该式同样适用于薄圆盘
(4) 均匀球体绕其对称轴的转动惯量. 已知: 球的半径为 R , 质量 m . 3 3 m (4 R ) 设其质量密度为 方法1: 取距球心为 x 处, 厚度为dx、半径为 r 的薄圆盘为质量元 圆盘半径 体积元 质量元
r R x
2 2
r
R
x
dx
dV r dx （R x ) dx
i
d d M I I I 2 dt dt
2
定轴转动定律 : 刚体绕定轴转动时 , 作用在刚体 上的合外力矩等于刚体对该转轴的转动惯量与角 加速度的乘积.
以矢量形式表示 其中合外力矩
M Iβ
M Mi ri Fi
i i
力矩指向在转轴方位 转动惯量
I mi ri
2
则有
I x dm
2
l 2
l 2
x dx
2
2
l 2
0
1 3 1 2 x dx l ml 12 12
2
(2) 均匀细圆环绕其对称轴的转动惯量. 已知: 半径 R, 总质量 m .
I R dm R
2
2
dm
R
mR
2
dm
(3) 空心圆柱绕其对称轴的转动惯量. 已知: 内半径 R1, 外半径 R2 , 高 l , 总质量 m .
对(2)式乘以ri : 对 i 求和:
(1) (2)
2
Fr i i sin i fi r i sin i mi ra i it mi r i
2
Fr i i sini fi r i sin i mi r i
i i i
Fr i i sini fi r i sin i mi r i
Δm x
i i i
i
m Δmi yi m Δmi zi
i
这三个量可确定刚体上某 点 c (xc, yc, zc), 称为刚体的质 量中心, 简称质心.
m
若质量连续分布, 则有
xc = yc = zc =
xdm = ρxdV
m m

ydm m m
转动: 刚体转动时, 各个质点都绕同一直线(转动 轴)作同角速度的圆周运动.
定轴转动: 转轴固定不动的转动. 质心轴: 通过质心的转轴.


v
特点: 定轴转动时, 刚体转轴上各点保持不动. 轴 外各点在同一时间间隔 dt 内, 移动的弧长 虽然不同, 但其角位移 d 却完全一样. 因 此 , 描述刚体的定轴转动可引入新的物理 量, 如角位移、角速度和角加速度.
y x
角 位 移 不 是 矢 量
x


2

2
k
z
y x

z
z
y
x
2
y x
k

2
i
(3) 瞬时角位移 d 符合矢量运算法则, 为矢量.
角速度: 大小为在某一时刻 t 附 近的单位时间间隔内, 刚体上任 一点角位移的大小; 其方向在转 轴方位, 可用右手螺旋法则确定 .

o

z
d lim k k t 0 t dt
Fi fi Δmi ai
F f
i i i
i
mi ai
i
f
i
i
0
a1 = a2
i i i
ai = a
i i i
所以
F m a ( m )a
F ( m )a
i i i i
F ma
平动运动定律: 刚体平动时, 其运动规律与同质 量的质点相同, 受力等于刚体所受外力的矢量和.
3. 描述刚体转动的物理量 角位移: 在时间间隔 t 内, 刚体上任一点相对于 某一特定转轴转过的角度为. z

o
x
特征: (1)角位移 是相对于某一特定转轴而言的 . (2)角位移 不是矢量, 它的合成与转动 的先后次序有关, 不符合矢量的加法交换律 .
z y
z
z
y
x
i
第5章 刚体力学初步
前 4 章给出了质点运动状态变化的有关规 律. 本章介绍具有一定形状和大小物体的机械 运动规律. 既然任何物体都可看成是由大量质点组成 的, 那么前面的理论在本章中依然有效.
§5.1 刚体运动学 §5.2 刚体平动动力学 §5.3 质心与质心运动定律 §5.4 刚体绕定轴的转动 §5.5 角动量定理与角动量守恒定律 §5.6 定轴转动的动能定理 与机械能守恒定律
i
2
2. 力矩 定义: 力对某转轴的力矩, 等 于转轴到力作用点的矢径与 作用力的叉乘.
F sin
F

