第四章 线性系统的可控性和可观性§4-1 问题的提出经典控制理论中用传递函数描述系统的输入—输出特性，输出量即被控量，只要系统是因果系统并且是稳定的，输出量便可以受控，且输出量总是可以被测量的，因而不需要提出可控性和可观性的概念。
现代控制理论是建立在用状态空间法描述系统的基础上的。
状态方程描述输入)(t u 引起状态)(t x 的变化过程；输出方程描述由状态变化所引起的输出)(t y 的变化。
可控性和可观性正是定性地分别描述输入)(t u 对状态)(t x 的控制能力，输出)(t y 对状态)(t x 的反映能力。
它们分别回答：“输入能否控制状态的变化”——可控性“状态的变化能否由输出反映出来”——可观性可控性和可观性是卡尔曼（Kalman ）在1960年首先提出来的。
可控性和可观性的概念在现代控制理论中无论是理论上还是实践上都是非常重要的。
例如：在最优控制问题中，其任务是寻找输入)(t u ，使状态达到预期的轨线。
就定常系统而言，如果系统的状态不受控于输入)(t u ，当然就无法实现最优控制。
另外，为了改善系统的品质，在工程上常用状态变量作为反馈信息。
可是状态)(t x 的值通常是难以测取的，往往需要从测量到的)(t y 中估计出状态)(t x ；如果输出)(t y 不能完全反映系统的状态)(t x ，那么就无法实现对状态的估计。
状态空间表达式是对系统的一种完全的描述。
判别系统的可控性和可观性的主要依据就是状态空间表达式。
【例如】（1）u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=202001[]x y 01=分析：上述动态方程写成方程组形式：⎪⎩⎪⎨⎧=+==1221122xy u x x x x从状态方程来看，输入u 不能控制状态变量1x ，所以状态变量1x 是不可控的；从输出方程看，输出y 不能反映状态变量2x ，所以状态变量2x 是不能观测的。
即状态变量1x 不可控、可观测；状态变量2x 可控、不可观测。
（2）u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=112001[]x y 11=分析：上述动态方程写成方程组形式：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=2122112xx y u x x u x x由于状态变量1x 、2x 都受控于输入u ，所以系统是可控的；输出y 能反映状态变量1x ，又能反映状态变量2x 的变化，所以系统是可观测的。
即状态变量1x 可控、可观测；状态变量2x 可控、可观测。
（3）u x x⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111001 []x y 11=分析：上述动态方程写成方程组形式：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=212211xx y u x xu x x从状态方程看，输入u 能对状态变量1x 、2x 施加影响，似乎该系统的所有状态变量都是可控的；从输出方程看，输出y 能反映状态变量1x ，2x 的变化，似乎系统是可观测的。
实际上，这个系统的两个状态变量既不是完全可控的，也不是完全可观测的。
要解释和说明这一情况，就必须首先弄清楚可控性和可观性的严格定义及判别方法。
§4-2 线性定常连续系统的可控性一、线性定常连续系统状态可控性的定义定义4.1（状态可控性定义）：对于线性定常系统Bu Ax x+= ，如果存在一个分段连续的输入)(t u ，能在],[0f t t 有限时间间隔内，使得系统从某一初始状态)(0t x 转移到指定的任一终端状态)(f t x ，则称此状态是可控的。
若系统的所有状态都是可控的，则称此系统是状态完全可控的，简称系统是可控的。
关于可控性定义的说明：（1）上述定义可以在二阶系统的相平面上来说明。
假如相平面中的P 点能在输入的作用下转移到任一指定状态n P P P ,,,21 ，那么相平面上的P 点是可控状态。
假如可控状态“充满”整个状态空间，即对于任意初始状态都能找到相应的控制输入)(t u ，使得在有限时间间隔内，将此状态转移到状态空间中的任一指定状态，则该系统称为状态完全可控。
（2）在可控性定义中，把系统的初始状态取为状态空间中的任意有限点)(0t x ，而终端状态也规定为状态空间中的任意点)(f t x ，这种定义方式不便于写成解析形式。
为了便于数学处理，而又不失一般性，我们把上面的可控性定义分两种情况叙述：①把系统的初始状态规定为状态空间中的任意非零点，而终端目标规定为状态空间中的原点。
于是原可控性定义可表述为：对于给定的线性定常系统Bu Ax x+= ，如果存在一个分段连续的输入)(t u ，能在1可控状态的图形说明],[0f t t 有限时间间隔内，将系统由任意非零初始状态)(0t x 转移到零状态)(f t x ，则称此系统是状态完全可控的，简称系统是可控的。
②把系统的初始状态规定为状态空间的原点，即0)(0=t x ，终端状态规定为任意非零有限点，则可达定义表述如下：对于给定的线性定常系统Bu Ax x+= ，如果存在一个分段连续的输入)(t u ，能在],[0f t t 有限时间间隔内，将系统由零初始状态)(0t x 转移到任一指定的非零终端状态)(f t x ，则称此系统是状态完全可达的，简称系统是可达的（能达的）。
二、可控性的判别准则定理4.1：（可控性秩判据）对于n 阶线性定常系统Bu Ax x+= ，其系统状态完全可控的充分必要条件是：由A 、B 构成的可控性判别矩阵][12B A B A AB B Q n c-= 满秩，即n rankQ c =其中，n 为该系统的维数。
【例4.2.1】判别下列状态方程的可控性。
（1）u x x⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=011012 （2）u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111001 （3）u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=100110 （4）u x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100110110010011 对于线性定常系统，可控性和可达性是等价的；在以后对可控性的讨论中，均规定目标状态为状态空间中的原点，并且我们所关心的，只是是否存在某个分段连续的输入)(t u ，能否把任意初始状态转移到零状态，并不要求算出具体的输入和状态轨线。
