2020年北京市中考数学全真模拟试卷一．选择题（共8小题）1．2022年冬奥会由北京和张家口两市联合承办．北京到张家口的自驾距离约为196 000米．196 000用科学记数法表示应为（）A．1.96×105B．19.6×104C．1.96×106D．0.196×106 2．如图，已知数轴上的点A，O，B，C，D分别表示数﹣2，0，1，2，3，则表示数2﹣的点P应落在线段（）A．AO上B．OB上C．BC上D．CD上3．在娱乐节目“墙来了！”中，参赛选手背靠水池，迎面冲来一堵泡沫墙，墙上有人物造型的空洞．选手需要按墙上的造型摆出相同的姿势，才能穿墙而过，否则会被墙推入水池．类似地，有一块几何体恰好能以右图中两个不同形状的“姿势”分别穿过这两个空洞，则该几何体为（）A．B．C．D．4．如图，将一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．若∠2＝40°，则∠1的度数是（）A．60°B．50°C．40°D．30°5．如图，M是正六边形ABCDEF的边CD延长线上的一点，则∠ADM的度数是（）A．135°B．120°C．108°D．60°6．如果代数式m（m+2）＝2，那么÷的值为（）A．4 B．3 C．2 D．17．太阳能是来自太阳的辐射能量，对于地球上的人类来说，太阳能是对环境无任何污染的可再生能源，因此许多国家都在大力发展太阳能．如图是2013﹣2017年我国光伏发电装机容量统计图．根据统计图提供的信息，判断下列说法不合理的是（）A．截至2017年底，我国光伏发电累计装机容量为13078万千瓦B．2017年我国光伏发电新装机容量占当年累计装机容量的50%C．2013﹣2017年，我国光伏发电新增装机容量的平均值约为2500万千瓦D．2013﹣2017年，我国光伏发电新增装机容量先减少后增加8．为了锻炼学生身体素质，训练定向越野技能，某校在一公园内举行定向越野挑战赛．路线图如图1所示，点E为矩形ABCD边AD的中点，在矩形ABCD的四个顶点处都有定位仪，可监测运动员的越野进程，其中一位运动员P从点B出发，沿着B﹣E﹣D的路线匀速行进，到达点D．设运动员P的运动时间为t，到监测点的距离为y．现有y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这一信息的来源是（）A．监测点A B．监测点B C．监测点C D．监测点D二．填空题（共8小题）9．若代数式的值为0，则实数x的值为．10．已知命题“对于非零实数a，关于x的一元二次方程ax2+4x﹣2＝0必有实数根”，能说明这个命题是假命题的一个反例是a＝．11．如图，点A，B，C，D是⊙O上的四个点，点B是弧AC的中点，如果∠ABC＝70°，那∠ADB＝．12．如图，在矩形ABCD中，E是边CD的延长线上一点，连接BE交边AD于点F，若AB＝40，BC＝60，DE＝20，则AF的长为．13．某校春游，若包租相同的大巴13辆，那么就有14人没有座位；如果多包租1辆，那么就多了26个空位，若设春游的总人数为x人，则列方程为14．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为A（3，0），等腰直角三角形ABC的边AB在x轴的正半轴上，∠ABC＝90°，点B在点A的右侧，点C在第一象限，将△ABC 绕点A逆时针旋转75°，如果点C的对应点E恰好落在y轴的正半轴上，那么边AB的长为．15．某水果公司新购进10000千克柑橘，每千克柑橘的成本为9元．柑橘在运输、存储过程中会有损坏，销售人员从所有的柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录如表所示：柑橘总重50 100 150 200 250 300 350 400 450 500量n/千克5.50 10.50 15.15 19.42 24.25 30.93 35.32 39.24 44.57 51.54损坏柑橘重量m/千克0.110 0.105 0.101 0.097 0.097 0.103 0.101 0.098 0.099 0.103柑橘损坏的频率根据表中数据，估计柑橘损坏的概率为（结果保留小数点后一位）；由此可知，去掉损坏的柑橘后，水果公司为了不亏本，完好柑橘每千克的售价至少为元．16．某单位现要组织其市场和生产部的员工游览该公园，门票价格如下：购票人数1～50 51～100 100以上门票价格13元/人11元/人9元/人如果按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1245元；如果两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为945元．那么该公司这两个部的人数之差的绝对值为．三．解答题（共12小题）17．下面是小星同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程：已知：如图，直线l和直线l外一点A求作：直线AP，使得AP∥l①在直线l上任取一点B（AB与l不垂直），以点A为圆心，AB为半径作圆，与直线l交于点C．