F cos
r
o

M r F 大小 M = rFsinθ = FR
R r sin
方向: 由 r 和 F 的右手螺旋法则确定. 特性: 力矩是矢量; 力矩的和不恒等于合力的力 矩; 每个分力的力矩与力的作用点有关.
§5.1 刚体运动学
1. 刚体 物理模型: 物体在运动和相互作用过程中, 其大 小和形状均不发生变化. 推论: 刚体内任意两点间的距离不变. 2. 刚体的运动 刚体的一般运动=平动+定轴转动
平动: 在运动过程中, 通过刚体内任一条直线的 方位始终保持不变.
特点: 刚体平动时, 内部各点运动情况完全相同. 因此, 描述质点运动的物理量(如位移、速 度和加速度)均可用来描述刚体的运动. 刚体内任意一点的平动可代表整个刚体的平动.
I Ic md
2
m d
(6) 规则形状刚体相对于对称轴的 转动惯量可直接计算求得, 其它不 规则刚体的转动惯量一般由实验 测定.
4. 转动惯量的计算 (1) 垂直于细棒且通过质心轴的转动惯量. 已知: 棒长 l , 总质量 m .
设棒的线密度为 m l
o dx x x
I x dm
§5.2 刚体平动动力学
刚体: 质点间距离保持不变的质点系. 质量元mi : 在刚体上任取一质量元 mi 视为 质点.
质量元外力F i: 其它物体施于质量元 mi 的作 用力.
质量元内力f i: 刚体内其它部分施于质量元 mi 的作用力.
由牛顿力学有 对所有质量元求和有 考虑到 且平动时有
m 设其密度为 2 （ l R2 R12 ）
在半径为 r 处, 取厚度为 dr 的薄层为质量元
R2
o
R1
r
d r
l
dm dV 2 rldr
I r dm
2
2 l R r dr
3
1
R2
l
2
(R R )
4 2 4 1
1 2 2 m( R1 R2 ) 2
=
ρydV m m
zdm = ρzdV
其中 dV 为质量元 dm 的体积.
代入分量式可得
mi xi 2 d 2 d xc m i m 2 macx Fix m 2 dt dt i mi yi 2 d 2 d yc m i m 2 macy Fiy m 2 dt dt i mi zi 2 d 2 d z m i Fiz m m 2c macz m dt i
3. 转动惯量 定义:
I mi ri r dm r dV
2 2 2 i
特性: (1) 转动惯量是标量, 它是反映刚体转动 惯性大小的物理量. (2) 它是相对于某一特定转轴而言的. 转 轴不同, 同一物体的转动惯量则不同.
(3) 它与刚体的质量和质量分布有关.
(4) 它符合加法结合律和交换律——和的转动惯 量等于转动惯量的和. Ic I (5) 转动惯量的平行轴定律:
§5.3 质心与质心运动定律
1. 刚体的质心与质心运动定律
对刚体的任意运动, 由牛顿第二定律有:
Fi mi ai
i i
刚体任意运动时, 作用在刚体上的合外力等于各 个质量元的加速度与质量元乘积的矢量和. 刚体任意运动时, 每一质量元的加速度不一定相 同, 故上式无法确定每一质量元的加速度. 但它可 以确定刚体中一特殊点——质心的加速度.
d
y
x
特征: (1) 角速度是矢量, 它反映了刚体转动瞬时 角位移随时间变化的规律. (2) 定轴转动时, 转轴的方向已经给定, 角 速度的方向可用正负表示, 即满足标量 运算法则.
角加速度: 在任意时刻 t 附近的单位时间间隔内, 刚体转动角速度的变化量, 其方向由矢量运算法 则确定.
d lim t 0 t dt
匀加速定轴转动
匀加速直线运动 a =常数
=常数
1 2 1 2 t β t x x v t at 0 0 0 0 2 2 ω ω0 βt v v 0 at 2 2 2 2 ω ω0 2 β v v 0 2ax
F ma
i i
c
质心运动定律: 刚体任意运动时, 作用在刚体上的 合外力等于刚体的质量与质心加速度的乘积.
2. 刚体的重力势能 对任一质量元
ΔEpi = Δmi ghi
Ep =
对整个刚体
ΔE
i i
pi
=
Δm gh
i i
i
= mg
Δm h
m
i i
= mghc
hc为刚体质心的高度 , 刚体的重力势能取决于其 质心的高度.
将上式写成直角坐标分量形式
d xi Fix mi aix mi dt 2 i i i 2 d yi Fiy mi aiy mi 2 d t i i i 2 d zi Fiz mi aiz mi 2 dt i i i