第八章 习题答案8．1 多元函数基本概念1．解：=),(y x f )225(9122y x xy --。

2．解：).sin sin())(,(),sin sin(sin )],([x x x x f x g y x y x y x g f =⋅=3．解：（1）0。

（2）ae 。

（3）1。

（4）0。

（利用有界量乘以无穷小量仍为无穷小量。

） （5）y x yx y x y x y x 1102222+≤++≤++≤，且.0)11(lim =+∞→∞→y x y x 从而.0lim 22=++∞→∞→y x y x y x （6）22)21()(022x x y x xy ≤+≤ ，且0)21(lim 2=+∞→x x ，所以原式0=。

4．解：不存在。

因沿不同路径趋近时极限值不同。

5．解：⑴),(y x f 的定义域为0≠+y x 。

)(a 当0≠+y x ，1≠+y x 时),(y x f 的表达式为初等函数，故连续。

)(b 当100=+y x 时，=-++-+=→+→+211)11ln(11lim),(lim y x y x y x f y x y x =+→20)1ln(1lim t tt),(200y x f =，即),(y x f 在 100=+y x 时也连续。

故),(y x f 的间断线为0=+y x 。

⑵)(a 当022≠+y x 时),(y x f 的表达式为初等函数，故连续。

)(b 当022=+y x 时，2222001)1(lim ),(lim kkx k kx y x f x kxy x +=+=→=→，显然k 取不同值时得不同极限，即),(lim 00y x f y x →→不存在，故),(y x f 在)0,0(点不连续。

⑶)(a 当022≠+y x 时),(y x f 连续。

)(b 当022=+y x 时，因y x y x f +≤),(，故0),(lim 0=→→y x f y x ，从而)0,0(0),(lim 0f y x f y x ==→→，即),(y x f 处处连续。

8．2 偏导数与全微分1.解：（1）)2cos(4),2cos()2sin(2222222y x ye yzy x e y x xe x z x x x +=∂∂+++=∂∂。

（2）]2)ln([],2cos )ln([ln 2222sin 2222sin yx y y y x y y z y x x x y x y y x z x x +++==∂∂+++⋅=∂∂。

（3）424222,y x y yzy x x y x z -=∂∂--=∂∂。

（4）yxey z x y e x z xy xy --=∂∂=∂∂21,21. (5))(a 当022≠+y x 时，,1cos 21sin2'222222yx y x x y x x z x ++-+= 2222221cos 21sin2'y x y x y y x y z y ++-+=。

)(b 022=+y x 时，0)0,0(')0,0('==y x f f 。

2．证：,ln ,ln 11x y x x xy yz y y x y yx x z x y y x x y x y +=∂∂+=∂∂--代入即得。

3.证：,0)0,0()0,(lim)0,0('0=-=→xf x f f x x 同理0)0,0('=y f ，而由前次习题4（2）知),(y x f 在)0,0(不连续。

4.证：+∆+-∆+∆+=-∆+∆+=∆),(),(),(),(00000000y y x f y y x x f y x f y y x x f f y y y x f x y y x x f y x f y y x f y x ∆∆++∆∆+∆+=-∆+),('),(')),(),((2000100000θθ，其中0＜1θ＜1，0＜2θ＜1，由题设当22)()(y x ∆+∆足够小时，M y y x x f x ≤∆+∆+),('010θ，M y y x f y ≤∆+),('200θ， ,0)(lim 0=∆+∆→∆→∆y x M y x 故,0),(),(lim 00000=-∆+∆+→∆→∆y x f y y x x f y x 即),(y x f 在点)(0,0y x 连续。

5．解：（1）dy yx y dx y x x dz 43343243+++=； （2）)1()(1122dy yxdx y yxdz --=； （3）xdy yx dx x y dz y yln 22212+=-； （4）)32(2233232dz z xy dy xyz dx z y e du z xy ++=。

