2021年高二2月月考数学理试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）.1．（5分）在直角坐标系xOy中，在y轴上截距为﹣1且倾斜角为的直线方程为（）A．x+y+1=0B．x+y﹣1=0C．x﹣y+1=0D．x﹣y﹣1=0考点：直线的斜截式方程．专题：计算题；直线与圆．分析：由直线的倾斜角可求直线的斜率，根据直线方程的斜截式可求直线方程解答：解：由题意可得，直线的斜率k=﹣1根据直线方程的截距式可知所求的直线方程为y=﹣x﹣1即x+y+1=0 故选A点评：本题主要考查了直线方程的斜截式的简单应用，属于基础试题2．（5分）已知向量=（﹣1，2，1），=（3，x，y），且∥，那么实数x+y等于（）A．3B．﹣3 C．9D．﹣9考点：共线向量与共面向量．专题：计算题；空间向量及应用．分析：由=（﹣1，2，1），=（3，x，y），且∥，知，由此能求出实数x+y的值．解答：解：∵=（﹣1，2，1），=（3，x，y），且∥，∴，解得x=﹣6，y=﹣3，∴实数x+y=﹣6﹣3=﹣9．故选D．点评：本题考查共线向量的性质和应用，解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化，是基础题．3．（5分）已知一个正方体的八个顶点都在一个球的表面上，若此正方体的棱长为2，那么这个球的表面积是（）A．24πB．12πC．8πD．6π考点：球的体积和表面积．专题：计算题．分析：一个棱长为2的正方体的八个顶点都在球O的球面上，球是正方体的外接球，球的直径是正方体的体对角线，勾股定理可得体的对角线，得到球的直径，求出球的表面积．解答：解：∵一个棱长为2的正方体的八个顶点都在球O的球面上，∴球是正方体的外接球，球的直径是正方体的体对角线，有勾股定理可得体的对角线是=2，∴球的半径是，球的表面积是4π（）2=12π，故选B．点评：本题考查球的内接多面体，是一个空间组合体的问题，解题的关键是找出两个几何体之间的关系，数量的关系．4．（5分）若椭圆的离心率为，则实数m等于（）A．3B．1或3 C．3或D．1或考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：对m分0＜m＜4与m＞4两类讨论，利用椭圆的简单性质即可求得m的值．解答：解：∵椭圆的方程为：+=1（m＞0），∴若0＜m＜4，则椭圆的焦点在x轴，e2==，解得m=3；若m＞4，则椭圆的焦点在y轴，e2==，解得m=．综上所述，m=3或m=．故选C．点评：本题考查椭圆的简单性质，考查转化思想与分类讨论思想，考查运算能力，属于中档题．5．（5分）已知直线a和两个平面α，β，给出下列两个命题：命题p：若a∥α，a⊥β，则α⊥β；命题q：若a∥α，a∥β，则α∥β；那么下列判断正确的是（）A．p为假B．￢q为假C．p∧q为真D．p∨q为真考点：复合命题的真假；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：根据面面垂直的判定定理判断命题P是否为真命题；利用平行与同一直线的两平面的位置关系来判断命题q的真假；再根据复合命题的真值表判断即可．解答：解：∵a∥α，过a作平面γ，α∩γ=b，∴a∥b，∵a⊥β，∴b⊥β，∴α⊥β，命题P为真命题；∵a∥α，a∥β，α与β的位置关系是平行或相交，∴命题q为假命题；根据复合命题的真值表，A、B、C错误，D正确故选D点评：本题借助考查真假命题的判定，考查空间平面与平面的平行与垂直．6．（5分）双曲线的离心率为，则a的值是（）A．B．2C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：由双曲线的离心率为，知，由此能求出a．解答：解：∵双曲线的离心率为，∴，解得a=．故选D．点评：本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．7．（5分）已知数列{a n}满足a n=n•2n，则其前n项和是（）A．（n﹣1）2n+1﹣2 B．（n﹣1）2n+1+2 C．（n﹣1）2n﹣2 D．（n﹣1）2n+2考点：数列的求和．专题：计算题．分析：设其前n项和为S n，S n=1•21+2•22+…+n•2n，可以用特值法排除，也可以利用错位相减法即可求得S n．解答：解：∵a n=n•2n，设其前n项和为S n，当n=1时，a1=S1=2，可排除A，C；当n=2时，a2=2×22=8，S2=a1+a2=10，排除D；故选B．点评：本题考查数列的求和，考查特值法的应用，也可利用错位相减法，属于中档题．8．（5分）直线y=x+1被椭圆x2+2y2=4所截得的弦的中点坐标是（）A．（）B．（﹣，）C．（，﹣）D．（﹣，）考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：将直线y=x+1代入椭圆x2+2y2=4中，利用韦达定理及中点坐标公式，即可求得结论．