y0 +
x - x0 x1 - x0
1
y1 i0 li ( x) yi
l0(x)
l1(x)
n1
希望找到li(x)，i = 0, …, n 使得 li(xj)=ij ；然后令
n
Pn ( x )
li ( x )
i0
y i
，则显然有Pn(xi) = yi 。
每个 li 有 n 个根 x0 … xi-1， xi+1 … xn
第五章 插值法
在生产和科研实践中常常遇到这种情况：
虽然可以确定所考虑函数的一些性质，但却难以找到它 的解析表达式，只能通过实验和观测得到在有限个点上的函 数值。要利用这张函数表来分析函数、求出其它一些点上的 函数值是困难的;
另外, 有时虽然可以写出函数的解析表达式，但由于结 构相当复杂，使用起来很不方便。
f (n1) ( x ) - L(nn1) ( x ) - K ( x )( n 1) ! 0
K(x)
f (n1) ( x )
(n 1) !
Rn( x)
f (n1) ( x ) (n 1) !
n
(x - xi )
i0
通常不能确定 x , 而是估计 f (n1)( x) Mn1 , x(a,b)
Rn( x) f ( x) - Ln( x)
n
Rn(x) 至少有 n+1 个根
Rn( x) K(x) ( x - xi )
i0
n
给定 x xi (i = 0, …, n), 考察 j ( t ) Rn ( t ) - K ( x ) ( t - x i )
i0
j(t)有 n+2 个不同的根 x0 … xn x， j (n1) ( x ) 0, x (a, b)
项式是唯一存在的。
证明：
若除了Ln(x) 外还有另一 n 阶多项式 Pn(x) 满足 Pn(xi) = yi 。 考察 Qn( x) Pn( x) - Ln( x) , 则 Qn 的阶数 n 而 Qn 有 n + 1 个不同的根 x0 … xn
拉格朗日插值余项
设节点a x0 x1 xn b ，且 f 满足条件 f C n[a,b] , f (n1)在[a , b]内存在, 考察截断误差
n=1
已知 x0 , x1 ; y0 , y1 ，求 P1( x) a0 a1 x 使得
P1( x0 ) y0 , P1( x1 ) y1
可见 P1(x) 是过 ( x0 , y0 ) 和 ( x1, y1 ) 两点的直线。
P1 ( x)

y0

y1 x1
-
y0 x0
(x
-
x0 )
= x - x1 x0 - x1
4
)

3 2
sin 50 0

L2
(
5
18
)
0.76543
R2 ( x)

-
cos x
3!
(x
-

6
)(
x
-

4
)(
x
-

3
)
;
1 2

cos x

3 2
0.00044

R2
5
18


0.00077
sin 50 = 0.7660444…
2次插值的实际误差 0.00061
§2 均差与牛顿插值公式
Lagrange 插值虽然易算，但若要增加一个节点 时，全部基函数 li(x) 都需重新算过。
将 Ln(x) 改写成 a0 a1( x - x0 ) a2( x - x0 )( x - x1 ) ... an( x - x0 )...( x - xn-1) 的形式，希望每加一个节点时， 只附加一项上去即可。
分别利用 sin x 的2次 Lagrange 插值计算 sin 50 并估计误差。
L2 ( x)

(x
(
6
-
4
4
)( x
)(
6
-
3
)
3
)

1 2

(x
(
4
-
6
6
)( x
)(
4
-
3
)
3
)

1 2

(x
(
3
-
6
6
)( x
)(
3
-
4
)
面对这些情况，总希望构造某个简单函数作为近似。
插值法 比较古老, 常用的方法。
当未知函数 y = f(x) 非常复杂时，在一系列节 点 x0 … xn 处测得函数值：
y0 = f(x0) …
yn = f(xn) 由此构造一个简单易算的近似函数
P(x) f(x)， 满足条件P(xi) = f(xi) (i = 0, … n)，称P(x) 为f(x) 的插值函数。 最常用的插值函数是多项式
例
Newton均差插值公式：
它满足
1次插值多项式
(k<=n)
Newton均插差值公式
n 1 ( x)
先介绍均差的定义及性质 均差的定义：
性质1（线性组合）
n

f (xi )
i0 n1(xi )
其中
k
k1( x) ( x - xi ) , i0
k
k 1( xi ) ( xi - x j ) j0 ji
性质2（对称性） 差商的值与 xi 的顺序无关！
性质3（与导数的关系） f [x0 , ... , xk ] f (k) ( ) /(k !)
将
M n1 (n 1)!
n i0
|
x
-
xi
|
作为误差估计上限。
当 f(x) 为任一个次数 n 的多项式时，f (n1)( x) 0 ,
可知 Rn ( x) 0 ，即插值多项式对于次数 n 的多项 式是精确的。
例：已知
s in 61Fra bibliotek2,sin

4

1 2
,
s
in

3

3 2
Y
y f x
y P x
y0 y1
0 a x0 x1
yn
xn b
X
§1 拉格朗日多项式
求 n 次多项式 Pn ( x) a0 a1 x an xn 使得
Pn ( xi ) yi , i 0, ... , n
条件：无重合节点，即 i j xi x j
li (x) Ci
(x-
ji
xj )
li (xi ) 1
Ci

ji
( xi
1 - xj)
li ( x)
n ji
(x- xj) (xi - x j )
j0
n
Ln ( x) li ( x) yi i0
n次插值基函数， Lagrange插值多项式
定理 (唯一性) 满足 P( xi ) yi , i 0, ... , n 的 n 阶插值多