图5-4
[解题方法] （1）作出时域电路的域模型如图5-4()所示。其电压 源电压的象函数是，复频域感抗，复频域容抗
（2）求电压.应用节点分析法，列出节点方程为
计算待定常数
进行拉氏反变换得出 （3）求 电路的域阻抗为
故 计算待定常数
进行拉氏反变换得出
A [例5-3] 激励为指数函数RLC电路的域分析计算。如图5-5()所示 电路，V，V，.试用域分析法求电阻元件两端电压.
称为原函数的时域函数，经下式积分变换后，便得出的象函数为
因是复数，即复频率，故象函数是复频域函数或S域函数，其变量是 复数S，而不是时间t。由原函数经上式变换为象函数，称为拉氏正变 换。拉氏正变换的符号为
若已知复频域函数，则可按下式积分进行反变换为原函数，即
由象函数经过上式积分求出原函数，称为拉氏反变换。拉氏反变换
（3）的部分分式为 （4）进行拉氏反变换，查拉氏变换表得出
2. （1） （2）计算各待定常数
（3）的部分分式为 （4）进行拉氏反变换，查拉氏变换表得出
或
本题反变换中应用的变换式有 以及欧拉公式
3. （1） （2）计算各项待定系数
（3）的部分分式为 （4）进行拉氏反变换，查拉氏变换表得出 本题计算待定常数时，应用微分公式为 反变换中应用拉氏变换公式有
1.S域中的电压和电流 在S域模型中，时域电源激励函数变换为象函数，各支路电压用象函 数表示。通常时域激励函数由查拉氏变换表得出它的象函数，如，是常 数；；等。电路中的电压和电流用它的象函数表示，如，，，等。 2.R，L，C元件VAR的S域形式及其S模型 （1）电阻元件R：VAR的S域形式为
，或 S域模型如图5-1,所示。
是微分和积分关系。所以，由拉氏变换的微分性质和积分性质，必然得 出拉氏变换式中自动包含有初始状态和值的结果。
3. 拉氏变换表的应用 在电路分析中，常用的时域函数如，，，、和等，它们的拉氏变换 式，都已积分得出，教材中制表列出，以备查用。我们要熟悉这些常用 函数的拉氏变换，了解这些变换式的依据，以便在进行电路分析时能熟 练查表应用。 （三）关于进行拉氏反变换的部分分式展开法 应用拉普拉斯变换分析线性动态电路时，要经过拉氏正变换和拉氏
图5-5
[解题思路] 本题是非直流激励二阶电路的分析。分析时关键在于作 出域模型，激励函数查表得出它的象函数，同时要注意电感元件和电容 元件由于初始状态产生的附加电压源或附加电流源并正确确定它们的参 考方向。作出域模型后，按域分析方法的基本步骤进行分析计算得出结 果。
[解题方法] （1）作出域模型，如图5-5所示。其中电源象函数；由 于，故电容元件域模型的附加电压源电压为；又因，故电感元件域模型 中没附加电压源电压。
反变换两个重要步骤。正变换一般可以根据原函数查表得出它的象函 数，比较简捷。但是，经过复频域分析计算得出向量的象函数，往往比 较复杂，一般不能直接通过查表得出它的原函数。因此，需要找出求取 原函数反变换的方法。求取较复杂象函数的原函数的拉氏反变换，通常 有两种方法，即围线积分法和部分分式展开法。围线积分法是直接进行 拉氏反变换的积分，这是一种复变函数积分，运算比较困难，但它的适 用范围较宽。部分分式展开法，是将象函数分解为若干简单变换式之 和，然后分别查表求取原函数，这种方法适用于象函数是有理函数的情 况。在集总线性电路中，常见的响应量电压和电流的象函数往往是S的 有理函数。因此，它的拉氏反变换，可以将象函数展开为部分分式后， 再逐项反变换为原函数。
由于R，L，C元件阻抗和导纳两种S域模型，故一个时域动态电路 便可以作出两种S域模型。电路分析时宜采用哪一种S域模型呢？应视电 路的结构而定。一般而言，串联电路宜采用阻抗S域模型，并联电路则 宜采导纳抗S域模型。
3.KVL和KCL的S域形式
（1）KVL：在S域中沿任一闭合回路各支路电压象函数的代数和为 零，即
应用拉普拉斯变换分析动态电路，有两种方法，即变换方程和变换 电路法。前者是将描述动态电路的微分方程，经拉氏变换为复频域代数 方程，在复频域求解后，反变换为时域响应；后者是时域电路直接变换 为复频域电路，即S域模型。根据S域模型进行分析计算，得出响应量的 S域形式，最后反变换为时域响应。本课程主要讨论后一种方法。
（2）电感元件L：VAR的S域形式为 或
S域模型如图5-2,所示。其中称为复频域感抗，称为复频域感纳。是由 电感元件初始状态产生的附加电压源复频域电压，与为非关联参考方 向；是由电感元件初始状态产生的附加电流源电流，与中电流参考方向 相同。
（3）电容元件C：VAR的S域形式为
或 S域模型如图5-3,所示。其中称为复频域容纳。是由电容元件初始状态 产生的附加电压源复频域电压，与参考方向一致，是由电容元件初始状 态产生的附加电流源电流，与为非关联参考方向。
（2）列KVL方程为
上式等号两边乘s得出 移项得出
域经典法分析计算时，确定初始条件和积分常数计算很麻烦，然而，这 时应用拉普拉斯变换的复频域分析法，可以简化分析的计算。
拉普拉斯变换是积分变化，它可以将时域电路描述动态过程的常系 数线形微分方程变换为复频域的复数代数方程，在复频域求解代数方 程，得出待求响应量的复频域函数，最后经拉氏反变换为所求解的时域 响应。这种变换分析方法，其实质就是时域问题变换为复频域来求解， 使分析计算抑郁易于进行。
第5章 动态电路复频域分析
学习指导与题解
一、基本要求
1.了解拉普拉斯变换的定义，明确其基本性质和应用拉普拉斯变换 分析电路的概念。
2.会查表得出电路中常用函数的拉氏变换；掌握运用部分分式展开 和查表方法进行拉普拉斯反变换。
3.掌握基尔霍夫定律和元件伏安关系的复频域形式，复频域阻抗与 导钠，会建立动态电路的复频域模型。
三、解题指导
（一）例题分析
[例题5-1] 拉普拉斯反变换中，展开为部分分式的计算，下列复频 域象函数进行拉氏反变换为原函数.