②连接AC，AB，延长BA到点D；③作∠DAC的平分线AP．所以直线AP就是所求作的直线根据小星同学设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB（填推理的依据）∵∠DAC是△ABC的外角，∴∠DAC＝∠ABC+∠ACB（填推理的依据）∴∠DAC＝2∠ABC∵AP平分∠DAC，∴∠DAC＝2∠DAP∴∠DAP＝∠ABC∴AP∥l（填推理的依据）18．19．解不等式组：并将解集在数轴上表示出来．20．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以AD，OD为邻边作平行四边形ADOE，（1）求证：四边形AOBE是菱形；（2）若∠EAO+∠DCO＝180°，DC＝2，求四边形ADOE的面积．21．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k（k+2）＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）写出一个满足条件的k的值，并求此时方程的根．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+1与图数y＝的限象交于A（﹣2，a），B两点．（1）求a，k的值；（2）已知点P（0，n），过点P作平行于x轴的直线l，交函数y＝的图象于点C（x1，y1），交直线y＝﹣x+1的图象于点D（x2，y2），若|x1|≤|x2|，结合函数图象，请求出m 的取值范围．23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点Q为CA延长线上一点，延长QD交BC于点P，连接OD，∠ADQ＝∠DOQ．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若AQ＝AC，AD＝4时，求BP的长．24．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝6cm，E是线段AB上一动点，D是BC的中点，过点C作射线CG，使CG∥AB，连接ED，并延长ED交CG于点F，连接AF．设A，E两点间的距离为xcm，A，F两点间的距离为y1cm，E，F两点间的距离为y2cm．小丽根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小丽的探究过程，请补充完整：（1）按照表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值；x/cm0 1 2 3 4 5 6y1/cm9.49 8.54 7.62 6.71 5.83 5.00 4.24y2/cm9.49 7.62 5.83 3.16 3.16 4.24 （2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△AEF为等腰三角形时，AE的长度约为cm．25．丁老师为了解所任教的两个班的学生数学学习情况，对数学进行了一次测试，获得了两个班的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．①A、B两班学生（两个班的人数相同）数学成绩不完整的频数分布直方图如下（数据分成5组：x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）：②A、B两班学生测试成绩在80≤x＜90这一组的数据如下：A班：80 80 82 83 85 85 86 87 87 87 88 89 89B班：80 80 81 81 82 82 83 84 84 85 85 86 86 86 87 87 87 8787 88 88 89③A、B两班学生测试成绩的平均数、中位数、方差如下：平均数中位数方差A班80.6 m96.9B班80.8 n153.3 根据以上信息，回答下列问题：（1）补全数学成绩频数分布直方图；（2）写出表中m、n的值；（3）请你对比分析A、B两班学生的数学学习情况（至少从两个不同的角度分析）．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1与y轴交于点C．（1）试用含m的代数式表示抛物线的顶点坐标；（2）将抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1沿直线y＝﹣1翻折，得到的新抛物线与y轴交于点D，若m＞0，CD＝8，求m的值．（3）已知A（﹣k+4，1），B（1，k﹣2），在（2）的条件下，当线段AB与抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1只有一个公共点时，请求出k的取值范围．27．