13
h1 H h2
5 2h1 0 0 A BHC 1 0 h 2 h 1 1 2 h2 3 0 1
闭环特征多项式是
sI (A BHC) = s3 + (3+h2)s2 +(h12h2+1) s (5+2h1)
1 0 A 2 3 0 B 1 C 2 0
令观测器的反馈矩阵为
g1 G g2
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sI ( A GC )
s 2 g1 2 2g2
1 s3
s 2 (3 2 g1 ) s (6 g1 2 g 2 1)
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例4-11 已知系统的状态空间表达式为
0 0 5 A 1 0 1 0 1 3 2 0 B 1 2 1 0 C 0 0 1
设计输出反馈阵H，使闭环系统渐近稳定。 解： 利用能观测标准形可以判定原系统是能观测的。 列出原系统的特征多项式为 sI A = s3 + 3s2 + s 5 显然系统是不稳定的。 采用输出至输入的反馈控制，设u = r Hy，并设输 出反馈阵为
9
(1) 闭环系统的极点具有分离特性，即闭环极 点是由观测器的极点和直接状态反馈闭环系统的 极点组成的，并且两者是相互独立的。设计时可 分别独立进行。 (2) 闭环系统的传递矩阵具有不变性，也就是 说总的闭环传递矩阵等于直接状态反馈闭环系统 的传递矩阵。 (3) 带观测器的状态反馈系统，只有当t， 即进入稳态时，才会与直接状态反馈系统完全等 价。 (4) 带观测器的闭环系统一定是不能控但能观 测的。
而希望的特征多项式为 (s + 10) (s +10) = s2 +20s + 100 g1=8.5 g2 = 23.5
所以全维状态观测器为
ˆ ( A GC ) x ˆ Bu Gy x 17 1 0 8.5 ˆ u x y 49 3 1 23.5
⑶ 状态观测器极点可任意配置的充要条件是受
控系统是完全能观测的。
7
4. 带观测器的状态反馈闭环系统的性质
r u
B
∫
A G
x
C
y
B
∫
A K
^ x
C
^ y
8
A x BK x B r ˆ GC A GC BK x ˆ B x y C 0 x x ˆ A BK x ˆ 0 x x y C 0 x x x ˆ BK x B r ˆ 0 A GC x x
现代控制理论
第 4章 小 结
1. 状态反馈与极点配置
r u B x y
∫
A
C
K
K[(A BK),B,C]
2
(1) 状态反馈不改变受控系统(A，B，C)的能 控性，但却不一定保持系统的能观测性。 (2) 用状态反馈实现闭环极点任意配置的充要 条件是被控系统能控。 (3) 状态反馈不改变系统的零点，只改变系统 的极点。 (4) 当受控系统不完全能控时，状态反馈只能 任意配置系统能控部分的极点，而不能改变不能 控部分的极点。
5Leabharlann 3. 状态观测器u ( A, Ｂ, C ) y
G B 状态观测器
∫
A
^ x
C
^ y
^ x
ˆ Ax ˆ G( y y ˆ ) Bu ( A GC) x ˆ Bu Gy x
6
⑴ 状态观测器的任务是实现状态估计，结构
是渐近观测器，即当t 时， x ˆx 。 ⑵ 状态观测器存在的充要条件是受控系统其不 能观测的部分是渐近稳定的。
x 0 u x 0 0 1 0 2 3 1 y 10 0 0x
11
希望的特征多项式为
(s+2) (s+1+j) (s+1j) = s3 + 4s2 + 6s + 4 原系统的特征多项式为 s (s+1) (s+2) = s3 + 3s2 + 2s 令 K = [ k 1 k 2 k 3] K = [a3*a3 a2*a2 a1*a1 ] = [ 4 0 6 2 4 3]
3
2. 输出反馈与极点配置
r u B
∫
A
x
C
y
K[(A BHC),B,C]
H u
B
∫
A H
x
C
y
K[(A HC),B,C]
4
⑴ 用输出至状态微分的反馈可任意配置闭环极 点的充要条件是被控系统完全能观测。 ⑵ 用输出至状态微分的反馈保持系统的能观测 性，但不一定能保持系统的能控性。也不改变系统 的闭环零点。 ⑶ 用输出至参考输入的反馈不能实现任意的极 点配置。若要任意配置闭环极点必须串联补偿器。 这类输出反馈，可保持系统的能控性和能观测性不 变。
显然系统是不稳定的。
不管怎样选择h1和h2，都不能使闭环特征多项式的
三个系数为任意值，所以采用输出至输入的反馈控
制不能任意配置闭环极点。
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例4-15 设受控系统的传递函数为
Y (s) 2 U ( s) ( s 1)(s 2)
设计全维状态观测器，将其极点配置在10，10 。 解： ⑴ 由传递函数可知，该系统是能控且能观 的，建立其能控标准型实现 ：
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例4-10 已知线性定常系统的传递函数为 欲将闭环极点配置在s1= 2，s2 = 1+j，s3= 1j， 试确定状态反馈阵K。
10 G( s) s( s 1)(s 2)
解：因为给定系统的传递函数无零极点相消，所 以给定系统为能控的，能够通过状态反馈将闭环极点 配置在希望的位置上。由给定的传递函数可写出相应 的能控标准形 0 0 1 0