• 从中必可找出n个线性无关的列或行。 • 不同的找法，会找出不同的列（行）。由它们构成
的变换矩阵将原系统方程变换成不同的规范形。
1 搜索线性无关的列（行）的两种方案
以从Qc中找寻线性无关的列或行为例。
系统完全能控，rank Qc=n.Qc中有且最多仅有n个线性无关的列。 如何找出它们？用格栅图表示。 方案 I 列搜索
第三章 线性系统的能控性和能观测性
3.1 能控性和能观测性的定义
• 能控性
– 状态点的能控性 对t0,x0， 存在t1>t0 和容许控制u(t), t属于[t0,t1], 使系统状态从x0→x(t1)=0 称此x0在t0时刻能控。
– 系统的能控性 状态空间中的所有x0 ，在t0时刻都能控，则称系统在t0时刻完全 能控。
该搜索方法的特点是， Ai bi 是其左边的向量的线性组合。
方案II 行搜索
先找[b1,b2, ,b p ]中的线性无关列； 再找[Ab1， Ab2， ， Ab p ]中的线性无关列；
直到找够n个线性无关列。 找够后， 再排列成如下形式
{b1，
Ab1， ， A11b1；
b
，
2
Ab2， ，
A2 1b2； ；
e11 e12 e1v1 ; ; el1 el2 elvl
的表达。 而B的第1列b1就是e1v1 , 所以其表达为
0 0 1； ; 0 0 0T
余类推。 所以，Bc的形式如前所示。
3 龙伯格规范形
3.8 线性系统的结构分解
• 能控性和能观测性在线性非奇异变换下保持不变。 • 线性定常系统按能控性的结构分解
Q
np
B p
AB p
A 1B p
p
要满秩，须μP>=n.故 p n n p
又若rank B =r<=p
B
AB
A2B
rank r 其中至少有一个 列向量与左边的
r个线性无关的列 向量线性无关
A 1B
r 1 n n r 1
综上，n p n r 1
注： • 单输入系统p=1,系统的能控性指数为n. • 简化计算能控性判别矩阵。不必计算到A的(n-1)次幂乘以B。最多只
从b1开始， 然后A1b1, A2b1, , A11b1, 直到A1b1能表示成
{b1， A1b1, A2b1, , A11b1}的线性组合。（
至此，
已找到
个线性无关列）
1
若 1
n,
选b
，
2
A1b2 , A2b2 ,
,
A
2
1b
2
,
直到A
2
b
能表示成
2
{b1，
A1b1,
, A11b1；
b
，
2
A1b2 ,
q1 qk | qk1 qn A Aq1 Aqk | Aqk1 Aqn
因rankQc rank[B AB An1B] k
所以，Aq 1, , Aqk都是q1, , qk的线性组合
故，Aq 1, , Aqk 对q1 qk | qk1 qn 的表达中， 从第k 1行以下都为0
即为规范表达式中的形式。
, A2 1b2}的线性组合
（
至此，
已找到
1
个线性无关列
2
）
若1 2 n, 继续选b3， A1b3, A2b3, , A31b3, 直至1 2 r n. 至此， 已找到n个线性无关的列， 即
{b1， A1b1, , A11b1；
b
，
2
A1b2 ,
, A 2 1b2；
；
b
，
r
A1br ,
, A r 1br }
1v1 2
1v1 1 1v1
Ae1v1 e1v11 e 1v1 1v1
所以，与v1以后的基向量无关，故A中第v1列之前，v1行以下均为0。
对式（3.186)
v2
v1
v1
Ae21 Av2 b2 2 j A j1b2 21b2 r2 j1e1 j r2 j1e1 j 21b2
br， Abr， ，
Ar 1br }
注：这种方法和确定能控性指数集时的搜索方法相同。
这样找到的 A i bi不能表示成其左边的各列的线性组合。它与找到的所有列 都线性相关。
性质：如果说 Akb j 与它的前面的列线性相关，则 Ak1b j 亦必是这样。
2 旺纳姆(Wohnam)规范形（以能控规范形为例，能观形与 之对偶）
需计算到(n-r)次幂。 • 能控性指数集
• 线性非奇异变换不改变能控性指数和能控性指数集
4 线性时变系统的能控性判据
3.3 线性连续时间系统的能观测性判据 3.4 对偶性原理
• 与能控性判据对偶，自学。
3.7 MIMO系统的能控规范形和能观测规范形
• 系统完全能控时，rank Qc=n; 系统完全能观测时， rank Qo=n.
