至诚中学高二第二次月考数学试题
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题时间：
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合要求的．
1．在直角坐标系中，已知A (－1，2)，B (3，0)，那么线段AB 中点的坐标为( )． A ．(2，2)
B ．(1，1)
C ．(－2，－2)
D ．(－1，－1)
2．如果直线x ＋2y －1＝0和y ＝kx 互相平行，则实数k 的值为( )． A ．2
B ．2
1
C ．－2
D ．－2
1
3．一个球的体积和表面积在数值上相等，则该球半径的数值为( )． A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4．下面图形中是正方体展开图的是( )．
A
B
C
D
(第4题)
5．圆x 2＋y 2－2x －4y －4＝0的圆心坐标是( )． A ．(－2，4)
B ．(2，－4)
C ．(－1，2)
D ．(1，2)
6．直线y ＝2x ＋1关于y 轴对称的直线方程为( )． A ．y ＝－2x ＋1
B ．y ＝2x －1
C ．y ＝－2x －1
D ．y ＝－x －1
7．已知两条相交直线a ，b ，a ∥平面 α，则b 与 α 的位置关系是( )． A ．b ⊂平面α B ．b ⊥平面α
C ．b ∥平面α
D ．b 与平面α相交，或b ∥平面α
8．在空间中，a ，b 是不重合的直线，α，β是不重合的平面，则下列条件中可推出 a ∥b 的是( )． A ．a ⊂α，b ⊂β，α∥β B ．a ∥α，b ⊂β C ．a ⊥α，b ⊥α
D ．a ⊥α，b ⊂α
． 圆x 2＋y 2＝1和圆x 2＋y 2－6y ＋5＝0的位置关系是( )．
A ．外切
B ．内切
C ．外离
D ．内含
．如图，正方体ABCD —A'B'C'D'中，直线D'A 与 DB 所成的角可以表示为( )．
(第10题)
A ．∠D'D
B B ．∠AD' C'
C ．∠ADB
D ．∠DBC'
11． 圆(x －1)2＋(y －1)2＝2被x 轴截得的弦长等于 ( )．
A ． 1
B ．2
3
C ． 2
D ． 3
12．方程()0412
2
=-+-+y x y x 所表示的图形是（ ） A ．一条直线及一个圆 B ．两个点
C ．一条射线及一个圆
D ．两条射线及一个圆
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上． 13．坐标原点到直线4x ＋3y －12＝0的距离为 ．
14．以点A (2，0)为圆心，且经过点B (－1，1)的圆的方程是 ． 15．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱锥A 1——ABCD 的体积与长方体的体积之比为_______________． 16．过点（1，2），且在两坐标轴上截距相等的直线 方程
三、解答题：本大题共6小题，共74分．
17．（本小题12分）已知直线l 经过点(0，－2)，其倾斜角是60°． (1)求直线l 的方程；
(2)求直线l 与两坐标轴围成三角形的面积．
18．（本小题12分）如图是一个圆台形的纸篓（有底无盖），它的母线长为50cm ，两底面直径分别为40 cm 和30 cm(纸篓的底直径30cm)；现有制作这种纸篓的塑料制品50m 2，问最多可以做这种纸篓多少个？
19．（本小题14分）如图，在三棱锥P —ABC 中，PC ⊥底面ABC ， AB ⊥BC ，D ，E 分别是AB ，PB 的中点． (1)求证：DE ∥平面P AC ； (2)求证：AB ⊥PB ；
(3)若PC ＝BC ，求二面角P —AB —C 的大小．
20．（本小题12分）求经过直线L 1：3x + 4y – 5
= 0与直线
A B
C D D C
B 1
A 1
(第15题
A
C
P
B
D
E
(第20题)
L 2：2x – 3y + 8 = 0的交点M ，且满足下列条件的直线方程 （1）与直线2x + y + 5 = 0平行 ； （2）与直线2x + y + 5 = 0垂直；
21. （本小题12分）在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别是BB 1、
CD 的中点.
