∞
0
1 = s+a
L[e
jωt
1 ]= s − jω
3.
f (t ) = δ (t )
L[δ (t )] =
∞ ∫0−
0+
F ( S ) = ∫ − f ( t )e − st dt
0
+∞
δ (t )e dt
−st
= ∫ − δ ( t )dt
0
=1
14.2 拉普拉斯变换的基本性质 一. 线性性质
本章内容
常用函数的拉普拉斯变换； 1. 常用函数的拉普拉斯变换； 拉普拉斯变换的主要性质； 2. 拉普拉斯变换的主要性质； 3. 求拉普拉斯反变换的部分分式展开法； 求拉普拉斯反变换的部分分式展开法； 复频域分析法(运算法) 4. 复频域分析法(运算法)
14.1 拉普拉斯变换的定义
一. 拉氏变换法
二. 微分性质
设： L[ f ( t )] = F ( s )
df ( t ) − ] = sF ( s ) − f ( 0 ) 则 L[ dt
例2：L[δ ( t )]
d 1 = L[ ε ( t )] = S × − ε ( t ) 0 = 1 S dt
−
三. 积分性质
设： L[ f ( t )] = F ( s )
解法2 解法
N( p1 ) 4s + 5 K1 = ' = D ( p1 ) 2s + 5
s=−2
= −3
N( p2 ) 4s + 5 K2 = ' = D ( p2 ) 2s + 5
−2t
s=−3
=7
f (t) = −3e ε (t) + 7e ε (t)
−3t
N( p1 ) p t N( p2 ) p t N( pn ) p t f (t) = ' e + ' e + ⋅⋅⋅ + ' e D ( p1 ) D ( p2 ) D ( pn )
1 2 n
原函数的一般形式
27
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p1 = α + jω (2) 若D(s) = 0具有共轭复根 p2 = α − jω
N(s) N(s) F(s) = = D(s) (s − α − jω)(s − α + jω)D1(s)
K1 K2 N1(s) = + + s − α − jω s − α + jω D1 (s)
− st0
例2：求f(t)的象函数 ： 的象函数
T
f(t)
解：
T
f ( t ) = t [ε ( t ) − ε ( t − T )]
f ( t ) = tε ( t ) − ( t − T )ε ( t − T ) − Tε ( t − T )
1 1 − sT T − sT F ( s) = 2 − 2 e − e s s s
令 s = p1 方法2 方法2 求极限的方法
N(s)(s − pi ) Ki = lim s→pi D(s)
25
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N(s)(s − pi ) Ki = lim s→pi D(s)
N ' (s)(s − pi ) + N(s) = lim s→p D' (s)
i
N( pi ) Ki = ' D ( pi )
K1， = [F(s)(s −α m jω)]s=α±jω 2
第14章 14章
14.1 拉普拉斯变换的定义
线性动态电路的 复频域分析
14.6 网络函数的定义 14.7 网络函数的极点和零点 14.8 极点、零点与冲激响应 极点、 14.9 极点、零点与频率响应 极点、
14.2 拉普拉斯变换的基本性质 14.3 拉普拉斯反变换的部分分式展开 14.4 运算电路 14.5 用拉普拉斯变换法分析线性电路
(1) 若D(s) = 0有n个单根分别为p1 ⋅ ⋅ ⋅ pn
利用部分分式可将F(s)分解为： 分解为： 利用部分分式可将 分解为 待定常数
K1 K2 Kn F(s) = + + ⋅⋅⋅ + s − p1 s − p2 s − pn
f (t) = K1e + K2e
p1t
p2t
+ ⋅ ⋅ ⋅Kne
1 c+ j∞ st (1)利用公式 f (t ) = 利用公式 ∫c− j∞ F(s)e ds 2πj
(2)对简单形式的 对简单形式的F(s)可以查拉氏变换表得原函数 可以查拉氏变换表得原函数 对简单形式的 可以 (3)把F(s)分解为简单项的组合 把 分解为简单项的组合
F(s) = F (s) + F2 (s) + ⋅ ⋅ ⋅ + Fn (s) 1
= ∫ + e dt
− st 0
∞
1 − st =− e s
∞
0+
1 = s
2. f ( t ) = e ε ( t )
− at
∞
F ( S ) = ∫ − f ( t )e − st dt
0
+∞
L[e ] = ∫ − e
