数学运算第01讲直接代入一、题型评述数学运算试题都是四选一的客观单项选择题，将选项直接代入进行验证，显然是一种准确、高效并且易于操作的重要方法。

很多试题，正面求解相当困难，但结合选项来看却相当容易。

“答案选项”永远是整个试题的有机组成部分，孤立地看题干而忽略选项是考生答题时最大的误区之一。

二、破题密钥“直接代入法”广泛运用于多位数问题、不定方程问题、同余问题、年龄问题、周期问题、复杂行程问题、和差倍比问题等等。

这种方法不仅可以单独使用达到一招制胜的效果，还可以与其它方法进行结合使用。

三、例题精析【例 1】（深圳 2013-47）小王的旅行箱密码为 3 位数，且三个数字全是非 0 的偶数，而且这个三位数恰好是小王今年年龄的平方数。

则小王今年（）岁。

A. 17B. 20C. 22D. 34【例 2】（浙江 2013-50）某市场运来苹果、香蕉、柚子和梨四种水果，其中苹果和柚子共 30 吨，香蕉、柚子和梨共 50 吨。

柚子占水果总数的 1/4。

一共运来水果多少吨？()A. 56 吨B. 64 吨C. 80 吨D. 120 吨【例 3】(江苏 2013B-91)三位数 A 除以 51，商是 a（a 是正整数），余数是商的一半，则 A 的最大值是A. 927B. 928C. 929D. 990【例 4】（山东 2013-62）甲、乙两仓库各放集装箱若干个，第一天从甲仓库移出和乙仓库集装箱总数同样多的集装箱到乙仓库，第二天从乙仓库移出和甲仓库集装箱总数同样多的集装箱到甲仓库，如此循环，则到第四天后，甲、乙两仓库集装箱总数都是 48 个。

问甲仓库原来有多少个集装箱？A. 33B. 36C. 60D. 63【例 5】（河北 2013-44）一个金鱼缸，现已注满水。

有大、中、小三个假山，第一次把小假山沉入水中，第二次把小假山取出，把中假山沉入水中，第三次把中假山取出，把小假山和大假山一起沉入水中。

现知道每次从金鱼缸中溢出水量的情况是：第一次是第二次的1/3，第三次是第二次的 2 倍。

问三个假山的体积之比是（）。

A. 1∶3∶5B. 1∶4∶9C. 3∶6∶7D. 6∶7∶8第02讲倍数特性一、题型评述“倍数特性法”是一种特殊的“代入排除法”，也是代入排除法中最重要的内容。

这种方法通过正确答案所应该满足的某种倍数特性来直接锁定答案。

熟练运用本方法最关键的要点，就是牢牢掌握各种倍数关系的性质和判定方法。

二、破题密钥①2、4、8 整除及余数判定基本法则1.一个数能被2（或5）整除，当且仅当其末一位数能被2（或5）整除；2.一个数能被4（或25）整除，当且仅当其末两位数能被4（或25）整除；3.一个数能被8（或125）整除，当且仅当其末三位数能被8（或125）整除。

②3、9 整除及余数判定基本法则1.一个数能被3整除，当且仅当其各位数字和能被3整除；2.一个数能被9整除，当且仅当其各位数字和能被9整除。

③7 整除判定基本法则1.一个数是7的倍数，当且仅当其末一位的两倍，与剩下的数之差为7的倍数；2.一个数是7的倍数，当且仅当其末三位数，与剩下的数之差为7的倍数。

【示例】∵362末一位“2”的2倍与“36”差“32”不能被7整除∴362不能被7整除【示例】∵12047末三位“047”与“12”差“35”能被7整除∴12047能被7整除④11 整除判定基本法则1. 一个数是 11 的倍数，当且仅当其奇数位之和与偶数位之和做的差为 11 的倍数；【示例】∵7394奇数位之和“7+9＝16”与偶数位之和“3+4＝7”做的差“16-7＝9”不是11 的倍数∴7394不能被11整除三、例题精析●题型一：直接倍数【例1】（上海2011A-61）某人共收集邮票若干张，其中1/4是2007年以前的国内外发行的邮票，1/8是2008年国内发行的，1/19是2009年国内发行的，此外尚有不足100张的国外邮票。

则该人共有（）张邮票。

A. 87B. 127C. 152D. 239【例2】（2011年424联考-43）某单位招录了10名新员工，按其应聘成绩排名1到10，并用10 个连续的四位自然数依次作为他们的工号。

凑巧的是每个人的工号都能被他们的成绩排名整除，问排名第三的员工工号所有数字之和可能是多少?（）A. 9B. 12C. 15D. 18●题型二：因子倍数【例 3】（北京 2014-75）甲工厂每天生产的零件数比乙工厂的 1.5 倍还多 40 个，乙工厂每天生产的零件数比甲工厂的一半多 20 个。

则两个工厂每天共能生产多少个零件？A. 400B. 420C. 440D. 460【例4】（2012年421联考－61）某公司三名销售人员2011年的销售业绩如下：甲的销售额是乙和丙销售额的 1.5倍，甲和乙的销售额是丙的销售额的5倍，已知乙的销售额是56万元，问甲的销售额是：（）A. 140 万元B. 144 万元C. 98 万元D. 112 万元●题型三：比例倍数核心提示若a:b m:n( m, n互质) ，则说明a占m份，是m的倍数；b占n份，是n 的倍数；a+b 占 m+n 份，是 m+n 的倍数；a-b 占 m-n 份，是 m-n 的倍数。