解答：解：将直线y=x+1代入椭圆x2+2y2=4中，得x2+2（x+1）2=4 ∴3x2+4x﹣2=0∴弦的中点横坐标是x==﹣，代入直线方程中，得y=∴弦的中点是（﹣，）故选B．点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于基础题．9．（5分）以正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点O，如图，建立空间直角坐标系，则与共线的向量的坐标可以是（）A．B．C．D．考点：向量在几何中的应用；棱柱的结构特征．专题：计算题．分析：设正方体的棱长为：1，由图形可知，B1点在正方体的上底面上，B1点的纵标同C的纵标相同，B1在面A1B1C1D1上，得到点的竖标为1，根据B1点在棱上的位置，写出B1点的横标，从而得到的B1坐标，最后写出向量的坐标及与共线的向量的坐标即可．解答：解：由图形可知，B1点在正方体的上底面上，设正方体的棱长为：1，∴B1点的坐标是（1，1，1）则与共线的向量的坐标可以是故选C．点评：本题考查共线向量、空间中点的坐标，是一个基础题，解题时借助于点在正方体的一条棱上，写出横标，纵标和竖标，注意各个坐标的符号．10．（5分）（xx•开封二模）数列{a n}满足a1，a2﹣a1，a3﹣a2，…，a n﹣a n﹣1是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n=（）A．2n﹣1 B．2n﹣1﹣1 C．2n+1 D．4n﹣1考等差数列的通项公式．分析：a n是等比数列{a n﹣a n﹣1}的前n项和，利用等比数列的前n项公式可得a n．解答：解：a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1==2n﹣1 故选A．点评：本题关键在于观察出所给等比数列，与a n有什么关系，观察出来，此题迎刃而解．11．（5分）已知变量x，y满足，则2x+y的最大值为（）A．B．8C．16 D．64考点：简单线性规划．专题：计算题．分析：先根据约束条件画出可行域，欲求z=2x+y的最大值，即要求z1=x+y的最大值，再利用几何意义求最值，分析可得z1=x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．解答：解：作图易知可行域为一个三角形，验证知在点A（1，2）时，z1=x+y取得最大值3，∴z最大是23=8，故选B．点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．12．（5分）（xx•浙江）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点A作斜率为﹣1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B、C．若=，则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．考直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：分别表示出直线l和两个渐进线的交点，进而表示出和，进而根据=求得a和b的关系，进而根据c2﹣a2=b2，求得a和c的关系，则离心率可得．解答：解：直线l：y=﹣x+a与渐近线l1：bx﹣ay=0交于B（，），l与渐近线l2：bx+ay=0交于C（，），A（a，0），∴=（﹣，），=（，﹣），∵=，∴=，b=2a，∴c2﹣a2=4a2，∴e2==5，∴e=，故选C．点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．要求学生有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填在题中横线上）13．（5分）设，则为．考点：微积分基本定理．专题：计算题．分析：运用微积分基本定理和定积分的运算律计算即可．解答：解：=+=﹣cosx+x =．故答案为：．点评：本题主要考查了定积分，运用微积分基本定理计算定积分．属于基础题．14．（5分）已知A（4，1，3），B（2，3，1），C（3，7，﹣5），点P（x，﹣1，3）在平面ABC内，则x=11．考点：空间点、线、面的位置．专题：计算题．分析：本题利用共面定理可以解答，即若空间中四点P，A，B，C，满足，则此四点共面，于是本题可以代入点的坐标，列方程组求解．解答：解：由共面向量定理，可设，其中x，y∈R，于是代入点的坐标有：（x﹣4，﹣2，0）=y（﹣2，2，﹣2）+z（﹣1，6，﹣8），得方程组：得故答案为：11点评：本题考查了空间向量的坐标运算，共面向量定理的应用，空间向量的坐标运算等知识内容，考查了向量相等的性质．15．（5分）直线y=kx﹣2与抛物线y2=8x交于A、B两点，且AB中点的横坐标为2，则k 的值为2．