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高数 多元函数微分学 知识点与例题精讲

(考研题)
解: 由题设 (1) f (1, f (1,1)) f (1,1) 1
d 3(x)
32(x)d
dx
x1
dx x 1
3 f1( x, f ( x, x))
f2( x, f ( x, x))
3 2 3 (2 3) 51

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例4.在第一卦限作椭球面
的切平面,
使其在三坐标轴上的截距的平方和最小, 并求切点.
解:
设F(
x,
y,
z)

x2 a2

y2 b2

z2 c2

1, 切点为
则切平面的法向量为
n (Fx , Fy , Fz ) 切平面方程
M

2 x0 a2
,
2 y0 b2
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解答提示: 第 1 题
(1) z x f ( y2 ) : x
2y f
2 y f (
y2 x2
)


2y3 x2
f
(2) z

f (x
y2 ):
x

2y x2
f

2y x
f
(1
y2 x2 )


2y x2
f


2 y (1 x
到平面 x y 2z 2 0 的距离为
问题归结为 目标函数: ( x y 2z 2)2 (min) 约束条件: x2 y2 z 0
作拉氏函数 F ( x, y, z) ( x y 2z 2)2 (z x2 y2)
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3. 设
有连续的一阶偏导数 , 又函数

分别由下两式确定
e x y x y 2,
ex

xz sin

0
t
t
dt

(考研 )
答案:
du dx

f1
y x
f2

1

ex( sin(
x x

z) z)

f3
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4.设z f(sinx, cosx, exy ),其中具 有二阶连续偏导数求所有二阶 导数。
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练习题
1. 已知
解: 由
求 两边对 x 求导, 得
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2. 设函数
在点
f (1,1) 1, f 2, x (1,1)
( x) f ( x, f ( x, x)), 求
处可微 , 且 f 3, y (1,1)
域是( ).
(A)1 x 2 y 2 4; (B)1 x 2 y 2 4;
(C)1 x 2 y 2 4; (D)1 x 2 y 2 4.
2、设 f ( xy, x ) ( x y)2,则 f ( x, y) ( ). y
(A) x 2 ( y 1 )2; y
提示: 利用 2x y x2 y2, 知
f (x, y)
1(x2
y
2
)
1 2
4
lim f ( x, y) 0 f (0, 0)
x0
y0
故f 在 (0,0) 连续;
又因 f ( x,0) f (0, y) 0, 所以 fx (0,0) f y (0,0) 0
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f
(0,0)

(x)2( y)2
[
(

x
)2

(

y
)2
3
]
2
当 x 0, y 0 时,
f (0,0) ( x)2 ( y)2

[
(x)2( y)2 (x)2 ( y)2
]2
0
所以 f 在点(0,0)不可微 !
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,
2z0 c2


x0 a2
x

y0 b2
y

z0 c2
z

1
x02 a2

y02 b2

z02 c2
1
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切平面在三坐标轴上的截距为 a2 , b2 , c2 x0 y0 z0
问题归结为求 s a2 2 b2 2 c2 2
x
y
z
F (x, y, z) (x y 2z 2)2 (z x2 y2 )
Fx 2( x y 2z 2) 2 x 0
令 Fy 2( x y 2z 2) 2 y 0
Fz 2( x y 2z 2)(2) 0 z x2 y2
y2 x2 )
f

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(3) z f ( x , y2 ) : x
2z y x


2y x2
f2

2y x
(

y2 x2
f 22 )
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P73 题12 设 提示: 由z uv , 得
z v u u v ① x x x
例1. 已知 f ( x y , x y ) x2 y2 ( x y), 且
f ( x,0) x , 求出 f ( x, y)的表达式.
解法1 令
v x y,则

f
(u, v )

1 4
(u

v)2

1 4
(u

v)2

(u)

f ( x , 0) x, ( x) x
2.计算极限 lim sin xy x0 x
y0
x2
3.求 lim (1 1 ) x y (x,y)(,a) xy
4.
证明:
f (x, y)
x2 y2
( x2

y2 )32
,

0,
x2 y2 0 x2 y2 0
在点(0,0) 处连续且偏导数存在 , 但不可微 .
x1
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例2. 设
其中 f 与F分别具
有一阶导数或偏导数, 求 ( 考研)
解法1 方程两边对 x 求导, 得
xfd y dz f xf dx dx
F2
d d
y x

F3
d d
z x

F1
dz dx
x f f x f
F2
z0 x0 y0
1 法线垂直于平面 点在曲面上
得 x0 3 , y0 1 , z0 3
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2. 在第一卦限内作椭球面
的切平面
使与三坐标面围成的四面体体积最小,并求此体积.
提示: 设切点为
则切平面为 (见例4)
所指四面体围体积 V 1 a2b2c2 6 x0 y0z0
在条件
x2 a2

y2 b2
Байду номын сангаас
z2 c2

1
下的条件极值问题 .
设拉格朗日函数
F
a2
x
2 b2
y
2 c2
z
2

x2 a2

y2 b2

z2 c2
1
( x 0, y 0, z 0)
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令 Fx

2
a2 x
f ( x, y) x ( y 1)
解法2 f ( x y, x y) ( x y)( x y) ( x y) 以下与解法1 相同.
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二、多元函数微分法
显示结构 1. 分析复合结构 隐式结构 (画变量关系图)
自变量个数 = 变量总个数 – 方程总个数 自变量与因变量由所求对象判定 2. 正确使用求导法则 “分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导” 注意正确使用求导符号 3. 利用一阶微分形式不变性
此法忽略了 的任意性,
极限不存在 !
由以上分析可见, 三种解法都不对, 因为都不能保证 自变量在定义域内以任意方式趋于原点 . 同时还可看到,
本题极限实际上不存在 . 特别要注意, 在某些情况下可以利用极坐标求极限,
但要注意在定义域内 r , 的变化应该是任意的.
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F1
x f 1
F2 F3
xF1 f x F2 f f F2 x f F3 F2
( x f F3 F2 0)
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z x f (x y) , F(x, y,z) 0 解法2 方程两边求微分, 得
z v u u v ② y y y 由 x eu cos v, y eu sin v , 得
d x eu cos v d u eu sin v d v d y eu sin v d u eu cos v d v
利用行列式解出 du, dv :

z uv x yx y
解此方程组得唯一驻点 x 1 , y 1 , z 1 .
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