（1） （2） （3） 解[解题思路]本题中各复频域象函数，都是有理函数，并较为复 杂，不能直接查拉氏变换表得出原函数，需经部分分式展开为简单复频 域函数之和，然后逐项查表得出原函数。进行复频域函数部分分式展开 时，第一步将分母多项式，求出极点；第二步，写出函数含有待定常数 的部分分式；第三步是分别计算出各待定常数；最后，根据线性定律逐 项查表得出原函数. [解题方法] 1. （1） （2）计算待定常数
4.熟练掌握应用复频域方法分析电路中过拉斯变换分析电路的方法，是现代电路与系统分析的重要 方法，是本课程的重要内容。本章教学内容可以分为如下三:部分：
1.拉普拉斯变换及其基本性质； 2.动态电路的S域模型与S域分析； 3.拉普拉斯反变换与部分分式展开法。 着重套路拉普拉斯变换及其基本性质，拉普拉斯表的使用S域模型的 建立与S域分析，以及拉普拉斯变换的部分分式展开法。 现就教学内容中的几个问题分述如下。 （一）关于变换域分析法的概念 变换域分析电路的概念，我们从本课程第五章以来已经应用，就是 正弦交流电路分析计算电压和电流的向量法。向量法是一中变换域分析 法，它是将时域电路中的正弦函数变换为频域对应的相量，如，；将时 域单一频率正弦交流电路变换为频域的相量模型；即， ，，或，或。根据相量形式的，和元件，分析计算得出相量形式的电压 和电流，最后反变为时域正弦电压或正弦电流。相量法实质是将时域正 弦交流电路求解微分方程的计算，转化为频域求解复数代数方程问题， 从而使分析计算简易有效。 动态电路的分析，除有时域分析法外，也还有变换域分析法，应用 拉普拉斯变换的复频域分析法，是一中主要的变换域分析法。时域分析 法易于一阶电路和简单二阶电路的分析，这是因为对于高阶电路采用时
或 5.S域方法分析电路过渡过程的基本步骤 （1）作出时域电路时电路的S域模型。作S域模型时，注意电感和电 容元件由于初始状态产生的附加电压源和附加电流源，以及电容电压是 复频域阻抗与附加电压源串联支路两端的电压，电感电压则是复频域阻 抗与附加电压源串联支路两端的电压，并要正确标定它们的参考方向。 （2）根据S域模型，以KVL，KCL和元件的VAR的S域形式为依据， 应用等效化简、节点分析法、网孔分析法、叠加定律和戴维南定律应用 等基本分析方法进行分析计算，得出待求电量的象函数。 （3）将待求电量的象函数展开为部分分式。 （4）进行拉氏反变换。采用查拉氏反变换表方法，逐项进行反变换 为时域原函数，最后解出时域响应。 本章学习的重点内容是S域模型的建立和S域电路的分析计算。通过例 题和做习题以熟练掌握。
[例5-2] 应用域分析法求一般二阶电路的阶跃响应。如图5-4(a)所 示电路，求阶跃响应和。
解 [解题思路] 本题是一般直流二阶电路求阶跃响应，即零状态响 应。作域模型时，初始状态为零，电感元件和电容元件域模型中没有附 加电压源。域分析计算的步骤是，首先作出时域电路的域模型，然后应 用节点分析法求解出待求量的象函数，并将其展开为部分分式，最后反 变换为时域响应。
如果象函数是S的有理数，它可以表示 两个S的多项式之比，即 若n>m,是真分式。这时分母多项式可以用代数分解定律，求出的极 点，有如下三种情况。 1.单极点情况 ，得出n个不同的单实.则便可展开部分分式为
待定常数 计算的一般公式为
计算得出待定常数后，根据部分分式，逐项进行拉氏反变换，求出原函 数为
2.复数极点情况 分母多项式，得出含有复数根，复数根一般都是以共扼形式出现 的。如果有一对共扼复极点，，，则象函数为
上部分分式中的待定常数，仍按单极点情况方法进行计算得出。应该指 出复极点项的待定常数是的共扼关系，即。
计算出部分分式各项的待定常数后，便可逐项进行拉氏反变换求出 原函数。即
其中共扼极点项的拉氏反变换，按如下变换关系式得出。即
3.多重极点情况 若分母，得出含为m个重根时，则的部分分式展开为
计算上部分分式中重积点各项的m个待定常数的一般公式为
其余单极点项的待定常数，仍按单极点情况方法进行计算。 部分分式各项的待定常数确定后，便可逐项进行拉氏反变换得出原