H0 2
j
j2
2
j2
4、H(s)与网络的频率特性
若网络函数H(s)的收敛域包含j，则令s= j
m
H(
jω)
H(s)
s jω
H0
( jω
i 1
n
( jω
zi ) pr )
|
H( jω) | (ω)
r 1
频率响应： H ( jω) ~ω曲线 : 幅频特性曲线;
(ω) ~ω曲线 : 相频特性曲线
2F+ uC -
S
+(t=0) 5-iL
i(t
)
- + 2
10V
iL
2
2H
画出s域模型如图
IL(s)
10 s
5
2s 2
2.5(s 2) s(s 1)
１ 2s
17.5 + s-
+ I(s)
I
(
s
)
2s[5
I
L
(
s
)
17.5 s
]
I
L
(
s
)
5-IL(s)
- + 2 IL(s)
10/s 2
2s
5
+
10
2．单边拉氏反变换
f (t) [ 1 j F(s)estds] (t) L 1[ f (t)]
2π j j
f(t)←→F(s)
F(s)称为f(t)的象函数，f(t)称为F(s)的原函数
3、常见函数的拉氏变换对
冲激函数： (t ) 1
L[ (t)]
(t )estdt
(t)dt 1
件为y(0-)=2，y'(0-)=1，试求系统的零输入响应、零
状态响应和全响应。
y(t) 3 y(t) 2 y(t) 2 f (t) 6 f (t)
解：对微分方程拉普拉斯变换
Ly(t) 3 y(t) 2 y(t) L2 f (t) 6 f (t)
[s2Y (s) sy(0 ) y(0 )] 3[sY (s) y(0 )] 2Y (s)
复频域阻抗与复频域导纳：
I(s)
在零状态下
Z(s)
U(s) I(s)
,
Y
( s)
I(s) U(s)
+
N0
U(s) 无源、
-
零状态
I(s)
Z(s) R sL 1 , sC
Y(s) 1 R sL
1
+ U(s)
sC -
R sL
1 sC
有s域形式的欧姆定律
U(s) Z(s)I(s) , I(s) Y(s)U(s)
2[sF (s) f (0 )] 6F(s)
Y (s)
2s 6 s2 3s
2
F(s)
sy(0 ) y(0 ) 3 y(0 ) s2 3s 2
Y f (s) Yx (s)
Yf
(s)
2(s 3) s2 3s 2
1 s
3 s
(4) s1
s
1
2
y f (t) (3 4et e2t ) (t)
-
i 1
+ L1-M
u 1
-
i 2
L2-M +
u
M
2
-
I1(s)
(L1 M )i1(0 )
-
+
L1-M
U1(s)
+ - (L2 M )i2(0 )
sM -
Mi (0 )
+- 1 -
Mi (0 )
+2 -
I2(s)
L2sL称为复频域感抗，(1/sLs)称域为模复型
频域感纳；(1/sC)称为复频域容抗，sC称为复频 域容纳。独立电源称为附加电源或内激励。
L
di L (t ) dt
UL(s) L[sIL(s) iL(0 )] UL(s) sLIL(s) LiL(0 )
i L (t )
iL (0
)
1 L
t
u( )d
0
IL(s)
iL (0 s
)
1 L
UL(s) s
I
L
( s)
UL(s) sL
iL
(0 s
)
1/sL
L i(t)
＋ u(t) －
I(s)
复频域分析法步骤
1. 求换路前电路的状态 uC(0-)、iL(0-)； 2.求激励f(t)的象函数F(s)；
3.画出s域电路模型
4.用s域形式的各种分析法建立方程，解出响应
变量的象函数；
5. 拉氏反变换的求出响应的时域表达式，画出 响应的波形。
例: 图示电路，试求零状态响应uC1 、uC1 、u
U1(s) L1sI1(s) L1i1(0 )
U
2
(
s
)U
2
(
s
)
MsI 2 (s MsI1(s)
) Mi2 (0 Mi1(0 )
)
Mi2 (0 )
Mi1(0 )
L2sI 2 (s) L2i2 (0 )
当耦合电感为三端接法时的s域模型
i 1
+*
u 1
L1
-
i
M
2
*+
L2
u 2
元件：VAR 相应的s域形式 s域模型
1、电阻元件：
u(t) R i(t) U(s) R I(s)
i(t) G u(t) I(s) G U(s)
i(t)
I(s)
u(t)
U (s)
2、电容元件：
ic (t)
C
duc (t) dt
Ic (s) C[sUc (s) uc (0 )] Ic (s) sCUc (s) Cuc (0 )
若
f (t) F(s)则
df (t) dt sF (s) f (0 )
推论：
f (n)(t) snF(s)
sn1 f (0 ) sn2 f (0 ) f (n1)(0 )
§9–3 拉普拉斯反变换
部分分式展开法
F(s)
N(s) D(s)
bm sm bm1sm1 b1s b0 sn an1sn1 a1s a0
2s 2.5 3s
4
i2 (t ) (e0.5t e2.5t )A , t 0
去耦等效
i1(0 ) i3 (0 ) 2A i2(0 ) 0
画出s域模型如图
S
(t=0)
+ 2.5 10V -
2.5 i1 1H
1H i2
i3 2H 2.5
I1(s)
I2(s)
2.5 +
10
s
-
2+
s 2s
H(s)
Y f (s) F(s)
bm sm bm1sm1 sn an1sn1
b1s a1s
b0 a0
N(s) D(s)
将分子、分母因式分解(设为单根情况)得
m
H(s)
bm (s (s
z1 )(s z2 ) (s zm ) p1 )(s p2 ) (s pn )
H0
(s
Yx (s)
2s 1 3 2 s2 3s 2
s
5 1
(3) s2
yx (t) 5et 3e2t , t 0
故 y(t) y f (t) yx (t) 3 et 2e2t , t 0
二、电路的s域模型
由拉氏变换的线性特性有 KCL： i(t)=0 I(s)=0
KVL： u(t)=0 U(s)=0
0
0
阶跃函数： (t ) 1
s
斜坡函数： t (t ) 1
s2
L[t (t)]
testdt 1
0
s
tdest
0
1 s2
指数函数：
e t (t) 1 s
L[et (t )] etestdt e(s )tdt
0
0
1
s
e ( s )t
0
1
s
正幂函数：
t n (t)
I(s) sL LiL(0 )
iL(0 ) s
＋
U(s)
－＋
U(s)
－
4．耦合电感的s域模型
i 1
*
u1(t ) L1
i 2
M * L2 u2 (t )
u1 u2
L1 M
di1 dt di1 dt
M L2
di2 dt di2 dt
sM
*
sL1
U1(s)
L1i1 (0 )
* sL2
L2i2 (0 )
例:电路换路前已达稳态，求t>0的全响应i2(t) .
S
(t=0)
+ 2.5 10V -
2.5 i1 2H *
3H
i2
* 3H 2.5
解：画出0-等效电路，有：
2.5
i1(0-)
i2(0-)
+ 2.5 10V -
2.5
例2
i1(0
)
10 2.5 2.5
2A
,
i2(0
)
0
画出s域模型如图
n! s n1
(n为正整数)
余弦函数： 正弦函数：
cos0t (t) sin0t (t)
s
s2 0 02 s2 02
§9–2 拉普拉斯变换的性质
一、拉氏变换的基本性质：
1、线性特性： 若 f1(t) F1(s) , f2(t) F2(s)
则 af1(t) bf2(t) aF1(s) bF2(s) 2、时域的微分性：