 2 2
3
注意：J与h无关一个质量为m、半径为R的实心圆柱 体对其中心轴的转动惯量也与上述结果相同。
平行轴定理：
JC
2
JD
J D J C md
d
C
JC 、 JD 分别是刚体对过质心轴， 和与之相平行的另一转轴的转动 惯量。两转轴间距为d z
' C
再次用平行轴定理，得：
4 2 因而框架对质心C的转动惯量 J C 4 J ml 3
' C
4 2 2 2 10 2 J O m l 4m( l) m l 3 2 3
J
Y R
O X
例4、一质量为m，半径为R的薄圆盘， 绕与盘边相切的轴转动，求转动惯量 解：取图示坐标系，已知
Z
质点所受的合外力对某一参考点的力矩等于质点对 该点的角动量对时间的变化率—角动量定理。
3、质点的角动量守恒定律
若质点所受的合外力矩
M 0
或 L 常矢量
dL 则 0 dt
如果对于某一固定点，质点所受的合外力矩为零， 则质点对该固定点的角动量矢量保持不变—角动量守 恒定律 。 角动量守恒定律是自然界普遍适用的一条基本规律。 力矩M = 0的条件：（1）力臂 r = 0 （有心力作用）， （2）力F = 0，（3） r 与F 相互平行。
例10 发射一宇宙飞船去考察一质量为m1，半径为R 的行星。当飞船静止于空间中距行星中心r=4R时，以 初速v0发射一质量为m2(m2远小于飞船质量)的探测器， 要使探测器正好能掠着行星表面着陆，角应多大？ 解：探测器飞行过程中只 受到行星的引力，因而对 O点的角动量守恒： m
Ai M i d
o
刚体转过有限大角度时力矩的功
有多个力矩作用在刚体上时：
o
A Ai (M i )d Md
o

二、定轴转动的动能定理 刚体定轴转动的动能：为刚体各质点动能之和 1 1 1 2 2 2 2 EK mi vi (mi ri )ω Jω 2 2 2 d d d d M J J J J 因 dt d dt d 得到
薄板的正交轴定理：
Jz Jx J y
o x
y
X,Y 轴在薄板面上，Z轴与薄板垂直。
例3、质量m，长为l 的四根均匀细棒， O 组成一正方形框架，绕过其一顶点O 并与框架垂直的轴转动，求转动惯量。 解：由平行轴定理，先求出一根棒 对框架质心C的转动惯量：
C
m, l
1 l 2 1 2 2 J ml m( ) ml 12 2 3
转动惯量反映了刚体转动惯性的大小。转动惯 量越大的刚体，要改变它的转动状态就越困难。
转动惯量与刚体的大小形状、质量分布以及转 轴的位置等有关。
一般的情况下刚体质量是连 续分布的，把它分割成无限多个 微小部分，其中质量为dm的小块 到转轴的垂直距离为r，则它对该 转轴的转动惯量为

r
dm
dJ r dm
O A
l 1 2 A m g J 2 2 m gl 3g J l
G
vA l 3gl
设在竖直位置时，杆在O点受力N，将它 分解成水平与竖直的两个分量。由于此时 N t N与G 都过转轴O，对O点的力矩=0。 由转动定律知，棒转动的角加速度=0
N
Nn O C G
这时滑轮转动的角速度
v R
4m gh 2m M R
例6 一质量为m、半径为R的匀质圆盘绕通过盘心 且垂直于盘面的光滑轴正以o的角速度转动。现将 盘置于粗糙的水平桌面上，圆盘与桌面间的摩擦系 数为µ ，求圆盘经多少时间、转几圈将停下来？ 解 摩擦力是分布在整个盘面上的，计算摩擦力的 力矩时，应将圆盘分为无限多个半径为r、宽为dr的 圆环积分。故摩擦力矩为
2
积分得到整个刚体对相应转轴的转动惯量为
J r dm
2
常见刚体的转动惯量
J m r2
J m r2 / 2
J m r2 / 2 J m(r12 r22 ) / 2
J m l2 / 12
J m r2 / 2
J 2m r2 / 5
J 2m r2 / 3
例1 求质量为m，长为l的均匀细棒对下面转轴的转动 惯量：(1)转轴通过棒的中心并和棒垂直；(2) 转轴通 过棒的一端并和棒垂直。 解：(1) 在棒上离轴x处，取 一长度元dx，设棒的质量线 密度为，则dm=dx，有：
mi hi gm m gh c mi
o
x
刚体的重力势能相当于质量集中在刚体质心C 的重力 势能。 对于包含刚体的系统，功能原理仍然成立：系统外 力所作的功与系统非保守内力所作的功之和等于系 统机械能的增量。
例7 一质量为m、长为l的均匀细棒OA可绕通过其一 端的光滑轴O在竖直平面内转动。今使棒从水平位置 开始自由下摆，求细棒摆到竖直位置时下端点A的速 度，和O点处的受力。 解：细棒下降过程中只有重力矩做功。 杆重心下降了l /2, 应用功能原理
M r F
二、转动定律
力矩是刚体转动状态变化的原因，力矩的作用使 刚体获得角加速度。下图中，刚体作定轴转动，各质 点都绕转轴作圆周运动，角加速度均为。任取刚体中 一质量为的质元mi，它到转轴的垂直距离为ri，此质 元的加速度为ai，所受合外力为Fi，刚体中所有其他各 质点对它的合内力为fi。根据牛顿第二定律得
Fi ri sin i f i ri sin i (mi ri )
2
由于内力总是成对出现的，内力矩总和为零 ，有
M ( mi ri2 ) J
其中 J
2 m r i i 称为刚体对转轴的转动惯量。
刚体在合外力矩的作用下，所获得的角加速度 与力矩M的大小成正比，与刚体的转动惯量成反比， 称为刚体转动定律。它是刚体转动的基本定律。 三、转动惯量

d d d (t ), , 2 dt dt dt
2
3－2 力矩
一、力矩
转动定律 转动惯量
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
下图中，一力F作用于刚体上的P点，可将力F正 交分解为平行于转轴OZ的分力F1和在转动平面上的 分力F2。其中，F1与转轴平行，对刚体不产生转动效 应，只有F2对刚体产生转动效应。将F2乘以力的作用 线到转轴的垂直距离d（力臂），称为力F对转轴的 力矩大小，即
第三章 刚体力学
刚体是一种特殊的质点系统，无论在多大外 力作用下，系统内任意两质点间的距离始终 保持不变。
形状、大小都不变的物体称为刚体。
刚体是可以忽略由于受力而引起物体形状和 体积改变的理想模型。
3－1 刚体的运动
一、刚体的平动：刚体运动时，刚体上任一条直线的 位置始终保持彼此平行，称为平动。
M F2 d F2 r sin
若F位于转动平面内，则上式简化为
M Fd Fr sin
力矩是矢量，在定轴转动中， 力矩的方向沿着转轴，其指向 可按右手螺旋法则确定：右手 四指由矢径r的方向经小于的 角度转向力F方向时，大拇指的 指向就是力矩的方向。根据矢 量的矢积定义，力矩可表示为：