全国百校名师联盟2018-2019学年高二月考领航卷数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知函数()()22x f x x x e =-，则这个函数的导函数为（ ） A ．()()'221x f x x x e =-+ B ．()()'221x f x x x e =-+ C ．()()'22x f x x e =-D ．()()'21x f x x x e =+-2.函数()f x =1到a 的平均变化率为14，则实数a 的值为（ ） A ．10 B ．9 C ．8 D ．7 3.函数()213ln 42f x x x x =-+的递增区间为（ ） A ．()0,1，()3,+∞ B ．()1,3 C ．(),1-∞，()3,+∞ D ．()3,+∞4.已知函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则'3f π⎛⎫⎪⎝⎭等于（ ）A ．2C.12 D ．15.曲线1y x =与直线230x y +-=所围成图形的面积为（ ） A ．12ln 24-- B ．1ln 24- C.1ln 22+ D ．3ln 24-6.若点P 为曲线()321213f x x x x =-+-上任意一点，且曲线()f x 在点P 处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围为（ ） A ．04πθ<≤B ．42ππθ≤<C.4πθπ≤< D ．344ππθ≤≤7.已知()'f x 的图象如图所示，其中()'f x 是()f x 的导函数，则下列关于函数()f x 说法正确的是（ ）A ．仅有2个极值点，一个是极大值点，一个是极小值点B ．因为()'0f x =有四个根，故函数()f x 有四个极值点 C.有2个极大值点，3个极小值点 D ．没有极值8.若函数()2ln x f x x=在区间()0,m 上递减，则m 的取值范围为（ ）A ．m e ≥B ．0m e <≤ C.m ≥ D ．0m <≤9.已知直线2y kx =+与曲线ln y x =相切，则k 的值为（ ） A ．31e B ．1eC.1 D ．e 10.若0x ∀>，2332a ax x ≥-恒成立，则正数a 的取值范围为（ ） A ．02a <≤ B ．102a <≤C.01a <≤ D ．1a ≥ 11.定义在R 上的函数()f x 满足()'f x x <，且()11f =，则不等式()21420f x x +-<的解集为（ ）A ．(),1-∞B ．()1,+∞ C.(),0-∞ D ．()0,+∞12.在直角ABC ∆中，AC BC ⊥，3BC =，5AB =，点D 、E 分别在AC 、AB 边上，且//DE BC ，沿着DE 将ADE ∆折起到'A DE ∆的位置，使得平面'A DE ∆与平面BCDE 所成二面角的平面角为60（其中点'A 为点A 翻折后对应的点），则四棱锥'A BCDE -的体积的最大值为（ ）A B ．83 C.43 D 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知函数()()'212x f x f e ex x =+-，则()'1f = ．14.将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同的产品，需要对原油进行冷却和加热.若在第h x 时，原油的温度（单位：o C ）为()()251306f x x x x =-+≤≤，则在第2h 时，原油温度的瞬时变化率为 o C /h ．15.已知函数()()21,xax bx f x a b R e-+=∈在区间()1,1-上是减函数，则22a b +的最小值是 ．16.若函数()()32231210f x x x x a a R =--+-∈在()2,4-上有2个零点，则a 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知函数()()()2111f x x x =-++. （1）求函数()f x 的导函数()'f x ；（2）求过点()1,1且与曲线()y f x =相切的直线方程.18. 已知函数()()24ln ,f x ax bx x a b R =+-∈在1x =处有极值3a ，求实数a 、b 的值. 19. 已知函数()(),ax f x xe c a c R =+∈，且1x =-为函数()y f x =的极值点. （1）求实数a 的值；（2）若当[]2,0x ∈-时，存在实数x 使得不等式()26f x c +>成立，求实数c 的取值范围. 20. 已知函数()()()32223161f x ax a a x a x R =-+++∈. （1）讨论函数()y f x =的单调性；（2）当0a <时，求函数()y f x =在区间[]1,1-的最值.21. 如图所示，有A 、B 、C 三座城市，A 城在C 城的正西方向，且两座城市之间的距离为100km ；B 城在C 城的正北方向，且两座城市之间的距离为100km .