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为∠ACB平分线CD上一动点（不与点C 重合），点E关于直线BC的对称点为F，连接AE并延长交CB延长线于点H，连接FB并延长交直线AH于点G．（1）求证：AE＝BF．（2）用等式表示线段FG，EG与CE的数量关系，并证明．（3）连接GC，用等式表示线段GE，GC与GF的数量关系是．28．对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在两个点A，B，使得点P在射线BC上，且∠APB＝∠ACB（0°＜∠ACB＜180°），则称P为⊙C的依附点．（1）当⊙O的半径为1时①已知点D（﹣1，0），E（0，﹣2），F（2.5，0），在点D，E，F中，⊙O的依附点是；②点T在直线y＝﹣x上，若T为⊙O的依附点，求点T的横坐标t的取值范围；（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线y＝﹣2x+2与x轴、y轴分别交于点M、N，若线段MN上的所有点都是⊙C的依附点，请求出圆心C的横坐标n的取值范围．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．2022年冬奥会由北京和张家口两市联合承办．北京到张家口的自驾距离约为196 000米．196 000用科学记数法表示应为（）A．1.96×105B．19.6×104C．1.96×106D．0.196×106【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：196 000＝1.96×105，故选：A．2．如图，已知数轴上的点A，O，B，C，D分别表示数﹣2，0，1，2，3，则表示数2﹣的点P应落在线段（）A．AO上B．OB上C．BC上D．CD上【分析】先估算出的范围，再估算2﹣的范围，即可解答．【解答】解；∵1＜＜2，∴0＜2﹣＜1，故选：B．3．在娱乐节目“墙来了！”中，参赛选手背靠水池，迎面冲来一堵泡沫墙，墙上有人物造型的空洞．选手需要按墙上的造型摆出相同的姿势，才能穿墙而过，否则会被墙推入水池．类似地，有一块几何体恰好能以右图中两个不同形状的“姿势”分别穿过这两个空洞，则该几何体为（）A．B．C．D．【分析】看哪个几何体的三视图中有圆，三角形即可．【解答】解：A、三视图都为正方形，故A选项不符合题意；B、三视图分别为长方形，长方形，圆，故B选项不符合题意；C、三视图分别为三角形，三角形，圆，故C选项符合题意；D、三视图都为圆，故D选项不符合题意；故选：C．4．如图，将一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．若∠2＝40°，则∠1的度数是（）A．60°B．50°C．40°D．30°【分析】由两直线平行，同位角相等，可求得∠3的度数，然后求得∠1的度数．【解答】解：如图，∵∠2＝50°，∴∠3＝∠2＝40°，∴∠1＝90°﹣40°＝50°．故选：B．5．如图，M是正六边形ABCDEF的边CD延长线上的一点，则∠ADM的度数是（）A．135°B．120°C．108°D．60°【分析】根据多边形的外角和等于360度可求∠EDM，再根据多边形内角与外角的关系可求∠EDC，进一步求得∠EDA，再根据角的和差关系可求∠ADM的度数．【解答】解：由多边形的外角和等于360度可得∠EDM＝360°÷6＝60°，则∠EDC＝180°﹣60°＝120°，∴∠EDA＝120°÷2＝60°，∴∠ADM＝∠EDA+∠EDM＝120°．故选：B．6．如果代数式m（m+2）＝2，那么÷的值为（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】化简原分式时，先对分子的多项式因式分解，然后除法变成乘法，进行约分化简，然后整体代入即可求解结果．【解答】解：÷＝＝m（m+2），∵已知m（m+2）＝2，所以原分式的值为2．故选：C．7．太阳能是来自太阳的辐射能量，对于地球上的人类来说，太阳能是对环境无任何污染的可再生能源，因此许多国家都在大力发展太阳能．如图是2013﹣2017年我国光伏发电装机容量统计图．根据统计图提供的信息，判断下列说法不合理的是（）A．截至2017年底，我国光伏发电累计装机容量为13078万千瓦B．2017年我国光伏发电新装机容量占当年累计装机容量的50%C．2013﹣2017年，我国光伏发电新增装机容量的平均值约为2500万千瓦D．2013﹣2017年，我国光伏发电新增装机容量先减少后增加【分析】依据折线统计图中的数据进行判断，即可得出结论．【解答】解：A．截至2017年底，我国光伏发电累计装机容量为13078万千瓦，故本选项正确；B.2017年我国光伏发电新装机容量约占当年累计装机容量的40.6%，故本选项错误；C.2013﹣2017年，我国光伏发电新增装机容量的平均值约为2500万千瓦，故本选项正确；D.2013﹣2017年，我国光伏发电新增装机容量先减少后增加，故本选项正确；故选：B．