年
级
初一
学科
数学
内容标题 编稿老师
有理数的相关概念 巩建兵
【本讲教育信息】
一. 教学内容： 有理数的相关概念 1. 有理数的分类． 2. 什么叫数轴，怎样正确地画出一条数轴；如何把有理数在数轴上表示出来． 3. 绝对值的意义． 4. 有理数的大小比较． 二. 知识要点： 1. 有理数 （1）向东和向西、买进和卖出、零上和零下、收入和支出、运进和运出等，都具有相 反的意义．其中每一对量中的两个量都是具有相反意义的量．一般地，对于具有相反意义的 量，我们可以把其中一种意义的量规定为正的，并在表示这个量的前面放上一个“＋” （读 作“正” ）来表示；把与意义相反的量规定为负的，并在表示这个量的前面放上一个“－” （读作“负” ）来表示． （2）0 既不是正数，也不是负数． 正整数
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5 12 5，－ ，0，0.56，－3，－25.8， ，－0.0001，＋2，－600 7 5 分析： 首先确定我们熟悉的大于 0 的数， 即正数， 然后再观察带有 “－” 号的数， 看 “－” 号后的部分是否大于 0，因为“正数的前面加上负号便是负数” ．特别注意：0 不是正数，也 不是负数． 12 5 解：正数有：5，0.56， ，＋2；负数有：－ ，－3，－25.8，－0.0001，－600 5 7 评析：分类要做到“不重复，不遗漏” ． 例 4. 已知 a＝－5，︱a︱＝︱b︱，则 b 的值等于（ ） A. ＋5 B. －5 C. 0 D. ±5 分析：因为 a＝－5，所以︱a︱＝5，所以︱b︱＝5，所以 b＝±5． 解：D 评析：本题常见的思维误区是由︱a︱＝︱b︱推出 a＝b，错选 B．事实上，由︱a︱＝ ︱b︱，可得 b＝±a，所以 b＝a 或 b＝－a，即 b＝5 或 b＝－5． 例 5. 预计 21 世纪初的某一年，以下六国的服务出口额比上一年的增长率如下表： 美国 －3.4% 德国 －0.9% 英国 －5.3% 中国 2.8% 日本 －7.3% 意大利 7.3%
0 整数 负整数 （3）有理数 正分数 数 也可以这样：有理数零 负有理数
（4）只有符号不同的两个数，我们称其中一个数是另一个数的相反数，也称这两个数 互为相反数．0 的相反数规定为 0． 2. 数轴 一般地，在数学中人们用画图的方式把数“直观化” ，通常用一条直线上的点表示数， 这条直线叫做数轴． 如： （1）在直线上任取一个点表示数 0，这个点叫做原点； （2）规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向； （3）选取适当的长度为单位长度． 注：①数轴的定义包含三层涵义：第一层涵义是说数轴是一条直线，可以向两端无限延 伸；第二层涵义是说数轴有三要素——原点、正方向、单位长度，三者缺一不可；第三层涵 义是说原点的选定、 正方向的选取、 单位长度大小的确定， 都是根据实际需要 “规定” 的． ② 所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来． 正有理数可以用原点右边的点表示， 负有理数 可以用原点左边的点表示，零用原点表示．
则以上六国服务出口额的增长率由高到低的顺序中，排在第三位的国家是__________． 分析：本题所列的这些有理数有正数也有负数，比较大小时，要先将正数和负数分类， 然后分别将每一类用“＜”连接起来，最后把连接好的正数放在右边，把连接好的负数放在 左边，－7.3%＜－5.3%＜－3.4%＜－0.9%＜2.8%＜7.3%． 解：德国 评析：两个负数的大小比较可以用求绝对值的方法来进行，也可以用数轴来比较，用绝 对值比较两个数的大小的步骤：①先求各数的绝对值，②比较绝对值的大小，③根据“两个 负数，绝对值大的反而小”比较原数的大小． 例 6. 已知：绝对值小于 a（a＞0）的整数有 9 个． （1）a 是什么整数． （2）求这 9 个整数的绝对值的和． 分析：从绝对值的定义入手： “一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数 a 的点与原点的距 离” ．画出数轴，从特例出发，展开探究．
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注：异号两数比较大小，要考虑它们的正负； 同号两数比较大小，要考虑它们的绝对值． 三. 重点难点： 重点有三个：一是有理数的分类；二是相反数、绝对值、数轴等相关的内容；三是有理 数比较大小．难点有：比较两个负数的大小；从分类讨论的角度去认识“已知一个数的绝对 值，求这个数”的二重性．
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3. 一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值，记作︱a︱．
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一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0． （1）a 是正数时，︱a︱＝__________； （2）a 是 0 时，︱a︱＝__________； （3）a 是负数时，︱a︱＝__________． 4. 两个有理数如何比较大小 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大，于是： （1）正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数； （2）两个负数，绝对值大的反而小．
F E D C B A
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分析：根据各点距原点多少个单位长度；在原点的左边为负数，在原点的右边为正数， 在原点的是“零” ． 解：A 表示 4；B 表示 2.5；C 表示 1；D 表示 0；E 表示－1.5；F 表示－3． 评析：找出数轴上的点对应的有理数的步骤是：①确定点与原点的位置关系（负左，右 正，零原点） ；②确定点距原点的距离． 例 3. 下列各数哪些是正数，哪些是负数？
【典型例题】
例 1. 下列说法正确的是（ ） A. 整数、分数和负数统称为有理数 B. 有理数包括正数和负数 C. 正整数都是整数、整数都是正整数 D. 0 是整数，也是自然数 分析： A 分类时有重复， 应改为整数和分数统称有理数， B 有遗漏， 应改为有理数包括： 正有理数、0、负有理数．在 C 中正整数和整数在有理数系中属不同的等级，不是两个相同 的概念，应改为：正整数都是整数，但整数不是正整数．只有 D 是正确的． 解：D 评析：数的范围扩大到有理数后，注意数的分类方法，特别是 0 的归属．0 既不是正数， 也不是负数；整数包括正整数、0、负整数，所以 0 是整数，当然也是有理数． 例 2. 指出数轴上 A、B、C、D、E、F 各点分别表示什么数？