《复变函数论》期末考试试题-A 卷答案
一、 选择题（每小题4分，共20分）
⒈ 21|z |<z >且Im 表示的轨迹为（ B ）
A 、有界闭区域
B 、有界开区域
C 、无界开区域
D 、无界闭区域 ⒉ 右半平面Re z ＞0 在映射 ω＝i z +i 下的象为( D )
A 、ωIm ＞0
B 、ωRe ＞0
C 、ωRe ＞1
D 、ωIm ＞1 ⒊ )43(i Ln +-= (C )
A 、)34(5ln arctg i -+π
B 、)3
42(5ln arctg k i -+π
C 、)342(5ln arctg k i -++ππ
D 、)342(5ln arctg k i +++ππ
⒋
()=f z ( D )
A 、1,2,=∞z
B 、0,1,2=z
C 、0,1,2,=z ∞
D 、0,=z ∞
⒌ 0z = 0 为函数 21cos ()z f z z -=的（ A ） A 、可去奇点 B 、本性奇点 C 、一阶极点 D 、二阶极点
二、填空题（每小题4分，共36分）
⒈
设ω=，则()i ω-=( )
⒉ 设 ⎰=-++=3
2173)(z z z f ξξξξd ，则 )1('i f +＝)136(2i +-π 3.
⎰=+1)2ln(z z dz = 0 4. ⎰
=++223
4sin z z z z πdz = 0 5. 10⎰423z =3
(2)()z dz z +z -2= 2i π 6.将函数2
1()(2)f z z =+展成1z -的幂级数，则其收敛圆为（|1|3z -<）. 7.||z e 在闭圆|1|1z -≤上的最大值为（ 2e ）
8. 级数 ∑∞
=+12)1sin(n n n n i ＿＿＿绝对收敛（发散，收敛，绝对收敛） 9. 函数 2
()f z z = 在z i = 处的伸缩率为＿2＿ 三、（8分）求函数221()(4)
z f z z z -=
+的所有奇点，并确定它们的类型；如果是孤立奇点，计算其留数 四、（7分） 将函数 ()12n
n z f z =+z
在环域 r ＜z ＜∞(r ＞1) 内展成Laurent 级数，并由此计算积分3=⎰d 12n
n z z z +z 。

解:在环域(1)r z <<<∞内,由于1z >,从而11z
<,因此 当n=1时， 33(6')π==⎰⎰d d 112n
2n z z z z z =z =2i --------+z +z 五、（8分）计算积分 0
()()+∞⎰cos d 1922x x x +x + 。

解: 由于22cos ()(1)(9)x f x x x =
++ 为偶函数, 因此
22220cos 1cos (1)(9)2(1)(9)xdx xdx x x x x +∞+∞-∞=++++⎰⎰-----------(1) ()()
+∞-∞⎰cos d 1922x x x +x + 为()()+∞-∞⎰e d 19ix 22x x +x +的实部，-------(2) 22()(1)(9)
iz
e f z z z =++ 在上半平面有两个一级极点z i =和3z i = --------(3)
且 1Re [(),]16e s f z i i -=，---(5) 3
Re [(),3]48e s f z i i
--=--(7) 利用留数定理在实积分中的应用定理有
()()+∞-∞⎰e d 19ix 22x x +x +=132231
2Re [(),]2()(31)164824i i e e i s f z z i e i i e πππ--==-=-∑
-----------------------(9) 从而 0()()+∞⎰cos d 1922x x x +x +=23(31)48e e
π- ----------(10) 六、（7分）验证函数22),(y xy x y x u -+= 为调和函数，并求),(y x v ，使iv u z f +=)( 为解析函数，且 i i f +-=1)(。

⑴证明:2,22222-=∂∂=∂∂y
u x u 02222=∂∂+∂∂∴y u x u 即),(y x u 为调和函数.--------------（3’） ⑵ 解: y x u y x u y x 2,2-=+=
----------------(6’) 由i i f +-=1)(, 可得2
1=c ----------------(7’) 2
12)(22++=∴z i z z f ----------------(8’) 七、（7分）设 )(z f 在区域D 内解析，且)(z f 在D 内为常数，证明)(z f 在D 内为常数。

证明:设),(),()(y x iv y x u z f +=
即 222C v u =+
上式两边分别对x,y 求导,有
022,022=+=+y y x x vv uu vv uu ①
)(z f 在D 内解析,又有x y y x v u v u -==, ②
由①② 解得 0,0====y x y x v v u u
故 ),(),,(y x v y x u 为常数,分别记为 21,c v c u ==
所以,21)(ic c iv u z f +=+=为一复常数.
八、（7分） 试证：当 |a |>e 时，方程0z n e -az = 在单位圆 1|z |<内有n 个根。

证明：在单位圆周=||1z 上，有
>||||>=|n z Rez z |-az =|a e =e
e |e ----------(4) 而函数z e 和-n az 均在单位闭圆≤1|z |上解析，故由儒歇定理
即方程0z n e -az = 在单位圆 1|z |<内有n 个根。

---------(7)。