8．为了锻炼学生身体素质，训练定向越野技能，某校在一公园内举行定向越野挑战赛．路线图如图1所示，点E为矩形ABCD边AD的中点，在矩形ABCD的四个顶点处都有定位仪，可监测运动员的越野进程，其中一位运动员P从点B出发，沿着B﹣E﹣D的路线匀速行进，到达点D．设运动员P的运动时间为t，到监测点的距离为y．现有y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这一信息的来源是（）A．监测点A B．监测点B C．监测点C D．监测点D【分析】根据题意，可以得到各个监测点监测P时，y随t的变化而如何变化，从而可以根据函数图象可以得到选择哪个选项．【解答】解：由题意和图象，可得由监测点A监测P时，函数值y随t的增大先减小再增大；由监测点B监测P时，函数值y随t的增大而增大；由监测点C监测P时，函数值y随t的增大先减小再增大，然后再减小；由监测点D监测P时，函数值y随t的增大而减小；故选：C．二．填空题（共8小题）9．若代数式的值为0，则实数x的值为﹣1 ．【分析】分式值为0，则分子为0，分子母不等于0，解方程x+1＝0即可．【解答】解：由题意可得x+1＝0，且x﹣1≠0，解得，x＝﹣1．故答案为﹣1．10．已知命题“对于非零实数a，关于x的一元二次方程ax2+4x﹣2＝0必有实数根”，能说明这个命题是假命题的一个反例是a＝﹣4（答案不唯一）．【分析】把a＝﹣4代入方程，根据一元二次方程根的判别式计算，判断即可．【解答】解：当a＝﹣4时，方程为﹣5x2+4x﹣2＝0，△＝42﹣4×（﹣4）×（﹣2）＝16﹣32＝﹣16＜0，则一元二次方程ax2+4x﹣2＝0 无实数根，故答案为：a＝﹣4（答案不唯一）．11．如图，点A，B，C，D是⊙O上的四个点，点B是弧AC的中点，如果∠ABC＝70°，那∠ADB＝55°．【分析】根据圆内接四边形的性质可知∠ABC+∠ADC＝180°，由此可得∠ADC度数110°，再依据等弧所对圆周角相等可得∠ADB＝∠BDC＝∠ADC＝×110°＝55°．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ADC＝180°﹣70°＝110°．∵点B是弧AC的中点，∴弧AB＝弧BC．∴∠ADB＝∠BDC．∴∠ADB＝∠ADC＝×110°＝55°．故答案为55°．12．如图，在矩形ABCD中，E是边CD的延长线上一点，连接BE交边AD于点F，若AB＝40，BC＝60，DE＝20，则AF的长为40 ．【分析】根据已知可得BC＝CE，所以△BCE是等腰直角三角形，∠E＝45°，则△FDE是等腰直角三角形，FD＝ED＝20，则AF＝AD﹣DF即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴DC＝AB＝40，AD＝BC＝60，∠ECB＝∠ADC＝90°．∵CE＝CD+DE＝40+20＝60，∴BC＝CE．∴∠E＝45°．∴△EFD是等腰直角三角形．∴FD＝ED＝20．∴AF＝AD﹣DF＝60﹣20＝40．故答案为40．13．某校春游，若包租相同的大巴13辆，那么就有14人没有座位；如果多包租1辆，那么就多了26个空位，若设春游的总人数为x人，则列方程为＝【分析】设春游的总人数是x人，根据大巴的载客量做为等量关系列方程求解．【解答】解：设春游的总人数是x人．根据题意所列方程为＝，故答案为：＝．14．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为A（3，0），等腰直角三角形ABC的边AB在x轴的正半轴上，∠ABC＝90°，点B在点A的右侧，点C在第一象限，将△ABC 绕点A逆时针旋转75°，如果点C的对应点E恰好落在y轴的正半轴上，那么边AB的长为3．【分析】首先证明∠OAE＝60°，解直角三角形求出AE，再利用等腰直角三角形的性质求出AB．【解答】解：∵A（3，0），∴OA＝3，∵∠BAC＝45°，∠CAE＝75°，∴∠EAO＝180°﹣75°﹣45°＝60°，∵∠AOB＝90°，∴∠ABO＝30°，∴AB＝2OA＝6，∴AC＝AE＝6，∵AB＝BC，∴AB＝6•cos45°＝3．故答案为3．15．某水果公司新购进10000千克柑橘，每千克柑橘的成本为9元．柑橘在运输、存储过程中会有损坏，销售人员从所有的柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录如表所示：柑橘总重50 100 150 200 250 300 350 400 450 500量n/千克5.50 10.50 15.15 19.42 24.25 30.93 35.32 39.24 44.57 51.54损坏柑橘重量m/千克柑橘损坏0.110 0.105 0.101 0.097 0.097 0.103 0.101 0.098 0.099 0.103的频率根据表中数据，估计柑橘损坏的概率为0.1 （结果保留小数点后一位）；由此可知，去掉损坏的柑橘后，水果公司为了不亏本，完好柑橘每千克的售价至少为10 元．