【例 5】（广州 2013-26）少年宫学习美术、舞蹈和唱歌专业的学生共有 90 人，美术和舞蹈专业的学生比例为 2∶3，舞蹈和唱歌专业的学生比例为 3∶4,则学生人数最多的专业有多少人？A. 25B. 30C. 35D. 40【例6】（2012年915联考－49）甲、乙两种商品的价格比是3∶5，如果它们的价格分别下降50元，它们的价格比是4∶7，这两种商品原来的价格各为（）。

A. 300 元 500 元B. 375 元 625 元C. 450 元 750 元D. 525 元 875 元第03讲化归为一一、题型评述如果试题当中没有涉及到某个具体量的大小，并且这个具体量的大小并不影响最终结果的时候，我们可以使用“化归为一法”，将这个量设为某一个利于计算的数值，从而简化计算。

这种方法又被为“设1法”或者“设1思想”。

我们一般可能在工程问题、混合配比问题、加权平均问题、流水行船问题、往返行程问题、几何问题、经济利润问题、和差倍比问题等等诸多问题当中使用“化归为一法”。

二、破题密钥在“化归为一法”中，我们一般都不设之为“1”，而是设之为“其中某些量的公倍数”，从而避免分数，简化计算。

三、例题精析【例 1】（重庆 2013-90）甲、乙两个烧杯装有一些盐水，甲杯中盐水的质量是乙杯的 2 倍，但甲杯盐水的浓度是乙杯的 1/2，则将两个烧杯中的盐水混合后得到的盐水浓度为甲杯浓度的多少倍？（）A. 3/2B. 4/3C. 6/5D. 7/6核心提示使用“化归为一法”时，大家最大的困惑是：什么样的量可以随便设，什么样的量不行？总的来说，当某类量的大小在题目中无关重要时，便可以随便设为一个方便计算的数字，这样的量一般需要满足两个条件：1.首先，这类量在题目中没有提及具体数字大小；2.其次，这类量也不能通过其他有具体数字大小的量计算得到。

上面两个条件非常抽象，我举个例子就简单了。

譬如在行程问题中，我想假设某人的速度为1，那么就必须依次满足两个条件：1.题目中没有提及任何速度的具体数字大小；2.题目中也没有同时提及路程和时间的具体数字大小，因为知道了这两类量，是可以计算出速度具体大小的。

当题目中只有路程或者时间有具体大小时，我们假设一个速度为1或者其他数字，就不会影响结果。

同理，在经济利润问题中，如果题目中只有单价的具体数字大小，没有件数和总价的具体数字大小，那么我们可以假设某个件数为1，或者假设总价为1，但不能同时做这两件事情。

【例2】（江苏 2013A-33）现需购买三种调料加工成一种新调料，三种调料价格分别为每千克 20 元、30 元、60 元。

如果购买这三种调料所花钱一样多，则每千克调料的成本是A.30 元B.35 元C.40 元D.60 元【例 3】（河北 2013-48）小王收购了一台旧电视机，然后转手卖出，赚取了 30%的利润。

1 个月后，客户要求退货，小王和客户达成协议，以当时交易价格的 90%回收了这台电视机，后来小王又以最初的收购价格将其卖出。

问小王在这台电视机交易中的利润率为（）。

A. 13%B. 17%C. 20%D. 27%【例 4】（新疆 2013-44）甲和乙两家高科技公司合并，持有甲公司 30%股份的陈先生在合并后持有新公司股份的 12%，赵先生拥有甲公司 15%的股份和乙公司 5%的股份，他在合并后的公司中拥有多少比例的股份？（）A. 9%B. 10%C. 11%D. 12%【例 5】（广州 2013-30）某社区服务中心每个月均对居民进行“社区工作满意度”调查。

经对比发现，2 月份的居民满意度是 85 分，比 1 月份上升了 20%，3 月份的居民满意度又比2 月份下降了 20%。

则3 月份的居民满意度和 1 月份相比（）。

A. 两个月持平B. 3 月份比 1 月份高 4%C. 1 月份比 3 月份高 4%D. 3 月份比 1 月份低 4%【例6】（贵州2012－40）某调查队男、女队员的人数比是3∶2，分别为甲、乙、丙三个调查小组。

已知甲、乙、丙三组的人数比是10∶8∶7，甲组中男、女队员的人数比是3∶1，乙组中男、女队员的人数比是 5∶3，则丙组中男、女队员的人数比是（）。

A. 4∶9B. 5∶9C. 4∶7D. 5∶7第04讲比例假设一、题型评述我们在前面的“化归为一法”中学到，当题目中某个未知量不影响最终结果时，为了方便计算，我们可以将其设为某个特殊的值，从而简化计算。

然而在有些题目中，虽然我们非常希望假设其中某个量为一个方便计算的数值，但随意假设可能会跟题干当中的某些已知数字矛盾，这时我们就可以使用“比例假设法”。

二、破题密钥尽管假设数字可能会与已知条件矛盾，但我们仍然可以强行假设其为某一个数字，然后看看推出的矛盾双方之间是几倍关系，按比例放大或者缩小即可。

三、例题精析【例1】（广东2012－8）某企业为员工定制工作服，请服装公司的裁缝量体裁衣，裁缝每小时为52名男员工35名女员工量体。

几小时后，刚好量完所有的女员工的尺寸，这时还有24名男员工没有量体。

若男女员工的比例为11:7，则该企业共有多少名员工？（）A. 720B. 810C. 900D. 1080【例2】（北京2012-75）商场销售某种商品的加价幅度为其进货价的40%，现商场决定将加价幅度降低一半来促销，商品售价比以前降低了54元。

问该商品原来的售价是多少元？A. 324B. 270C. 135D. 378【例3】（上海2013A-60）某高速公路收费站对过往车辆的收费标准是：大型车30元/辆、中型车15元/辆、小型车10元/辆。