（1）.证明:;1F D AD ⊥
(2). 求AE 与D 1F 所成的角;
(3). 设AA 1=2,求点F 到平面A 1ED 1的距离.
22．（本小题12分）已知动点M 到点A （2，0）的距离是它到点
B （8，0）的距离的一半，
求：（1）动点M 的轨迹方程；
（2）若N 为线段AM 的中点，试求点N 的轨迹．
参考答案
一、选择题
1．B 2.D ．3．C 4．A 5．D 6．A 7．D 8．C
9．A 10．D 11.C. 12 D 二、填空题 13．
5
12
14 (x －2)2＋y 2＝10． 15． 1:3．
16．2,3y x y x ==-+
三、解答题
17．解：(1)因为直线l 的倾斜角的大小为60°,故其斜率为tan 60°＝3，又直线l 经过点(0，－2)，所以其方程为3x －y －2＝0． (2)由直线l 的方程知它在x 轴、y 轴上的截距分别是3
2，－2，所以直线l 与两坐标轴围
成三角形的面积S ＝2
1·
3
2·2＝
3
3
2．
F E
D 1 C 1 B 1 A 1
D
C
B
A
18．解：
)('
2'rl l r r S ++=π =)5020501515(2⨯+⨯+π
=0.1975)(2m π
≈=S
n 5080（个）
答：（略）
19．(1)证明：因为D ，E 分别是AB ，PB 的中点， 所以DE ∥P A ．
因为P A ⊂平面P AC ，且DE ⊄平面P AC ， 所以DE ∥平面P AC ．
(2)因为PC ⊥平面ABC ，且AB ⊂平面ABC ， 所以AB ⊥PC ．又因为AB ⊥BC ，且PC ∩BC ＝C ．
所以AB ⊥平面PBC ． 又因为PB ⊂平面PBC ，
所以AB ⊥PB ． (3)由(2)知，PB ⊥AB ，BC ⊥AB ，
所以，∠PBC 为二面角P —AB —C 的平面角． 因为PC ＝BC ，∠PCB ＝90°， 所以∠PBC ＝45°，
所以二面角P —AB —C 的大小为45°．
20．解：⎩⎨
⎧-=-=+832543y x y x 解得⎩⎨⎧=-=2
1
y x
所以交点（-1，2） （1）2-=k 直线方程为02=+y x
A
C
P
B
D
E
(第20题)
（2）2
1
=k
直线方程为052=+-y x
21证明：（1）. Θ 正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1, C C DD AD 11面⊥∴,C C DD F D 111面⊂,
(2) 取AB 的中点,并连接A 1P, 易证ABE AP A ∆≅∆1, 可证;AE P A ⊥1,
即F D AE 1⊥,所以AE 与D 1F 所成的角为.90︒
(3) 取CC 1中点Q, 连接EQ 11//EQ A D Q , ∴11A EQ D 平面即 平 面A 1ED 1 ，作1FH Q D ⊥,垂足为H. 又Θ111
1
1
,
,FH D Q FH FH QD A A D ⊥⊥
∴⊥平面E ,
所以FH 即为F 到平面FQD 1A 1的距离, 解得:,553
=FH
所以F 点到平面A 1ED 1的距离为.553
22．解：（1）设动点M （x ，y ）为轨迹上任意一点，则点M 的轨迹就是集合 P 1{|||||}2
M MA MB ==．
由两点距离公式，点
M 适合的条件可表示为
=
平方后再整理，得 2216x y +=． 可以验证，这就是动点M 的轨迹方程． （2）设动点N 的坐标为（x ，y ），M 的坐标是（x 1，y 1）．
由于A （2，0），且Ｎ为线段AM 的中点，所以 122x x +=
， 1
02
y y +=．所以有122x x =-，12y y = ① 由（1）题知，M 是圆2216x y +=上的点， 所以M 坐标（x 1，y 1）满足：221116x y +=② 将①代入②整理，得22(1)4x y -+=．。