【分析】利用频率估计概率得到随实验次数的增多，发芽的频率越来越稳定在0.1左右，由此可估计柑橘损坏率大约是0.1；根据概率，计算出完好柑橘的质量为10000×0.9＝9000千克，设每千克柑橘的销售价为x元，然后根据“售价＝进价+利润”列方程解答．【解答】解：从表格可以看出，柑橘损坏的频率在常数0.1左右摆动，并且随统计量的增加这种规律逐渐明显，可以把柑橘损坏的概率估计为这个常数为0.1；根据估计的概率可以知道，在10000千克柑橘中完好柑橘的质量为10000×0.9＝9000千克．设每千克柑橘的销售价为x元，则应有9000x＝9×10000，解得x＝10．所以去掉损坏的柑橘后，水果公司为了不亏本，完好柑橘每千克的售价至少为10元，故答案为：0.1，10．16．某单位现要组织其市场和生产部的员工游览该公园，门票价格如下：购票人数1～50 51～100 100以上门票价格13元/人11元/人9元/人如果按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1245元；如果两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为945元．那么该公司这两个部的人数之差的绝对值为15 ．【分析】设人数较少的部门有x人，人数较多的部门有y人，分析两种买票方式所需费用可得出1≤x≤50，51≤y≤100，再由105人按两部门分别购票共花费1245元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，取其差的绝对值即可得出结论．【解答】解：设人数较少的部门有x人，人数较多的部门有y人．∵945÷9＝105（人），1245÷11＝113（人）……2（元），∴1≤x≤50，51≤y≤100．依题意，得：，解得：，∴|x﹣y|＝15．故答案为：15．三．解答题（共12小题）17．下面是小星同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程：已知：如图，直线l和直线l外一点A求作：直线AP，使得AP∥l作法：如图①在直线l上任取一点B（AB与l不垂直），以点A为圆心，AB为半径作圆，与直线l交于点C．②连接AC，AB，延长BA到点D；③作∠DAC的平分线AP．所以直线AP就是所求作的直线根据小星同学设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB（等边对等角）（填推理的依据）∵∠DAC是△ABC的外角，∴∠DAC＝∠ABC+∠ACB（三角形外角性质）（填推理的依据）∴∠DAC＝2∠ABC∵AP平分∠DAC，∴∠DAC＝2∠DAP∴∠DAP＝∠ABC∴AP∥l（同位角相等，两直线平行）（填推理的依据）【分析】（1）根据角平分线的尺规作图即可得；（2）分别根据等腰三角形的性质、三角形外角的性质和平行线的判定求解可得．【解答】解：（1）如图所示，直线AP即为所求．（2）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB（等边对等角），∵∠DAC是△ABC的外角，∴∠DAC＝∠ABC+∠ACB（三角形外角性质），∴∠DAC＝2∠ABC，∵AP平分∠DAC，∴∠DAC＝2∠DAP，∴∠DAP＝∠ABC，∴AP∥l（同位角相等，两直线平行），故答案为：（等边对等角），（三角形外角性质），（同位角相等，两直线平行）．18．【分析】直接利用负指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝＝3+2．19．解不等式组：并将解集在数轴上表示出来．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式①得：x≥﹣2，解不等式②得：x＜，∴不等式组的解集为﹣2≤x＜，将解集表示在数轴上如下：．20．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以AD，OD为邻边作平行四边形ADOE，连接BE．（1）求证：四边形AOBE是菱形；（2）若∠EAO+∠DCO＝180°，DC＝2，求四边形ADOE的面积．【分析】（1）先证明四边形AOBE是平行四边形，再证明AB⊥OE即可；（2）根据∠EAO+∠DCO＝180°，以及矩形性质可求得∠EAO＝120°，求出△AEO面积，利用四边形ADOE的面积等于△AEO面积的2倍即可求解．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴DO＝BO．∵四边形ADOE是平行四边形，∴AE∥DO，AE＝DO，AD∥OE．∴AE∥BO，AE＝BO，∴四边形AOBE是平行四边形．∵AD⊥AB，AD∥OE，∴AB⊥OE．∴四边形AOBE是菱形；（2）设AB与EO交点为M．∵AB∥CD，∴∠DCO＝∠BAO．