解：（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==0021][AB BQ c ，n rankQ c <=1，∴系统不可控。
（2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡==1111][AB BQ c ，n rankQ c <=1，∴系统不可控。
（3）⎥⎦⎤⎢⎣⎡==0110][AB BQ c ，n rankQ c ==2，∴系统可控。
（4）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==121110010101121110][2B A ABBQ c ，n rankQ c <=2，∴系统不可控。
定理4.2：设线性定常系统Bu Ax x+= ，具有互不相同的实特征值，则其状态完全可控的充分必要条件是：系统经非奇异变换后的对角标准型u B x x n +⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=λλ001中，B 阵不存在全零行。
【例4.2.2】判别下列系统的状态可控性。
（1）u x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=752100050007 （2）u x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=750100050007 （3）u x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=570410100050007 （4）u x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=570010100050007 解：（1）状态方程为对角标准型，B 阵中不含有元素全为零的行，故系统是可控的。
（2）状态方程为对角标准型，B 阵中含有元素全为零的行，故系统是不可控的。
（3）系统可控。
（4）系统不可控。
【例4.2.3】判别下列系统的状态可控性。
u x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111200020002 解：在应用定理4.2这个判别准则时，应注意到“特征值互不相同”这个条件，如果特征值不是互不相同的，即对角阵A 中含有相同元素时，上述判据不适用。
应根据定理4.1的秩判据来判断。
对于本题： ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==421421421][2B A ABBQ c ，31<=c rankQ ，即系统是不可控的。
定理4.3：若线性定常系统Bu Ax x+= ，具有重实特征值，且每一个重特征值只对应一个独立特征向量，则系统状态完全可控的充分必要条件是：系统经非奇异变换后的约当标准型u B x J J x k +⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=001中，每个约当小块i J （k i ,,2,1 =）最后一行所对应的B 阵中的各行元素不全为零。
【例4.2.4】判别下列系统的状态可控性。
（1）u x x⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=204014 （2）u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=024014 （3）u x x⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=020010003013004014 （4）u x x⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=10020********04014 （5）u x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=010********* （6）u x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=110200020012解：（1）系统是可控的。
（2）系统是不可控的。
（3）系统是可控的。
（4）系统是不可控的。
（5）系统是不可控的。
（6）系统不可控（注意定理4 .3中“且每一个重特征值只对应一个独立特征向量”这一关键点）。
当不满足定理4.3中的条件时，应使用秩判据。
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==421421410][2B A ABBQ c ，32<=c rankQ ，即系统是不可控的。
§4-3 线性定常离散系统的可控性定义4.2（离散系统的可控性定义）：对于n 阶线性定常离散系统)()()1(k Hu k Gx k x +=+，若存在控制作用序列{})1(,),1(),0(-n u u u ，在有限时间间隔],0[nT t ∈内，能使系统从任意非零初始状态)0(x 经有限步转移到零状态，即0)(=nT x ，则称此系统是状态完全可控的，简称系统是可控的。
【例4.3.1】设离散系统的状态方程为)(100)(101201111)1(k u k x k x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=+ 试分析能否找到控制作用 ),1(),0(u u ，将初始状态Tx ]112[)0(=转移到零状态。
解：利用递推法：0=k )0()0()1(hu Gx x +=)0(100300)0(100112101201111u u ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--= 为检验该系统能否在第一步由)0(x 转移到零状态，对上式令0)1(=x ，若能够解出)0(u ，则表示在第一步上就可以把给定初始状态转移到零状态，且控制作用为)0(u 。