7-2. 在图示各单元体中，试用解析法和应力圆求斜面ab 上的应力。
应力单位为MPa 。
解：（a ）（1）应力分量o xy y x MPa MPa 30 0 70 70==-==ατσσ（2）用解析法求斜截面上的应力MPaMPaxy yx xyyx yx 6.6060sin 270702cos 2sin 23560cos 27070270702sin 2cos 22=︒+=+-==︒++-=--++=ατασστατασσσσσαα（3）应力圆（b ）（1）应力分量o xy y x MPa MPa 30 0 70 70====ατσσ（2）用解析法求斜截面上的应力a)c)d)b)σ2cos 2sin 270270702sin 2cos 22=+-==+=--++=ατασστατασσσσσααx yx x yx yx MPa（3）应力圆：为一点圆（c ）（1）应力分量o xy y x MPa MPa 60 0 50 100====ατσσ（2）用解析法求斜截面上的应力MPaMPax yx x yx yx 7.21120sin 2501002cos 2sin 25.62120cos 2501002501002sin 2cos 22=︒-=+-==︒-++=--++=ατασστατασσσσσαα（3）应力圆σσ（d ）（1）应力分量o xy y x MPa MPa 150 0 100 50===-=ατσσ（2）用解析法求斜截面上的应力MPaMPax yx x yx yx 65300sin 2100502cos 2sin 25.12300cos 2100502100502sin 2cos 22=︒--=+-=-=︒--++-=--++=ατασστατασσσσσαα（3）应力圆7-3. 已知应力状态如图所示，图中的应力单位为MPa 。
试用解析法和应力圆求：（1）主应力大小，主平面位置；（2）在单元体上给出主平面位置及主应力方向；（3）最大剪应力。
解：（e ）（1）应力分量M Pa M Pa xy y x 20 80 0=-==τσσ（2）求主平面位置和主应力大小20e)f)σoo o yx xytg 7.7690 3.135.022000=+-=∴-=--=αασσταMPaMPa MPaMPa xy x yx 7.84 0 7.47.847.420)280(280)2(23212222minmax -===∴⎩⎨⎧-=+±-=+-±+=⎩⎨⎧σσστσσσσσσ （3）主平面位置及主应力方向（4）最大剪应力MPa 7.4427.847.4231max =+=-=σστ（5）应力圆（f ）（1）应力分量M Pa M Pa M Pa xy y x 20 30 20==-=τσσ（2）求主平面位置和主应力大小oo o yx xytg 3.10990 3.198.022000=+=∴=--=αασστα1σMPaMPa MPa MPa xy x yx 27 0 37273720)23020(23020)2(23212222minmax -===∴⎩⎨⎧-=+--±+-=+-±+=⎩⎨⎧σσστσσσσσσ （3）主平面位置及主应力方向（4）最大剪应力MPa 3222737231max =+=-=σστ （5）应力圆7-10. 薄壁圆筒的扭转-拉伸示意图如图所示。
若P=20kN ，T=600NN·m ，且d=50mm ，=2mm 。
试求：（1）A 点在指定斜截面上的应力。
（2）A 点主应力的大小及方向，并用单元体表示。
解：（1）A 点的应力状态σσx属二向应力状态，应力分量是MPa Pa t r T MPa Pa A P xyy x 6.70106.70102262600207.63107.631025020000692266-=⨯-=⨯⨯⨯-=-===⨯=⨯⨯⨯==--ππτσπσ（2）斜截面的应力：MPa MPa xy yx xyyx yx o 7.7240cos 6.70240sin 27.632cos 2sin 22.45240sin 6.70240cos 27.6327.632sin 2cos 22120=︒-︒=+-=-=︒+︒+=--++==ατασστατασσσσσααα（3）主方向oo o y x xytg 9.12290 9.3222.27.63)6.70(222000=+==-⨯-=--=αασστα（4）主应力6.45 0 3.1096.453.109)6.70()27.63(27.63)2(23212222minmax MPa MPa MPa MPa xyy x yx -===∴⎩⎨⎧-=-+±=+-±+=⎩⎨⎧σσστσσσσσσ（5）主单元体7-11. 图示简支梁为36a 工字梁，P=140kN ，l=4m 。
A 点所在截面在P 的左侧，且无限接近于P 。
试求：（1）A 点在指定斜截面上的应力；（2）A 点的主应力及主平面位置。