对B同理。
Notes:
•线性定常系统按能观测性的分解
•线性定常系统结构的规范分解
不完全能控、不完全能观测的线性定常系统
A
PAP1
Ac
0
A12 A
c
,
B
Bc
0
设λ为 A的c 特征值，则存在行向量β，满足
A c
构造行向量 0 ， 则
I A
B 0
I Ac
0
பைடு நூலகம்
A12
I A c
Bc
0
0
i.e.
P(I A)P1 PB P (I A)P1 B 0
P 0,
P 0,
– 系统不完全能控：存在一个或一些非零状态在t0时刻不能控，则称系统在 t0时刻不完全能控。
• 能观测性
能观测性研究x0是否可由输出和输出完全确定的问题。
3.2 线性连续时间系统的能控性判据 • 1 线性定常系统的能控性判据
反设系统不能控。利用规范分散定理，存在等价变换矩阵P，使
{A, B} {A, B}
(I A)P1 0 (I A) 0 I A
B 0
rankI A B n
与已知矛盾。 反设不成立。
B 0
2 能控性指数（只对定常线性系统定义，系统完全能控）
• K=n时，Qk即为能控性判别矩阵。
• 有时，在k<n时， Qk的秩就已经是n了。
• 称使rank Qk=n的k的最小正整数μ为系统的能控性指数。[系统综合时用到]
• 按方案I搜索Qc中的n个线性无关列，得
根据上述这种搜索方法的特点，有
根据以上特点构造状态空间中的新的“基” T
关于旺纳姆能控规范形的证明
• “表达”
•相似变换
Ac T1AT
TAc AT
T e1 e2 en
e1 e2
a11 a12
en
a21
a22
an1 an2
a1i
j2
j 1
j 1
v2
v1
v1
Av2 b2 2 j A j1b2 r2 j1e1 j r2 j1e1 j 21b2
j 1
j 1
j 1
v1
r2 j1e1 j 21b2 j 1
e11 e12
e1v1 ; ; el1 el 2
0
elvl
21
0
0
Ae22 e21 e 22 2v2
只有Ae21与前面的基向量有关，其余Ae22,…,Ae2v2只与本组基向量 有关。故它们对新的基的表达为
同理，对（3.187)-(3.190) 只有Ae31,…,Ael1联系前面的基，基余都与本组基向量有关。 所以可确定A c的形式如前所示。
Bc的形式可按相同的方式说明
Bc T 1B T Bc B 即Bc的第i列是B的第i列关于新的基
e11 e12 e1v1 ; ; el1 el 2
0
0
11
elvl
0
0
0
v1
Ae12 Av11b1
1
j
A
b j 2 1
12b1
12b1
j3
e11
e11 e 12 1v1
Ae13 e12 e 13 1v1
Ae e e 1v11
e1
e2
en
a2i
Aei
ani
a1n
a2n
A
e1
ann
Ae2
Aen
即变换后的矩阵的第i列是Aei这个向量相应于新的基T的表达。
对式（3.184)
类似于SISO系统（3.166)利用凯莱-哈密尔顿定理，此处利用
Ãc 的各列是Aei关于新的基的表达。
v1
Ae11 Av1b1 1 j A j1b1 11b1 11b1 j2 11b1 e 11 1v1
– 分解成能控的和不能控的两部分。如何分解？
1. 计算
2. 从中任意选取k个线性无关的列
3. 选取n-k个列向量
，使下列矩阵满秩
4. 取
，即可导出系统按能控性分解的规范表达式
Why?
Q q1 qk | qk1 qn
变换关系
QA AQ
QB B
A的各列是AQ的各列关于Q q1 qk | qk1 qn 的表达