−at 0
−at − st
1 −( s + a )t e e dt = − s+a
则 L[ ∫ −
0 t
1 f (τ )dτ ] = F( s ) s
例 L[t ]
L[ε (t )] 1 = 2 = L[∫ − ε (ξ )dξ ] = 0 s s
t
L[∫ −
0
t
1 f (τ )dτ ] = F(s) s
1 L [t ] = 2 s
依次类推有： 依次类推有：
Lt
3
[ ]
2
(2ξ )d ξ = 2 × 1 × 1 = 2 =L ∫− 2 3 0 s s s
返 回
pnt
24
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待定常数的确定： 待定常数的确定： 方法1 方法1
Ki = F(s)(s − pi ) s= pi i = 1 2 3L n 、、 、
K2 Kn (s − p1)F(s) = K1 + (s − p1) + ⋅⋅⋅ + s− p s − pn 2
t
t ( 3ξ 2 ) d ξ = 3 × 1 × 2 = 3 × 2 = 3! L t = L ∫ − 3 4 4 0 s s s s
Lt
[ ]
n
n! = n+1 s
延迟性质(延迟定理 延迟定理) 四. 延迟性质 延迟定理 ----时域平移 时域平移
f(t)ε(t) ε t t0 f(t-t0)ε(t-t0) ε f(t)ε(t-t0) ε
−st 0
+∞
原函数，用小写字母表示， 时域 f(t) 称为 原函数，用小写字母表示， 如 i(t ), u(t )。 。 复频域 F(s) 称为 象函数，用大写字母表 象函数， 示 ，如 I(s)、U(s)。 、 。
f(t)与F(s)一 一对应 与 一
从定义式 F( s ) =
∫
+∞
把原函数f(t)与 把原函数 与 e-st的乘积从 t =0-到∞对 t 进行 到 积分，则此积分的结果不再是 的函数。 积分，则此积分的结果不再是t 的函数。所以 拉氏变换是把一个时间域的函数f(t) 变换到s 拉氏变换是把一个时间域的函数 变换到 复频率。 域内的复变函数 F(s)。变量 称为复频率。 。变量s 称为复频率
若L[ f 1 ( t )] = F1 ( s ) , L[ f 2 ( t )] = F2 ( s )
则L[a f1 (t ) ± b f2 (t )]
= aF1 (s) ± bF2 (s)
A 例1：L[ A] = S
1 1 ) 例2：L[ A(1 − e )] = A( − s s +α 1 jω t − jω t )] 例3：L[sin ωt ] = L[ ( e − e 2j 1 1 1 ω ] = 2 = [ − 2 2 j S − jω S + j ω S +ω
0−
f ( t )e dt
−st
可看出， 可看出，
如果F(s)已知，要求与之对应的原函数f(t) ， 已知，要求与之对应的原函数 如果 已知 的变换称为拉普拉斯反变换 由F(s)到f(t)的变换称为拉普拉斯反变换，它 到 的变换称为拉普拉斯反变换， 定义为： 定义为：
1 c+ j∞ st f (t )= ∫c− j∞ F( s )e ds 2πj
4s + 5 例 求 F(s) = 2 的原函数 s + 5s + 6 K1 K2 4s + 5 解法1 解法 = + F(s) = 2 s + 5s + 6 s + 2 s + 3
4s + 5 K1 = s +3
S =−2
= −3
4s + 5 K2 = =7 s=−3 s+2
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f (t ) = f1 (t) + f2 (t ) + ⋅ ⋅ ⋅ + fn (t)
部分分式 展开法
23
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N(s) a0s + a1s + ⋅ ⋅ ⋅ + am F(s) = = (n ≥ m) n n−1 D(s) b0s + b1s + ⋅ ⋅ ⋅ + bn
m
m−1
讨论
象函数的一般形式
拉氏变换法是一种数学积分变换， 拉氏变换法是一种数学积分变换，其核心是 把时间函数f(t)与复变函数 与复变函数F(s)联系起来，把时域 联系起来， 把时间函数 与复变函数 联系起来 问题通过数学变换为复频域问题， 问题通过数学变换为复频域问题，把时域的高阶 微分方程变换为频域的代数方程以便求解。 微分方程变换为频域的代数方程以便求解。应用 拉氏变换进行电路分析称为电路的复频域分析法， 拉氏变换进行电路分析称为电路的复频域分析法， 又称运算法。 又称运算法。