6．解：（1）取,01.0,01.0),1,1(),(),ln(),(0043-=∆=∆=+=y x y x y x y x f 则+301.1ln(005.02ln )01.0(2401.0232ln )99.04-=-+⋅+≈。

（2）取,02.0,01.0),2,1(),(,arcsin),(00=∆-=∆==y x y x y x y x f 则≈)02.299.0arcsin( 302.06)02.041)01.0(21(3221arcsin-=⋅--+π。

8．3 多元函数微分法1．解：（1）)ln sin cos )(ln cos(cos )ln 1)(ln sin(cos 2121t t ttt t t t t t t t dt du t t -⋅+-⋅=； （2）])()(')()()('2[])()()(')(')()()([2221t t t t t t f t t t t t t t t f dt du ψψϕψϕϕψϕψϕϕψ-++-+=； 2.解：（1）)('2)(),(')(2222232xy f y x xy xf yzxy f xy xy yf x z +=∂∂+=∂∂； （2）))((),(),)((),(2121xf f y x xy y x f y z yf f y x xy y x f x z ++++=∂∂++++=∂∂； （3）))('1(1)(')),('())(('21221y x f x x y f y z y x f xy x y f x z --+=∂∂--+-=∂∂ψϕψϕ； （4）2321312,2ϕϕF yF yz xF F x z +=∂∂+=∂∂。

3.证：（1）,],1[,),(1212221f y x z u f x f yz x y u yf x x y y z f kx x u k kk k =∂∂+-=∂∂-=∂∂--=∂∂+∂∂+∂∂∴zu z y u y x u xku f y z x f x y f y z x yf x x y y z f kx k kk k =++-+-1212][),(。

（2）2523)(3,)(222222222222z y x x z y x x u z y x x x u ++-++=∂∂++-=∂∂,同理可得=∂∂22y u2525)(3,)(32222222222222222z y x z z y x z u z y x y z y x ++-++=∂∂++-++，故0222222=∂∂+∂∂+∂∂z uy u x u 。

4.解：恒等式0)),(),,((≡+y x z y y x xz f 两端微分0)),(()),((21≡++y x z y d f y x xz d f ，即0)),(()),(),((21≡+++y x dz dy f y x xdz dx y x z f ，故)(12121dy f dx zf f xf dz ++-=。

5．解：（1）),(''1),('1),,('),(),('122y x f y y x f yy x u y x xf y x f y x f y x u xy x x x +-=∂∂∂++=∂∂),(''),('y x xf y x f xy y +。

（2）)(')()('x yf x y x y f xy f x z -+=∂∂，)('')(''22x y f x y xy xf y x z -=∂∂∂。

（3）21)('f x f xz+=∂∂ϕ，2212112)(']1)(')('[)('f y f y x f x y x z ψψϕϕ+-+-=∂∂∂。

（4）0.0)0,0()0,(lim)0,0('0≠=-=→y x f x f f x x 时，=-=→xy f y x f y f x x ),0(),(lim ),0('0,)0)((1lim 22220y y x y x xy x x -=-+-→故：,1)0,0('),0('lim )0,0(''0-=-=→y f y f f x x y xy 同理0,0)0,0('≠=x f y 时x x f y =)0,('。

故：1)0,0(')0,('lim)0,0(''0=-=→xf x f f y y x yx 。

6．解：dt f dx f dy 21+= (1)在0),,(=++t xyxy y x F 中视),(y x t t =而得一恒等式，微分得：+++)()(21xy d F y x d F 0)(3≡+t x y d F ，即0132332211=+-++++dt F dx xyF dy x F ydx F xdy F dy F dx F ， （2） 由（1），（2）消去dt 整理得：)1()(213232132213xF F F xf F yF F F x yf f F dxdy +++--+=。

7．证：由隐函数求导法则：0)'1('1221=-+xzz x F z y F x x ， （1） 0'1)1'1(221=+-y y z x F z yz y F ， （2）因,021≠=F F （1），（2）式均消去21F F =，且同乘以xy 并相加得：z yxx y z z y z z x y x y x )()''()''(+=+++。