∵四边形AOBE是菱形，∴∠EAO＝2∠BAO．∵∠EAO+∠DCO＝180°，∴∠BAO＝120°，∠EAM＝60°．又AM＝AB＝1，∴EM＝．∴EO＝2，∴△AEO面积为×2×1＝，∴四边形ADOE面积＝2．21．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k（k+2）＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）写出一个满足条件的k的值，并求此时方程的根．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；（2）取k＝0，再利用分解因式法解一元二次方程，即可求出方程的根．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣a）x+k（k+2）＝0有两个不相等的实数根，∴△＝[﹣2（k﹣1）]2﹣4k（k﹣2）＝﹣16k+4＞0，解得：k＜．（2）当k＝0时，原方程为x2+2x＝x（x+2）＝0，解得：x1＝0，x2＝﹣2．∴当k＝0时，方程的根为0和﹣2．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+1与图数y＝的限象交于A（﹣2，a），B两点．（1）求a，k的值；（2）已知点P（0，n），过点P作平行于x轴的直线l，交函数y＝的图象于点C（x1，y1），交直线y＝﹣x+1的图象于点D（x2，y2），若|x1|≤|x2|，结合函数图象，请求出m 的取值范围．【分析】（1）将点A（﹣2，a）代入y＝﹣x+1，得出点A的坐标，再代入函数y＝，即可求出k的值；（2）求出点B的坐标，结合函数的图象即可求解．【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+1与函数y＝的图象交于A（﹣2，a），把A（﹣2，a）代入y＝﹣x+1解得a＝3，∴A（﹣2，3）．把A（﹣2，3）代入y＝，解得k＝﹣6；（2）画出函数图象如图解得或，∵A（﹣2，3），∴B（3，﹣2），根据图象可得：若|x1|≤|x2|，则m≥3或﹣2≤m＜0．23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点Q为CA延长线上一点，延长QD交BC于点P，连接OD，∠ADQ＝∠DOQ．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若AQ＝AC，AD＝4时，求BP的长．【分析】（1）连接DC，根据圆周角定理得到∠DCA＝∠DOA，由于∠ADQ＝∠DOQ，得到∠DCA＝∠ADQ，根据余角的性质得到∠ADQ+∠ADO＝90°，于是得到结论；（2）根据切线的判定定理得到PC是⊙O切线，求得PD＝PC，连接OP，得到∠DPO＝∠CPO，根据平行线分线段长比例定理得到OP＝6，根据三角形的中位线的性质得到AB＝12，根据射影定理即可得到结论．【解答】解：（1）连接DC，∵＝，∴∠DCA＝∠DOA，∵∠ADQ＝∠DOQ，∴∠DCA＝∠ADQ，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°∴∠DCA+∠DAC＝90°，∵∠ADQ+∠DAC＝90°，∠ADO＝∠DAO，∴∠ADQ+∠ADO＝90°，∴DP是⊙O切线；（2）∵∠C＝90°，OC为半径．∴PC是⊙O切线，∴PD＝PC，连接OP，∴∠DPO＝∠CPO，∴OP⊥CD，∴OP∥AD，∵AQ＝AC＝2OA，∴＝＝，∵AD＝4，∴OP＝6，∵OP是△ACB的中位线，∴AB＝12，∵CD⊥AB，∠C＝90°，∴BC2＝BD•BA＝96，∴BC＝4，∴BP＝2．24．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝6cm，E是线段AB上一动点，D是BC的中点，过点C作射线CG，使CG∥AB，连接ED，并延长ED交CG于点F，连接AF．设A，E两点间的距离为xcm，A，F两点间的距离为y1cm，E，F两点间的距离为y2cm．小丽根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小丽的探究过程，请补充完整：（1）按照表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值；x/cm0 1 2 3 4 5 6y1/cm9.49 8.54 7.62 6.71 5.83 5.00 4.24y2/cm9.49 7.62 5.83 3.16 3.16 4.24 （2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△AEF为等腰三角形时，AE的长度约为 3.50或5或6 cm．【分析】（1）当x＝3时，点E是AB的中点，易证△ECF是等腰直角三角形，EF＝EC ＝3≈4.24．（2）利用描点法画出函数图象即可解决问题．