由A 城到B 城只有一条公路AC ，甲有急事要从A 城赶到B 城，现甲先从A 城沿公路AC 步行到点P （不包括A 、B 两点）处，然后从点P 处开始沿山路BP 赶往B 城.若甲在公路上步行速度为每小时6km ，在山路上步行速度为每小时3km ，设BPC θ∠=（单位：弧度），甲从A 城赶往B 城所花的时间为()f θ（单位：km /h ）.（1）求函数()y f θ=的表达式，并求函数的定义域；（2）当点P 在公路AC 上何处时，甲从A 城到达B 城所花的时间最少，并求所花的最少的时间的值.22. 已知函数()()32ln f x x x ax a R =--∈.（1）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与圆()2221x y -+=相切，求a 的值；（2）若函数()f x 在()1,2上存在极值，求a 的取值范围； （3）若函数()y f x =有两个零点，求a 的取值范围.全国百校名师联盟2018-2019学年高二月考领航卷数学（理）试题答案一、选择题1-5:CBADD 6-10: BADAC 11、12：BB 二、填空题13.2- 14.1- 15. 11316.[){}14,303三、解答题17.解：（1）()()()'22121321f x x x x x x =++-=-+. （2）由()32f x x x x =-+，设切点的坐标为()00,x y则所求切线方程为：()()()322000000321y x x x x x x x --+=-+- 将点()1,1的坐标代入上述方程可得：()()()3220000013211x x x x x x --+=-+-， 整理为：3200020x x x -+=，解得：00x =，或01x =将00x =或01x =代入切线方程，可求得切线方程为：y x =和21y x =-. 18.解：由()'42f x ax b x=+-，有()'1240f a b =+-=，可得24a b += 由()13f a b a =+=，联立上述两方程消去b 得：34a a +=，当0a ≥时可得：1a =，此时2b =； 当0a <时可得2a =-，此时8b =①当12a b =⎧⎨=⎩时，()224ln f x x x x =+-，()()()()2'22212422x x x x f x x x x x +--+=+-==， 故当1x =时函数()y f x =有极小值.②当28a b =-⎧⎨=⎩时，()2284ln f x x x x =-+-，()()()22'421414480x x x f x x x x x -+-=-+-==-≤，故函数()y f x =单调递减，没有极值.由上知12a b =⎧⎨=⎩.19.解：（1）()()'1ax ax ax f x e axe ax e =+=+， 由()'10f -=得()10a a e --=，解得：1a =，（2）由（1）知()()'1x f x x e =+，令()'0f x >可得1x >-，故当1x >-时函数()f x 单调递增；当1x <-时函数()f x 单调递减. 由()0f c =，()222f c e-=-+，故有()()02f f >-，则()()max 0f x f c ==. 由存在实数20x -≤≤使得不等式成立，可得：26c c +>，解得：23c -<<.20.解：（1）令()()()()()'22266166161f x ax a a x a a x a x a a x a x ⎡⎤=-++=-++=--⎣⎦，①当0a =时，()1f x =，()f x 为常数函数，则()f x 在R 上没有单调性. ②当1a =时，()()2'610f x x =-≥，故函数()f x 在R 上单调递增.③当01a <<时，令()'0f x >可得：1x >或x a <，则()f x 在(),1a 上递减，在(),a -∞，()1,+∞上递增.④当1a >时，令()'0f x >可得：x a >或1x <，则()f x 在()1,a 上递减，在(),1-∞，(),a +∞上递增.⑤当0a <时，令()'0f x >可得：1a x <<，故()f x 在(),1a 上递增，在(),a -∞，()1,+∞上递减. （2）①当1a ≤-时，由（1）知函数()y f x =在区间[]1,1-上单调递增，故()()()22max 12316131f x f a a a a a a ==-+++=-+，()()()22min 123161951f x f a a a a a a =-=--+-+=--+.②当10a -<<时，由（1）知函数()y f x =区间[]1,a -上单调递减，在区间(],1a 上单调递增；故 ()()()43343min 2316131f x f a a a a a a a ==-+++=-++，由()()()()()2221131951124431f f a a a a a a a a --=-+---+=+=+，故当113a -<≤-时，()()2max 131f x f a a ==-+；当103a -<<时，()()2max 1951f x f a a =-=--+；21.