x
M(x)
FQ(x)
从坐标为x的任意截面处截开，因为固定端有两个约束 力，考虑截面左侧平衡时，建立的弯矩方程比较复杂，所以 考虑右侧部分的平衡，得到弯矩方程：
M (x) 1 ql x2
2
0 x l
第6章 梁的位移分析与刚度问题
梁的小挠度微分方程及其积分
O
x
w
解：2．建立梁的弯矩方程
M (x) 1 ql x2
梁的变形与梁的位移
机械传动机构中的齿轮轴，当变形过大时 (图中虚线所示)，两齿轮的啮合处将产生较大的 挠度和转角，这就会影响两个齿轮之间的啮合， 以致不能正常工作。
同时，还会加大齿轮磨损，同时将在转动 的过程中产生很大的噪声。
此外，当轴的变形很大时，轴在支承处也 将产生较大的转角，从而使轴和轴承的磨损大 大增加，降低轴和轴承的使用寿命。
EI
d 2 w1 dx2
M1
x
3 4
FP x
0
x
l 4
EI
d 2 w2 dx2
＝－M 2
x
－
3 4
FP x＋FP
x－ l 4
l 4
x
l
积分后，得
EI1
3 8
FP x 2
C1
EIw1
1 8
FP
x3
C1x
D1
EI
＝－3
2
8
FP
x 2＋1 2
FP
x－ l 4
2
C2
EIw2＝－81
FP
x 3＋1 6
FP x－FP
x－ l 4
l 4
x
l
解： 3． 将弯矩表达式代入小挠度微分方程并分别积分
EI
d 2 w1 dx2
M1
x
3 4
FP x
0
x
l 4
EI
d 2 w2 dx2
＝－M 2
x
－
3 4
FP
x＋FP
x－
l 4
l 4
x
l
第6章 梁的位移分析与刚度问题
梁的小挠度微分方程及其积分
解： 3． 将弯矩表达式代入小挠 度微分方程并分别积分
第6章 梁的位移分析与刚度问题
梁的变形与梁的位移
在工程设计中还有另外一类问题，所考虑的不是 限制构件的弹性位移，而是希望在构件不发生强度 失效的前提下，尽量产生较大的弹性位移。例如， 各种车辆中用于减振的钣簧，都是采用厚度不大的 板条叠合而成，采用这种结构，钣簧既可以承受很 大的力而不发生破坏，同时又能承受较大的弹性变 形，吸收车辆受到振动和冲击时产生的动能，收到 抗振和抗冲击的效果。
C ql3 , 6
D ql3 24
第6章 梁的位移分析与刚度问题
梁的小挠度微分方程及其积分
EIw' EI 1 q l x3 C
6
EIw 1 q l x4 Cx D
24
C ql3 , 6
D ql3 24
解： 5． 确定挠度与转角方程
w
q 24EI
l
x4
4l 3 x
l
4
材料力学 基础篇之六
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第6章 梁的变形分析与刚度问题
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第6章 梁的位移分析与刚度问题
上一章的分析结果表明，在平面弯曲的情形下，梁的 轴线将弯曲成平面曲线。如果变形太大，也会影响构件正 常工作。因此，对机器中的零件或部件以及土木工程中的 结构构件进行设计时，除了满足强度要求外，还必须满足 一定的刚度要求，即将其变形限制在一定的范围内。为此， 必须分析和计算梁的变形。
第6章 梁的位移分析与刚度问题
梁的小挠度微分方程及其积分
O
x
w
解：1．建立Oxw坐标系 建立Oxw坐标系（如图所示）。因为梁上作用有连续分
布载荷，所以在梁的全长上，弯矩可以用一个函数描述，即 无需分段。
2．建立梁的弯矩方程
第6章 梁的位移分析与刚度问题
梁的小挠度微分方程及其积分
解：2．建立梁的弯矩方程
FP
x－ l 4
3
C2
x
D2
其中，C1、D1、C2、D2为积分常数，由支承处的约束条件和
AB段与BC段梁交界处的连续条件确定。
第6章 梁的位移分析与刚度问题
梁的小挠度微分方程及其积分
EI1
3 8
FP x 2
C1
EIw1
1 8
FP
x3
C1x
D1
EI
＝－3
2
8
FP
x 2＋1 2
FP
x－ l 4
1＝M
EI
第6章 梁的位移分析与刚度问题
梁的变形与梁的位移
挠度与转角的相互关系
梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变，这种位置的改 变称为位移(displacement)。梁的位移包括三部分：
横截面形心处的铅垂位移，称为挠度（deflection），用w 表示；
变形后的横截面相对于变形前位置绕中性轴转过的角度， 称为转角（slope），用表示；
第6章 梁的位移分析与刚度问题
梁的小挠度微分方程及其积分
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第6章 梁的位移分析与刚度问题
梁的小挠度微分方程及其积分
小挠度微分方程 小挠度微分方程的积分与积分常数的确定
第6章 梁的位移分析与刚度问题
梁的小挠度微分方程及其积分
小挠度微分方程
力学中的曲率公式
1M
EI
数学中的曲率公式
第6章 梁的位移分析与刚度问题
梁的变形与梁的位移
梁的位移分析的工程意义
位移分析中所涉及的梁的变形和位移，都是弹性 的。尽管变形和位移都是弹性的，但在工程设计中， 对于结构或构件的弹性位移都有一定的限制。弹性 位移过大，也会使结构或构件丧失正常功能，即发 生刚度失效。
第6章 梁的位移分析与刚度问题
wB
ql 4 8EI
max
B
ql 3 6EI
第6章 梁的位移分析与刚度问题
梁的小挠度微分方程及其积分
例题2
已知：简支梁受力如
图所示。FP、EI、l均为已
知。求：加力点B的挠度和
支承A、C处的转角。
第6章 梁的位移分析与刚度问题
梁的小挠度微分方程及其积分
解：1． 确定梁约束力 首先，应用静力学方法求得 梁在支承A、C二处的约束力分别 如图中所示。
d2w
1
dx 2
3
1
dw
2
2
dx
第6章 梁的位移分析与刚度问题
梁的小挠度微分方程及其积分
小挠度微分方程
小挠度情形下
dw
2
dx
1
d2w
1
dx2
3
1
dw dx
2
2
d2w M dx2 EI
对于弹性曲线的小挠度微分方程，式中的正负 号与w坐标的取向有关。
第6章 梁的位移分析与刚度问题
2 3． 建立微分方程并积分
0 x l
将上述弯矩方程代入小挠度微分方程，得
EIw" M 1 q l x2
2
第6章 梁的位移分析与刚度问题
梁的小挠度微分方程及其积分
O
x
w
3． 建立微分方程并积分
EIw" M 1 q l x2
2 积分后，得到
EIw' EI 1 q l x3 C
2． 分段建立梁的弯矩方程 因为B处作用有集中力FP，所以需要分为AB和BC两段 建立弯矩方程。 在图示坐标系中，为确定梁在0～l/4范围内各截面上的 弯矩，只需要考虑左端A处的约束力3FP/4；而确定梁在l/4～ l范围内各截面上的弯矩，则需要考虑左端A处的约束力 3FP/4和荷载FP。
第6章 梁的位移分析与刚度问题
第6章 梁的位移分析与刚度问题
梁的小挠度微分方程及其积分
解： 4． 利用约束条件和连续条 件确定积分常数
EI1
3 8
FP x 2
C1
EIw1
1 8
FP
x3
C1x
D1
EI
＝－3
2
8
FP
x 2＋1 2
FP
x－ l 4
2
C2
EIw2＝－81
FP
x 3＋1 6
FP
x－ l 4
3
C2
x
D2
x＝0， w1＝0; x＝l， w2＝0
q 6EI
l
x3
l
3
ห้องสมุดไป่ตู้
第6章 梁的位移分析与刚度问题
梁的小挠度微分方程及其积分
w
q 24EI
l
x4
4l 3 x
l4
q 6EI
l
x3
l
3
解： 6． 确定最大挠度与最大转角
从挠度曲线可以看出，在悬臂梁自由端处，挠度和 转角均为最大值。
于是，将 x = l，分别代入挠度方程与转角方程，得
到：
wmax
梁的小挠度微分方程及其积分
小挠度微分方程
d2w M
dx2 EI
对于等截面梁，应用确定弯矩方程的方法，写出弯矩方程
M(x)，代入上式后，分别对x作不定积分,得到包含积分常数的挠
度方程与转角方程：
dw dx
l
M x
EI
dx
C
w
l
l
M x
EI
dx
dx
Cx
D
其中C、D为积分常数。
第6章 梁的位移分析与刚度问题
梁的小挠度微分方程及其积分
解： 2． 分段建立梁的弯矩方程
于是，AB和BC两段的弯矩方程分别为