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；中点坐标公式．专题：计算题．分析：直线y=kx﹣2与抛物线y2=8x交于两点，k≠0．由，得k2x2﹣4kx﹣8x+4=0，．而A、B中点的横坐标为2，由中点坐标公式能求出k．解答：解：∵直线y=kx﹣2与抛物线y2=8x交于两点，∴k≠0．由，得k2x2﹣4kx﹣8x+4=0，∴．而A、B中点的横坐标为2，∴，解得k=﹣1或k=2．而当k=﹣1时，方程k2x2﹣4kx﹣8x+4=0只有一个解，即A、B两点重合，∴k≠﹣1．∴k=2．故答案为：2．点评：本题考直线和抛物线的位置关系的应用，解题时要注意韦达定理和中点坐标公式的合理运用．16．（5分）双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率e=．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：将x=c代入双曲线方程求出点M的坐标，通过解直角三角形列出三参数a，b，c的关系，求出离心率的值．解答：解：将x=c代入双曲线的方程得y=即M（c，）在△MF1F2中tan30°=即解得故答案为：点评：本题考查双曲线中三参数的关系：c2=a2+b2，注意与椭圆中三参数关系的区别；求圆锥曲线的离心率就是求三参数的关系．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知．（I）求边a的长；（II）求的值．考点：解三角形；三角函数的恒等变换及化简求值．专题：计算题．分析：（I）在三角形中，应用正弦定理写出关系式，根据sin（B+C）=2sinB及B+C=π﹣A 得sinA=2sinB，表示出a得到结果．（II）根据余弦定理做出角B的余弦值，是一个正数，得到这个角是一个锐角，根据两个角之间的关系求出正弦值，再把要求的式子用两角之和的余弦公式展开，得到结果．解答：解：（I）在△ABC中，由正弦定理得．由sin（B+C）=2sinB及B+C=π﹣A得sinA=2sinB．∴．（II）在△ABC中，由余弦定理得．∴．∴．点评：本题考查解三角形的问题和三角函数的恒等变形，是一个基础题，解题的关键是正弦定理和余弦定理的综合应用，注意角的范围的分析．18．（12分）已知命题p：关于x的不等式x2+（a﹣1）x+1≤0的解集为空集∅；命题q：函数f（x）=ax2+ax+1没有零点，若命题p∧q为假命题，p∨q为真命题，求实数a的取值范围．考点：复合命题的真假．专计算题．题：分析：对于命题p：x2+（a﹣1）x+1≤0的解集为空集，△=b2﹣4ac=（a﹣1）2﹣4＜0，解得﹣1＜a＜3；对于命题q：f（x）=ax2+ax+1没有零点等价于方程ax2+ax+1=0没有实数根，由此进行分类讨论，能求出a的取值范围．解答：解：对于命题p：∵x2+（a﹣1）x+1≤0的解集为空集∴△=b2﹣4ac=（a﹣1）2﹣4＜0，解得﹣1＜a＜3（4分）对于命题q：f（x）=ax2+ax+1没有零点等价于方程ax2+ax+1=0没有实数根①当a=0时，方程无实根符合题意②当a≠0时，△=a2﹣4a＜0解得0＜a＜4∴0≤a＜4（8分）由命题p∧q为假命题，p∨q为真命题可知，命题p与命题q有且只有一个为真如图所示所以a的取值范围为（﹣1，0）∪[3，4）（12分）点评：本题考查复合命题真假判断的应用，解题时要注意不等式知识的灵活运用，合理地进行数形结合思想进行解题．19．（12分）抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为（，），求抛物线与双曲线方程．考点：抛物线的标准方程；双曲线的标准方程．专题：计算题．分析：首先根据抛物线的准线过双曲线的焦点，可得p=2c，再利用抛物线与双曲线同过交点（，），求出c、p的值，进而结合双曲线的性质a2+b2=c2，求解即可．解答：解：由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，∴p=2c．设抛物线方程为y2=4c•x，∵抛物线过点（，），∴6=4c•．∴c=1，故抛物线方程为y2=4x．又双曲线﹣=1过点（，），∴﹣=1．又a2+b2=c2=1，∴﹣=1．∴a2=或a2=9（舍）．∴b2=，故双曲线方程为：4x2﹣=1．点评：本题考查了抛物线和双曲线方程的求法：待定系数法，熟练掌握圆锥曲线的性质是解题的关键，同时考查了学生的基本运算能力与运算技巧．20．（12分）（xx•吉安二模）某食品厂进行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本20元，并且每公斤蘑菇的加工费为t元（t为常数，且2≤t≤5），设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为x元（25≤x≤40），根据市场调查，销售量q与e x成反比，当每公斤蘑菇的出厂价为30元时，日销售量为100公斤．