解：（1）A 截面上的剪力和弯矩kNm Pl M kN P Q 1404702====（2）A 点的应力状态（3）截面几何性质mmt H h mm t mm b mm B mm H cm I cm W z 4.32828.15 10 136 ******** 87543=-======= （4）应力分量MPa H h b h H B b I Q MPa I H M z xyy z x 56.20)]164(2)(8[075.7942222=-+-===⋅=τσσ（5）斜截面上的应力MPaMPa xyyx xyyx y x o 25.242cos 2sin 213.22sin 2cos 2260=+-==--++==ατασστατασσσσσαααx（6）主方向oo o yx xytg 4.7690 6.13516.075.7956.20222000=+-=-=⨯-=--=αασστα（7）主应力0.5 0 7.840.57.84)56.20()275.79(275.79)2(23212222minmax MPa MPa MPa MPa xyy x yx -===∴⎩⎨⎧-=+±=+-±+=⎩⎨⎧σσστσσσσσσ 7-13. 二向应力状态如图所示，应力单位为MPa 。
试求主应力并作应力圆。
解：（1）用垂直面截得其中o y MPa MPa 30 50 80-===ασσα（2）求应力分量MPax o x x xyyx yx o 400)60cos(2802802sin 2cos 225030=∴---++=--++==-=σσσατασσσσσαα（3）主应力σx0 40 80321=====σσσσσM Pa M Pa x y（4）应力圆7-16. 试求图示各应力状态的主应力及剪应力，应力单位为MPa 。
解：（1）z 面为一主平面，其上面的正应力为一主应力； （2）分析xy 平面的应力分量M Pa M Pa M Pa xy y x 40 20 30=-==τσσ（3）求主应力大小MPaMPa MPa MPa MPa xy x yx 2.42 50 2.522.422.5240)22030(22030)2(23212222minmax -===∴⎩⎨⎧-=++±-=+-±+=⎩⎨⎧σσστσσσσσσ（4）最大剪应力MPa 2.47231max =-=σστ 7-17. 列车通过钢桥时用变形仪量得钢桥横梁A 点的应变为x=0.0004，y=-0.00012。
试求A 点在x-x 和y-y 方向的正应力。
设E=200GPa ，μ=0.3。
σb)xyz解：根据广义虎克定义：)(1)(1x y y y x x EEμσσεμσσε-=-=解得0)0004.03.000012.0(3.0110200)(180)00012.03.00004.0(3.0110200)(1292292=⨯+--⨯=+-==⨯--⨯=+-=x y y y x x EMPa Eμεεμσμεεμσ7-18. 在一体积较大的钢块上开一个贯通的槽，其宽度和深度皆为10mm 。
在槽内紧密无隙地嵌入一铝质立方块，尺寸为10mm×10mm×10mm 。
当铝块受到压力P=6kN 的作用时，假设钢块不变形，铝的弹性模量E=70GP,μ=0.33。
试求铝块的三个主应力及相应的变形。
解：（1）z 方向的应力MPa Pa A P z 601060101010600066-=⨯-=⨯⨯-=-=-σ （2）x 面是自由面，x 方向的正应力为零，即0=x σ（3）y 方向的线应变为零MPa Ez y x z y y 8.19)60(33.00)]([1-=-⨯==∴=+-=μσσσσμσε （4）x 、y 、z 三个方向是主方向，主应力是M Pa M Pa M Pa z y x 60 8.19 0321-==-====σσσσσσ（5）三个方向的线应变和变形mmm l l l mm m l l EE z z y x x z y x 333333369123336932111065.7101010765.001076.3101010376.010764.010)]8.190(33.060[10701)]([1010376.0]10)608.19(33.00[10701)]([1--------⨯-=⨯⨯⨯-=⋅==⨯=⨯⨯⨯=⋅=⨯-=⨯---⨯=+-===⨯=⨯---⨯=+-==εΔΔεΔσσμσεεεσσμσεε7-19. 从钢构件内某一点的周围取出一单元体如图所示。
根据理论计算已经求得=30MPa ，=15MPa 。
材料E=200GPa 。
μ=0.30。
试求对角线AC 的长度改变l 。
解：（1）应力分量M Pa M Pa xy y x 15 0 30-===τσσ（2）求30o 和-60o 斜截面上的正应力：MPa MPa x y x y x x yx yx 5.5)120sin(15)120cos(2302302sin 2cos 225.3560sin 1560cos 2302302sin 2cos 226030-=︒-+︒-+=--++==+︒+=--++=︒-︒ατασσσσσατασσσσσ（3）求30o 方向的线应变σ4696030301086.110)49.53.049.35(102001)(1-︒-︒︒⨯=⨯⨯+⨯=⋅-=σμσεE（4）求AC 的长度变化mm m ACl 363430103.91028.91030sin 251086.1----︒⨯=⨯=⨯︒⨯⨯=⨯=εΔ7-25. 某厚壁筒横截面如图所示。