（3）由直线y＝x与两个函数图象的交点A，B，以及函数y1与函数y2的交点C的横坐标可知，当△AEF为等腰三角形时AE的长度．【解答】解：（1）当x＝3时，点E是AB的中点，易证△ECF是等腰直角三角形，EF＝EC ＝3≈4.24．（2）函数图象如图所示：（3）由直线y＝x与两个函数图象的交点A，B，以及函数y1与函数y2的交点C的横坐标可知，当△AEF为等腰三角形时，AE的长度约为3.50或5或6．故答案为：3.50或5或6．25．丁老师为了解所任教的两个班的学生数学学习情况，对数学进行了一次测试，获得了两个班的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．①A、B两班学生（两个班的人数相同）数学成绩不完整的频数分布直方图如下（数据分成5组：x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）：②A、B两班学生测试成绩在80≤x＜90这一组的数据如下：A班：80 80 82 83 85 85 86 87 87 87 88 89 89B班：80 80 81 81 82 82 83 84 84 85 85 86 86 86 87 87 87 8787 88 88 89③A、B两班学生测试成绩的平均数、中位数、方差如下：平均数中位数方差A班80.6 m96.9B班80.8 n153.3根据以上信息，回答下列问题：（1）补全数学成绩频数分布直方图；（2）写出表中m、n的值；（3）请你对比分析A、B两班学生的数学学习情况（至少从两个不同的角度分析）．【分析】（1）频率分布表列出的是在各个不同区间内取值的频率，频率分布直方图是用小长方形面积的大小来表示在各个区间内取值的频率；（2）将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；（3）从中位数与方差两个方面分析．【解答】解：（1）A、B两班学生数学成绩频数分布直方图如下：（ 2 ）A班共40名同学，中位数落在80≤x＜90，中位数m＝，B班共40名同学，中位数落在80≤x＜90，中位数n＝＝85，故m、n的值分别为81，85；（3）从平均分来看，A、B两班差不多，从中位数来看，B班85分以上学生数比A班多，从方差看，A班方差小，学生成绩差距较小，B班方差大，说明B班学生发展不均衡．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1与y轴交于点C．（1）试用含m的代数式表示抛物线的顶点坐标；（2）将抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1沿直线y＝﹣1翻折，得到的新抛物线与y轴交于点D，若m＞0，CD＝8，求m的值．（3）已知A（﹣k+4，1），B（1，k﹣2），在（2）的条件下，当线段AB与抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1只有一个公共点时，请求出k的取值范围．【分析】（1）化成顶点式即可求得；（2）根据题意求得OC＝3，即可得到m2﹣1＝3，从而求得m＝2；（3）将点A（﹣k+4，1），B（1，k﹣2）代入抛物线，此时时抛物线与线段刚相交的时候，k在此范围内即可使抛物线与线段AB有且只有一个公共点．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2mx+m2﹣1＝（x﹣m）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（m，﹣1）；（2）由对称性可知，点C到直线y＝﹣1的距离为4，∴OC＝3，∴m2﹣1＝3，∵m＞0，∴m＝2；（3）∵m＝2，∴抛物线为y＝x2﹣4x+3，当抛物线经过点A（﹣k+4，1）时，k＝2+或k＝2﹣；当抛物线经过点B（1，k﹣2）时，k＝2；∵线段AB与抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1只有一个公共点，∴2﹣≤k＜2+．27．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为∠ACB平分线CD上一动点（不与点C 重合），点E关于直线BC的对称点为F，连接AE并延长交CB延长线于点H，连接FB并延长交直线AH于点G．（1）求证：AE＝BF．（2）用等式表示线段FG，EG与CE的数量关系，并证明．（3）连接GC，用等式表示线段GE，GC与GF的数量关系是GE+GF＝CG．【分析】（1）如图1中，连接CF．证明△ACE≌△BCF（SAS）即可解决问题．（2）结论：FG2+EG2＝2EC2．连接EF，想办法证明∠EGF＝90°，理由勾股定理即可解决问题．（3）如图3中，结论：GE+GF＝CG．证明Rt△CNE≌Rt∠CMF（HL），Rt△GCN≌Rt△GCM（HL）即可解决问题．【解答】（1）证明：如图1中，连接CF．。