（Ⅰ）求该工厂的每日利润y元与每公斤蘑菇的出厂价x元的函数关系式；（Ⅱ）若t=5，当每公斤蘑菇的出厂价x为多少元时，该工厂的利润y最大，并求最大值．考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题．分析：（I）由条件“日销售量与e x（e为自然对数的底数）成反比例”可设日销量为，根据日利润y=每件的利润×件数，建立函数关系式，注意实际问题自变量的范围．（II）先对函数进行求导，求出极值点，讨论极值是否在25≤x≤40范围内，利用单调性求出函数的最值．解答：解：（Ⅰ）设日销量，∴k=100e30，∴日销量∴．（Ⅱ）当t=5时，由y'≥0得x≤26，由y'≤0得x≥26∴y在[25，26]上单调递增，在[26，40]上单调递减．∴当x=26时，y max=100e4．当每公斤蘑菇的出厂价为26元时，该工厂的利润最大，最大值为100e4元．点评：解决实际问题的关键在于建立数学模型和目标函数，把“问题情境”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系抽象成数学问题，在数学领域寻找适当的方法解决，再返回到实际问题中加以说明．21．（12分）四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，底面ABCD为菱形，且有AB=1，，∠BAD=120°，E为PC中点．（Ⅰ）证明：AC⊥面BED；（Ⅱ）求二面角E﹣AB﹣C的平面角的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定．专题：计算题；证明题．分（I）因为菱形的对角线互相垂直，所以AC⊥BD，再由△PAC的中位线，得到EO∥PA，析：结合PA⊥面ABCD，所以EO⊥面ABCD，从而AC⊥EO．最后根据直线与平面垂直的判定定理，得到AC⊥面BED；（II）以A为原点，AD、AP所在直线分别为y轴、z轴，建立如图所示坐标系，则可得到A、B、C、E各点的坐标，从而得到向量、、的坐标，然后利用垂直向量数量积为零的方法，分别求出平面ABE和平面ABC的一个法向量，结合空间向量的夹角公式计算出它们的夹角的余弦值．最后根据题意，二面角E﹣AB﹣C是锐二面角，得到二面角E﹣AB﹣C平面角的余弦值为余两个法向量夹角余弦的绝对值．解答：解：（Ⅰ）设O为底面ABCD的中心，连接EO，∵底面ABCD为菱形，∴AC⊥BD∵△PAC中，E、O分别是PC、PA的中点∴EO∥PA又∵PA⊥面ABCD，∴EO⊥面ABCD∵AC⊂面ABCD，∴AC⊥EO又∵BD、EO是平面BED内的两条相交直线∴AC⊥面BED（6分）（Ⅱ）以A为原点，AD、AP所在直线分别为y轴、z轴，建立如图所示坐标系，则可得∴（8分）设是平面ABE一个法向量由，解得，所以取x1=1，，，可得，因为PA⊥平面ABC，所以向量即为平面ABC的一个法向量，设=（10分）∴根据题意可知：二面角E﹣AB﹣C是锐二面角，其余弦值等于|cos＜n1，n2＞|=∴二面角E﹣AB﹣C的平面角的余弦值为．（12分）点评：本题给出底面为菱形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥，证明线面垂直并且求二面角所成角的余弦之值，着重考查了线面垂直的判定与性质和用空间向量求平面间的夹角的知识点，属于中档题．22．（12分）在直角坐标系中，O为坐标原点，直线l经过点P（3，）及双曲线的右焦点F．（1）求直线l的方程；（2）如果一个椭圆经过点P，且以点F为它的一个焦点，求椭圆的标准方程；（3）若在（1）、（2）情形下，设直线l与椭圆的另一个交点为Q，且=λ，当||最小时，求λ的值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）确定双曲线的右焦点坐标，利用两点式，可求方程；（2）设出椭圆的标准方程，利用焦点坐标及点P在椭圆上，求出几何量，即可得到椭圆的标准方程；（3）直线方程，代入椭圆方程，求出Q的坐标，进而可的坐标，求模长，利用配方法求最值，即可得到结论．解答：解：（1）由题意双曲线的右焦点为F（2，0）∵直线l经过点P（3，），F（2，0）∴根据两点式，得所求直线l的方程为即y=（x﹣2）．∴直线l的方程是y=（x﹣2）．（2）设所求椭圆的标准方程为∵一个焦点为F（2，0）∴c=2，即a2﹣b2=4 ①∵点P（3，）在椭圆上，∴②由①②解得a2=12，b2=8所以所求椭圆的标准方程为；（3）由题意，直线方程代入椭圆方程可得x2﹣3x=0 ∴x=3或x=0∴y=或y=﹣2∴Q（0，﹣2）∴∴=λ=，∴=∴∴当λ=时，最小．点评：本题考查直线与椭圆的方程，考查向量知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。