2010-2011学年高中物理弹簧模型问题复习探究弹簧是高中物理中的一种常见的物理模型，几乎每年高考对这种模型有所涉及和作为压轴题加以考查。

它涉及的物理问题较广，有：平衡类问题、运动的合成与分解、圆周运动、简谐运动、做功、冲量、动量和能量、带电粒子在复合场中的运动以及临界和突变等问题。

为了将本问题有进一步了解和深入，现归纳整理如下，使学生在2011年高考中不为求解这类考题而以愁。

一、 物理模型：轻弹簧是不计自身质量，能产生沿轴线的拉伸或压缩形变，故产生向内或向外的弹力。

二、 模型力学特征：轻弹簧既可以发生拉伸形变，又可发生压缩形变，其弹力方向一定沿弹簧方向，弹簧两端弹力的大小相等，方向相反。

三、 弹簧物理问题：1． 弹簧平衡问题：抓住弹簧形变量、运动和力、促平衡、列方程。

2． 弹簧模型应用牛顿第二定律的解题技巧问题：（1） 弹簧长度改变，弹力发生变化问题：要从牛顿第二定律入手先分析加速度，从而分析物体运动规律。

而物体的运动又导致弹力的变化，变化的规律又会影响新的运动，由此画出弹簧的几个特殊状态（原长、平衡位置、最大长度）尤其重要。

（2） 弹簧长度不变，弹力不变问题：当物体除受弹簧本身的弹力外，还受到其它外力时，当弹簧长度不发生变化时，弹簧的弹力是不变的，出就是形变量不变，抓住这一状态分析物体的另外问题。

（3） 弹簧中的临界问题：当弹簧的长度发生改变导致弹力发生变化的过程中，往往会出现临界问题：如“两物体分离”、“离开地面”、“恰好”、“刚好”……这类问题找出隐含条件是求解本类题型的关键。

3． 弹簧双振子问题：它的构造是：一根弹簧两端各连接一个小球（物体），这样的装置称为“弹簧双振子”。

本模型它涉及到力和运动、动量和能量等问题。

本问题对过程分析尤为重要。

四．实例探究： 1．弹簧称水平放置、牵连物体弹簧示数确定【例1】物块1、2放在光滑水平面上用轻弹簧相连，如图1所示。

今对物块1、2分别施以相反的水平力1F 、2F ，且12F F ，则： A ． 弹簧秤示数不可能为1FB ． 若撤去1F ，则物体1的加速度一定减小C ． 若撤去2F ，弹簧称的示数一定增大D ． 若撤去1F ，弹簧称的示数一定减小【解析】对物块1、2进行整体分析：1212F F a m m -=+，方向向左；对物块1进行分析：设弹簧弹力为F ，11F F m a -= 解得：211212m F m F F m m +=+12F F 1F F ∴，故A 对，无论是撤去1F 或2F ，F 均变小故D 对C 错，撤去1F ，可能合外力变大，故B 错，即正确答案为A 、D【点评】对于轻弹簧处于加速状态时要运用整体和隔离分析，再用牛顿第二定律列方程推出表达式进行比较讨论得出答案。

若是平衡时弹簧产生的弹力和外力大小相等。

主要看能使弹簧发生形变的力就能分析出弹簧的弹力。

2．绳子与弹簧瞬间力的变化、确定物体加速度【例2】四个质量均为m 的小球，分别用三根绳子和一根轻弹簧相连，处于平衡状态，如图所示。

现突然迅速剪断1A 、1B ，让小球下落。

在剪断轻绳的瞬间，设小球1、2、3、4的加速度分别用1a 、2a 、3a 、4a 表示，则： （ ）A ．10a =，22a g =，30a =，42a g= B 。

1a g =，2a g =，32a g =，40a =C ．10a =，22a g =，3a g =，4a g =D 。

1a g =，2a g =，3a g =，4a g =【解析】首先分析出剪断1A ，1球受到向上的拉力消失，绳2A 的弹力可能发生突变，那么究竟2A 的弹力如何变化呢？我们可用假设法：设2A 绳仍然有张力，则有1a g ，2a g ，故1、2两球则要靠近，导致绳2A 松驰，这与假设的前提矛盾。

