【高二数学学案】§1.1 正弦定理和余弦定理第一课时 正弦定理一、1、基础知识设∆ABC 的三个角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，R 是∆ABC 的外接圆半径。

（1）正弦定理： = = =2R 。

（2）正弦定理的三种变形形式：①==b A R a ,sin 2 ，c= 。

②==B RaA sin ,2sin ，=C sin 。

③=c b a :: 。

（3）三角形中常见结论：①A+B+C= 。

②a <⇔b 。

③任意两边之和 第三边，任意两边之差 第三边。

④2sin BA += ，=+)sin(B A ，)(2sin B A += 。

2、课堂小练（1）在ABC ∆中，若A sin >B sin ，则有（ ） A 、a <b B 、a ≥b C 、a >b D 、a ，b 的大小无法确定（2）在ABC ∆中，A=30°，C=105°，b=8，则a 等于（ ）A 、4B 、24C 、34D 、54（3）已知ABC ∆的三边分别为c b a ,,，且a b B A :cos :cos =，则ABC ∆是 三角形。

二、例题例1、根据下列条件，解ABC ∆： （1）已知30,7,5.3===B c b ，求C 、A 、a ； （2）已知B=30°，2=b ，c=2，求C 、A 、a ； （3）已知b=6，c=9，B=45°，求C 、A 、a 。

例2、在ABC ∆中，CB CB A cos cos sin sin sin ++=，试判断ABC ∆的形状。

三、练习1、在ABC ∆中，若B b A a cos cos =，求证：ABC ∆是等腰三角形或直角三角形。

2、在ABC ∆中，5:3:1::=c b a ，求CBA sin sin sin 2-的值。

四、课后练习1、在ABC ∆中，下列等式总能成立的是（ ） A 、A c C a cos cos =B 、A cC b sin sin = C 、B bc C ab sin sin =D 、A c C a sin sin =2、在ABC ∆中，120,3,5===C b a ，则B A sin :sin 的值是（ ）A 、35 B 、53 C 、73 D 、75 3、在ABC ∆中，已知60,8==B a ，C=75°，则b 等于（ ）A 、24B 、34C 、64D 、3324、在ABC ∆中，A=60°，24,34==b a ，则角B 等于（ ）A 、45°或135°B 、135°C 、45°D 、以上答案都不对5、根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是（ ）A 、30,16,8===A b a ，有两解 B 、60,20,18===B c b ，有一解 C 、90,2,5===A b a ，无解D 、150,25,30===A b a ，有一解6、已知ABC ∆中，45,60,10===C B a ，则c 等于（ ） A 、310+B 、)13(10-C 、)13(10+D 、3107、在ABC ∆中，已知A b B a tan tan 22=，则此三角形是（ ）A 、锐角三角形B 、直角三角形C 、钝角三角形D 、直角或等腰三角形8、在ABC ∆中，C=2B ，则BBsin 3sin 等于（ ）A 、a bB 、b aC 、c aD 、ac9、在ABC ∆中，已知45,2,===B cm b xcm a ，如果利用正弦定理，三角形有两解，则x 的取值围是（ ） A 、2<x <22B 、x >22C 、2<x <2D 、0<x <210、三角形两边之差为2，夹角的余弦值为53。

该三角形的面积为14，则这两边分别为（ ） A 、3和5B 、4和6C 、5和7D 、6和811、在ABC ∆中，若60,32,2=∠==B b a ，则c= ，=∠C 。

12、在ABC ∆中，已知6:5:4)(:)(:)(=+++b a a c c b ，则C B A sin :sin :sin 等于13、在ABC ∆中，30,1,3===B b a ，则三角形的面积等于 。

14、若ABC ∆三个角A 、B 、C 成等差数列，且最大边为最小边的2倍，则三角之比为 。

15、已知ABC ∆中，c AB a BC ==,，且bbc B A-=2tan tan ，求A 。

16、已知在ABC ∆中，A=45°，2,6==BC AB ，求其他边和角。

17、在ABC ∆中若C=3B ，求bc的取值围。

18、已知方程0cos )cos (2=+-B a x A b x 的两根之积等于两根之和，且a 、b 为ABC ∆的两边，A 、B 为a 、b 的对角，试判定此三角形的形状。

