tf t0
( t ) B u ( ) d
续
由凯莱-哈密顿定理得：
(t0 ) e
A ( t0 )

x (t0 )
t f n 1
t0
m 0
m ( t ) A Bu( )d m 0
m0

n 1
m (t0 ) A m
x (t0 )
tf t0
m 0

n 1
A
m
B

t t0
f

m
( t 0 ) u ( ) d
tf t0
[ B 0 ( t 0 ) u ( )d A B 1 ( t 0 ) u ( )d A
u0 u AB An 1 B ) 1 u n 1
可控性可观测性定义
【例】RLC网络
取 x1 i L , x 2 uc , y uc
当
R1 R4 R2 R3 ，即电桥不平衡时，u能控制
u
x1，x2所有变量，称系统可控。 所有变量 称系统 控
控制量对状态变量的控制能力－称状态可控性 输出量对状态变量的反映能力 称状态可观测性 输出量对状态变量的反映能力－称状态可观测性
离散时间系统的可控性
1.定义： 设系统
x ( k 1) x ( k ) Gu( k ) ，
nT ] ,存在控制作用 u ( (0) ) u (l 1) )
[0 若在有限时间 t [
使系统从任意初始状态 x (0) x0 在l 步 转移到零终态 x (l ) 0 则称此状态可控；如果系统所有状态可控，则称系统完全可 控，简称系统可控。 2.线性定常离散系统的可控条件 定理： 线性定常离散系统 x ( k 1) ) Φ x ( k ) Gu ( k )，系统状态完全可控
对于线性定常系统，可控性和可达性是等价的；
状 完 状态完全可控的条件 条件
一. 可控性判据 定理1： 若定义线性定常系统 A, B的n*(np)可控矩阵
2 n 1 Sc B AB A B A B 则系统状态完全可控（或系统可控）的充要条件是：
该系统的可控性矩阵满秩 即 该系统的可控性矩阵满秩，即
2 1 P (P ) 1 1
1 1
p11 1 1 P 1 1 2 p A 1 1 1 1 0 2 1 0 1 1 A P AP 1 2 0 2 1 1 2 3
n 1
B n 1 ( t 0 ) u ( )d
t0
tf
x (t0 ) ( B
rank( B
AB An 1 B ) n
线性定常连续系统状态完全可控的条件 例题
【例】
2 x 0
Qc [b
1 1 x u, 1 0
（2）
4 1 2 x x u 0 4 0
1 0 u 0 1
（3）
4 1 0 0 0 4 0 x x 0 3 1 0 0 3 2
0 0 （4） 4 1 0 0 4 0 1 x x u 2 0 3 1 0 0 0 3 0
（1）状态方程为对角标准型，B阵中不含有元素全为零的行，故系统是可控的。 （2）状态方程为对角标准型，B阵中含有元素全为零的行，故系统是不可控的。 （3）系统可控 （3）系统可控。 （4）系统不可控 （4）系统不可控。
定理 3 线性定常连续系统状态完全可控的条件
定理3 ： 系统
Ax 件为 x A B Bu 状态完全可控的充要条件为：
p1 0 0 0 1 b
Ab A b
n 1
1
例题 线性定常连续系统状态完全可控的条件
【例】已知系统的状态方程为
1 0 1 x x u 0 2 1
试判别状态可控性 如可控将状态方程化为可控标准型 试判别状态可控性，如可控将状态方程化为可控标准型。 解：（1）首先判别可控性
rankSc n
PBH秩判据，可控的充分必要条件： 判 控的充 条件
rank sI A B n
推论 推论:
Ak
e
At

