1.1 问题的提法
1. 插值问题 函数y=f(x)给出一组函数值 yi f ( xi ) ,
x: y: x0 x1 x2 …… xn y0 y1 y2 …… yn
i 0,1,, n
其中x0 ,x1,x2 ,…,xn是区间[a,b]上的互异点，要构造一个简 单的函数 p(x) 作为f (x)的近似表达式，使满足 p(xi ) yi , i 0,1, ,n (插值原则、插值条件 ) 这类问题称为插值问题。 p(x)-----f (x)的插值函数, f (x) -----被插值函数 x0 ,x1,x2 ,…,xn -----插值节点 求插值函数的方法称为插值法。 若x∈[a,b]，需要计算f (x) 的近似值p(x),则称 x为插值点。
同理可得
( x x0 )( x x2 ) l1 ( x ) ( x1 x0 )( x1 x2 )
( x x0 )( x x1 ) l2 ( x) ( x2 x0 )( x2 x1 )
于是求得
p2 ( x) y0 l0 ( x) y1l1 ( x) y2 l2 ( x)
1 线性插值----n=1时的代数多项式插值
已知f(x0 )=y0 ，f(x1)=y1 , x0≠x1 要构造线性函数 p1(x) ,使它满足插值条件 p1(x0)=y0 , p1(x1)=y1 .
x y x0 y0 x1 y1
y1 y0 p1 ( x ) y0 ( x x0 ) （线性插值多项式） x1 x0 x x0 x x1 p1 ( x ) y0 y0 y0 l0 ( x ) y1 l1 ( x ) x0 x1 x1 x （拉格朗日线性插值多项式）
且lj (x) (j=0,1,2)，是一个二次函数.
先构造l 0(x)因它有两个零点x1 及x2故可表为
l0 (x ) c( x x1 )( x x2)
其中c为待定系数，由条件l0(x 0)=1, 求得
1 c ( x0 x1)( x0 x2 )
于是，得
( x x1 )( x x2 ) l0 ( x ) ( x0 x1 )( x0 x2 )
当选择代数多项式作为插值函数时，称为代数多项式 插值问题:
代数多项式插值问题:
设函数y=f(x)在[a,b]有定义, 且已知在n+1个点 a≤x0<x1<……<xn≤b上的函数值y0, y1,……,yn.,要求一 个次数不高于 n的多项式 pn ( x) a0 a1 x a2 x 2 an x n 使满足插值原则 p ( x ) y , i 0,1,, n 称 pn(x)为f (x)的 n次插值多项式。
10.71428
115 的精确值为10.723805…,
与精确值比较，这个结果有3位有效数字.
基函数的性质
li ( xi ) 1 , li ( x j ) 0 ( j i ) , i , j 0,1
2 抛物插值----n=2时的代数多项式插值 已知f (x)在三个互异节点x0 ,x1 ,x2的函数值y0 ,y1 ,y2 要构造次数不超过二次的多项式 p2(x) 使满足插值条件
n i i
本章只讨论多项式插值与分段插值。因为多项式具有一些很 好的特性，如它具有各阶导数，计算多项式的值比较方便，多项 式四则运算后仍是多项式等等。
2 插值多项式的存在唯一性 定理2 在n+1个互异基点处满足插值原则且次数不超过n的 证 多项式 pn(x)是存在并唯一的。
由 pn ( xi ) yi , i 0,1,, n 得
（拉格朗日二次插值多项式 ） 显然，它满足
p2 ( x j ) y j , ( j 0,1,2)
例2 利用100,121和144的开方值求
x y 100 12)(115 144) (115 100)(115 144) 11 p2 (115) 10 ( 121 100 )( 121 144 ) (100 121)(100 144)
其系数行列式
a0 a1 x0 a 2 x0 2 a n x0 n y0 2 n a0 a1 x1 a 2 x1 a n x1 y1 2 n a a x a x a x 1 n 2 n n n yn 0
2 1 x0 x0 n x0
2 n 1 x x x 1 1 1 V ( x0 , x1 ,, xn ) ( xi x j ) 0 0 j i n
1 xn
2 n xn xn
因此方程组存在唯一的解a0 , a1 ,, an ，因此 pn(x)存在并唯一。
1.2 拉格朗日插值多项式 1 线性插值 2 抛物插值 3 一般情形
x x0 l1 ( x ) （线性插值基函数） x1 x0
公式的结构：它是两个一次函数的线性组合
x x1 l0 ( x ) , x0 x1
例1 已知
x y
100 10, 121 11, 求 115
100 121 10 11
解
p2 (115) 115 121 115 100 10 11 121 100 100 121
(115 100)(115 121) 12 (144 100)(144 121)
x
y
x0
y0
x1
y1
x2
y2
p2 ( x j ) y j , ( j 0,1,2)
公式的构造： 采用基函数方法构造 p2(x)，先构造三个 二次插值基函数 lj (x)(j=0,1,2)，使满足
l 0 (x0 ) 1 , l 0 (x1 ) l 0 ( x2 ) 0 l1 (x1 ) 1 , l1 (x0 ) l1 ( x2 ) 0 l (x ) 1 , l (x ) l 2 ( x1) 0 2 0 2 2