解：（1）在Rt PBC ∆中，100sin sin BC BP θθ==，100tan tan BC CP θθ==， 故()11001100502150502cos 50100636tan 3sin 3sin tan 33sin 3AP BP f θθθθθθθ-⎛⎫⎛⎫=+=-+⨯=-+=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由图知4BAC π∠=，2BCA π∠=，故函数()y f θ=的定义域为,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭（2）令()2cos sin 42g θππθθθ-⎛⎫=<< ⎪⎝⎭则()()2'22sin 2cos cos 12cos sin sin g θθθθθθθ---==.令()'0g θ>，可得1cos 2θ<，由42ππθ<<可解得32ππθ<<. 故函数()y g θ=的增区间为,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，减区间为,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭故当3πθ=时，函数()min 123g g πθ-⎛⎫=== ⎪⎝⎭故点P所在的位置为PC =处，甲所花最短时间为)5013.22.解：（1）∵()'223f x x a x=--，由()11f a =-，()'11f a =-，故曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为：()()()111y a a x --=--，整理为：()1y a x =- 由切线与圆()2221x y -+=1=，解得：1a =（2）∵()'223f x x a x=--为()0,+∞上的增函数， ∴()()''10,20,f f ⎧<⎪⎨>⎪⎩即10,110,a a -<⎧⎨->⎩解得：111a <<. （3）由()3'22323x ax f x x a x x--=--=，当0x >时由函数323y x a x =--为增函数，则函数()y f x =若存在零点，有且仅有一个，令()332g x x ax =--.①当1a =时，()3'32x x f x x--=，令()()3320h x x x x =-->，由()'2910h x x =->有13x >故当13x >时函数()h x 单调递增，当103x <<单调递减，又由()10h =，()02h =-，11120393h ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭可知当01x <<时()'0f x <，此时函数()f x 单调递减；当1x >时()'0f x >，此时函数()f x 单调递增，故()()min 10f x f ==，此时函数()y f x =有且只有一个零点.②当1a <时，由()110g a =->，()02g =-，故方程()0g x =在区间()0,1上有解.③当1a >时，由()02g =-，()()()()()323323232212110g a a a a a a a a a =--=-+-=-+->，故方程()0g x =在区间()0,a 上有解由上知当1a ≠时函数()y f x =有唯一的极小值点，记为0x x =，有300320x ax --=，可得30032ax x =-要使得函数()y f x =有两个零点，至少需要()()33330000000002ln 2ln 3222ln 20f x x x ax x x x x x =--=---=--+<，可得300ln 1x x +>由函数()3ln l x x x =+单调递增，且()11l =，可得：01x >，由20023a x x =-，可得1a > 由上知当1a >时，()()00f x f x =<极小值，且01x >，而()302222200000000212132x a x x x x x x x x x -⎛⎫=-=+-=+>> ⎪⎝⎭，由常用不等式1x e x ≥+，可知a e a >，故()()()()()33222221210a a a a a a a a a af e e a ae e e ae e a e a a e a e ⎡⎤=-->--=-+≥+-+=->⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 又101a e a-<<<， 故()()()3332322121210a a a a a a a a af e e a a e e a e a e e ae e ------⎡⎤=+-⋅=+⋅-⋅=+->⎣⎦，故此时函数()y f x =有且仅有两个零点. 由上知a 的取值范围为1a >.。