故剪断1A 的瞬间，2A 绳张力突变为0，所以12a a g ==，此时绳2A 处于原长但未绷紧状态，球1、2整体做自由落体运动；剪断1B 的瞬间，由于2B 是弹簧，其弹力不能瞬间突变，故其对3、4的拉力不变，仍为mg ，易知32a g =，40a =，故选择B 答案。

【点评】本题属于弹簧模型突变问题讨论。

要抓住弹簧的弹力不能突变，还要会分析轻绳的弹力如何变化，因绳的力会突变，从而分析本题的答案。

【思考探究题】如图所示，A 、B 两物体的质量分别为m和2m 中间用轻质弹簧相连，A 、B 两物体与水平面间的动摩擦因数均为μ，在水平推力F 作用下，A 、B 两物体F一起以加速度a 向右做匀加速直线运动。

当突然撤去推力的瞬间，A 、B 两物体的加速度大小分别为（ ）A ．2a ；aB 。

(2)a g μ+；a g μ+C ．23a g μ+；aD 。

a ；23a g μ+【解析】C 。

当A 撤去F 的瞬间受到的合力为F 与原相反，A F a m=，而原来为33F mg a mμ-=，所以有23A a a g μ=+，B 的合力不变即加速度不变，为a ，故选C 答案。

3．弹簧系统放置在斜面上的运动状态分析【例3】如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上有两个用轻质弹簧相连接的物块A 、B ，它们的质量分别为A m 、B m ，弹簧的劲度系数为k ，C 为一固定挡板，系统处于静止状态。

现开始用一恒力F 沿斜面方向拉物块A 使之向上运动，求物块B 刚要离开C 时物块A 的加速度a 和从开始到此时物块A 发生的位移d 。

已知重力加速度为g 。

【解析】令1x 表示未知F 时弹簧的压缩量，由胡克定律和牛顿定律可知：1A m gsim kx θ= ①令2x 表示B 刚要离开C 时弹簧的伸长量，a 表示此时A 的加速度，由胡克定律和牛顿定律可知：2B kx m gsim θ=② 2A A F m gsim kx m a θ--=③ 由②③式可得：()sin A B AF m m g a m θ-+= ④ 由题意 12d x x =+ ⑤由①②⑤式可得 ()sin A B m m g d k θ+=【点评】本例是弹簧模型在运动和力上的应用，求解时要抓住两个关键：“物块B 刚要离开C ”的条件和弹簧由压缩状态变为伸长状态，其形变量与物块A 的位移d 的关系。

【例4】如图，一倾角为θ的斜面固定在水平地面上，一质量为m 有小球与弹簧测力计相连在一木板的端点处，且将整个装置置于斜面上，设木板与斜面的动摩擦因数为μ，m M现将木板以一定的初速度0v 释放，不熟与木板之间的摩擦不计，则（ ）A ．如果0μ=，则测力计示数也为零B ．如果tan μθ，则测力计示数大于sin mg θC ．如果tan μθ=，则测力计示数等于sin mg θD ．无论μ取何值，测力计示数都不能确定【解析】本例是将弹簧模型迁移到斜面上，而且设置了木板与斜面之间的动摩擦因数不同来判断测力计的示数的变化。

依题意可知，当0μ=时，球与木板处于完全失重状态，测力计示数为零；当tan μθ时，球与木板的加速度为sin cos g g θμθ-，隔离分析小球就可知道B 答案正确；同理可分析C 答案正确，从而选择A 、B 、C 答案。

【点评】本例是动力学在弹簧模型中的应用，求解的关键是分析整体的加速度，然后分析小球的受力来确定测力计示数的大小。

4．弹簧中的临界问题状态分析【例5】如图所示，轻弹簧上端固定，下端连接一质量为m 的重物，先由托盘托住m ，使弹簧比自然长度缩短L ，然后由静止开始以加速度a 匀加速向下运动。