m0

m 0 n 1

n1

m
(t ) A m
m
(k n)
m (t ) A
凯莱-哈密顿定理：
f ( ) I A
n
a n 1
（3）
解：
7 0 0 0 1 0 5 0 x 4 0 u x 0 0 1 7 5
（4）
7 0 0 0 1 0 5 0 x 0 0 u x 0 0 1 7 5
x 2 ，所以状态变量 所以状态变量 x 2 不能观测。
可控与可达的定义
A x Bu ，若在有限时间 设系统 x 若在有限时间 t [ t 0 , t f ] ,存在分段连续 存在分段连续 输入u(t)
定义1：使系统从任意初始状态 x(t0 ) 转移到任意终态则称 x (t f ) 此状态可控； 如果系统所有状态可控，则称系统完全可控，简称系统可控。
假如相平面中的P点能在输入的作用下转移到任一指定状态 P 1, P 2 , , P n ， 那么相平面上的P点是可控状态。
P3 0 P 4 Pn x2 P P2 x1 P1
可控与可达的定义
定义2：使系统从任 ：使系统从任一初始状态 初始状态 x (t0 ) 转移到终态 x (t f ) 0 状态 零点，则称状态完全可控，简称状态可控； 定义3：使系统从零状态 x (t 0 ) 0 转移到任意指定终端状 态 x (t f ) ，则称此状态可达，简称系统可达。
Ax A B Bu , y C Cx D Du ，则系统输出完全可控的充要条件是 设系统 x 则系统输出完全可控的充要条件是
输出可控性矩阵
CSc
| D 满秩，即
D q
n 1 CB CAB CA B rank ...
（q-输出变量个数） 一般而言，系统输出可控性和状态可控性之间没有什么必然的联系。 即输出可控不一定状态可控，状态可控不一定输出可控。
的充要条件为能控性矩阵满秩
1 2 Ab] 0 0 ，
试判别状态可控性
解：
rankQc 1 n
∴系统不可控。
线性定常连续系统状态完全可控的条件
定理2：
定理2
Ax Bu , 系统状态完全可控的充要条件为： 设线性定常系统 x
当A为对角阵且特征根互异时，输入矩阵B无全零行
状态可控性例题
解 解：
（1）系统是可控的。 ）系统是可控的 （2）系统是不可控的。 ）系统是不可控的 （3）系统是可控的。 （4）系统是不可控的。
可控标准型 线性定常连续系统状态完全可控的条件
二、 可控标准型
0 0 A 0 a0 1 0 0 a1 0 1 0 a2 ... ... 0 0 0 ,b 0 1 a n 1 1 0
1 1 1 0 b P b 1 2 1 1
1
即有可控标准型:
0 1 0 x x u 2 3 1
线性定常连续系统状态完全可控的条件 连续系统的输出可控性
三 连续系统的输出可控性 定理：
定理
线性定常连续系统状态完全可控的条件
2. 若一单输入系统可控,则一定能找到一线性变化将起转 换为可控标准型系统.
Ax bu 定理:线性定常单输入系统 x
可控,则 x P 1 x
, 使其状态方程化为
Ax bu 可控标准型 x
p1 pA P 1 n 1 p A 1
线性定常连续系统状态完全可控的条件
【例】判别下列系统的状态可控性。
7 0 0 2 （1） 0 5 0 x 5 u x 0 0 1 7
（2）
7 0 0 0 0 5 0 x 5 u x 0 0 1 7
当A 为约当阵且相同特征根分布在一个约当块内时,
输入矩阵B中与约当块最后一行不全为零中对应的行， （当相同特征根分布在两个或两个以上约当块中不适用）。 两个或两个以上约当块中不适用）
例题
（1）
线性定常连续系统状态完全可控的条件
【例】判别下列系统的状态可控性。
4 1 0 x x u 0 4 2
1.可控标准型系统一定可控
A x bu 定理：线性定常单输入系统 定理 线性定常单输入系统 x
若系统可控，则
x P 1 x
Ax bu , 使其状态方程化为可控标准型x
a i ( i 0 , , n 1 )为 I A n a n 1 n 1 a 1 a 0 各项系数
n 1
a1 a 0
则A满足特征方程
f (A) A
证明 证明:
n
a n 1 A
n 1
a1 A a 0 I 0
Ax Bu x x (t ) (t to ) x (t0 )
tf t0
x ( t 0 ) ( t 0 )Bu ( )d
Qc b 1 1 Ab 1 2
ran k Q c 2 ，故系统是可控的。