已知a g ，弹簧劲度系数为k ，求经过多少时间托盘M 将与m 分开？【解析】当托盘与重物分离的瞬间，托盘与重物虽接触但无相互作用力，此时重物只受到重力和弹簧的作用力，在这两个力的作用下，当重物的加速度也为然后由牛顿a 时，重物与托盘恰好分离。

由于a g ，故此时弹簧必为伸长状态，第二定律和运动学公式求解：根据牛顿第二定律得：mg kx ma -= ① 由①得：()x m g a k-= 由运动学公式有：212L x at += ② 联立①②式有：()212kL m g a at k +-= ③ 解得：x =【点评】本题属于牛顿运动定律中的临界状态问题。

求解本类题型的关键是找出临界条件，同时还要能从宏观上把握其运动过程，分析出分离瞬间弹簧的状态。

我们还可这样探索：若将此题条件改为a g ，情况又如何呢？5．弹簧模型在力学中的综合应用【例6】如图所示，坡度顶端距水平面高度为h ，质量为m的小物块A 从坡道顶端由静止滑下，进入水平面上的滑道时无机械能损失，为使A 制动，将轻弹簧的一端固定在水平滑道延长线M 处的墙上，一端与质量为2m 的挡板B 相连，弹簧处于原长时，B 恰位于滑道的末湍O 点。

A 与B 碰撞时间极短，碰后结合在一起共同压缩弹簧，已知在OM 段A 、B 与水平面间的动摩擦因数均为μ，其余各处的摩擦不计，重力加速度为g ，求（1） 物块A 在与挡板B 碰撞前的瞬间速度v 的大小；（2） 弹簧最大压缩量为d 时的弹簧势能P E （设弹簧处于原长时弹性势能为零）。

【解析】（1）由机械能守恒定律得：21112m gh m v = ①v =② （2）A 、B 在碰撞过程中内力远大于外力，由动量守恒，有：()112m v m m v '=+③A 、B 克服摩擦力所做的功：()12W m m gd μ=+ ④ 由能量守恒定律，有：()()2121212p m m v E m m gd μ'+=++ ⑤ 解得：()211212p m E gh m m g m m μ=-++d 【点评】本例是在以上几题的基础上加以引深，从平衡到匀变速运动，又由弹簧模型引入到碰撞模型，逐层又叠加，要会识别物理模型，恰当地选择物理规律求解。

【例7】有一倾角为θ的斜面，其底端固定一档板M ，另有三个木块A 、B 和C ，它们的质量分别为A B m m m ==，3C m m =，它们与斜面间的动摩擦因数都相同。

其中木块A 放于斜面上并通过一轻弹簧与档板M 相连，如图所示，开始时，木块A 静止于P 处，弹簧处于原长状态，木块B 在Q点以初速度0v 向下运动，P 、Q 间的距离为L 。

已知木块B 在下滑的过程中做匀速直线运动，与木块A相碰后立刻一起向下运动，但不粘连，它们到达一个最低点后又向上运动，木块B 向上运动恰好能回到Q 点。

若木块A 仍静止放在P 点，木块C 从Q 点处于开始以初速度03v 向下运动，经历同样过程，最后木块C 停在斜面的R 点。

求：（1）A 、B 一起压缩弹簧过程中，弹簧具有的最大弹性势能；（2）A 、B 间的距离L '【解析】（1）木块B 下滑做匀速直线运动，有：sin cos mg mg θμθ= ①B 与A 碰撞前后总动量守恒有：012mv mv = ②设AB 两木块向下压缩弹簧的最大的长度为S ，弹簧具有的最大弹性势能为P E ，压缩过程对AB 由能量守恒定律得：21122sin 2cos 2P mv mgS mgS E θμθ+=+ ③ 联立①②③解得：2014P E mv = ④ （2）木块C 与A 碰撞过程，由动量守恒定律得：012343m v m v '= ⑤碰后AC 的总动能为：221011424kE mv mv ''== ⑥ 由③式可知AC 压缩弹簧具有的最大弹性势能和AB 压缩弹簧具有的最大弹性势能相等，两次的压缩量也相等。