五、课后反思1.12 余弦定理 时间：一、基础填空1、余弦定理：三角形中任何一边的 等于其他两边的 的 减去这两边与它们的 的 的 的 倍，即 a 2= ，b 2= ，c 2= 。

2、余弦定理的推论：=A cos ，=B cos ，=C cos 。

3、运用余弦定理可以解决两类解三角形问题：、 （1）已知三边，求 ；（2）已知 和它们的 ，求第三边和其他两个角。

4、ABC S ∆= = = 。

二、典型例题 例1、ABC ∆中，已知30,33,3===B c b ，求角A 、角C 和边a 。

练习1：已知ABC ∆中，)13(:6:2::+=c b a ，求 ABC ∆的各角度数。

例2、在ABC ∆中，已知ab c b a c b a 3))((=-+++，且C B A sin sin cos 2=⋅，确定ABC ∆的形状。

练习2、在ABC ∆中，B a A b cos cos =，试判断三角形的形状。

三、课堂练习 1、在ABC ∆中，已知B=30°，150,350==c b ，那么这个三角形是（ ） A 、等边三角形 B 、直角三角形C 、等腰三角形D 、等腰三角形或直角三角形2、在ABC ∆中，A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若abb ac 2222-->0，则ABC ∆（ ）A 、一定是锐角三角形B 、一定是直角三角形C 、一定是钝角三角形D 、是锐角或直角三角形3、在ABC ∆中，7:5:3::=c b a ，则ABC ∆的最大角是（ ） A 、30° B 、60° C 、90° D 、120°4、在ABC ∆中，13,34,7===c b a ，则ABC ∆的最小角为（ ）A 、3π B 、6π C 、4π D 、12π5、在ABC ∆中，若ac c a b ++=222，则B ∠为（ ） A 、60°B 、45°或135°C 、120°D 、30°6、在ABC ∆中，已知)(2222444b ac c b a +=++，则C 等于（ ） A 、30°B 、60°C 、45°或135°D 、120°7、在ABC ∆中，已知a 比b 长2，b 比c 长2，且最大角的正弦值是23，则ABC ∆的面积是（ ）A 、3415B 、415C 、4321D 、43358、若ABC ∆为三条边长分别是3，4，6，则它的较大的锐角的平分线分三角形所成的两个三角形的面积比是（ ） A 、1:1 B 、1:2C 、1:4D 、3:49、已知ABC ∆中，1,3==AC AB ，且 30=B ，则ABC ∆的面积等于（ ）A 、23B 、43 C 、23或3 D 、43或23 10、在ABC ∆中，135cos ,53sin ==B A ，则cosC=（ ）A 、6516B 、6556C 、6516或6556 D 、以上皆对11、在ABC ∆中，若B=30°，AB=2,32=AC ，则ABC ∆的面积S 是12、已知三角形的两边分别为4和5，它们夹角的余弦是方程02322=-+x x 的根，则第三边长是 。

13、ABC ∆中三边分别为a 、b 、c ，且4222c b a S -+=∆，那么角C=14、在ABC ∆中，三边的长为连续自然数，且最大角是钝角，这个三角形三边的长分别为 。

15、三角形的两边分别为3cm ，5cm ，它们所夹角的余弦为方程06752=--x x 的根，则这个三角形的面积为16、在ABC ∆中，已知b c a b a 2,4=+=-，且最大角为120°，则这个三角形的最大边等于 。

17、如图所示，在ABC ∆中，AB=5，AC=3，D 为BC 的中点，且AD=4，求BC 边的长。

18、已知圆O 的半径为R ，它的接三角形ABC 中2R B b a C A sin )2()sin (sin 22-=-成立，求ABC∆面积S 的最大值。

19、已知三角形的一个角为60°，面积为2310cm ，周长为20cm ，求此三角形的各边长。

20、在ABC ∆中，60=∠A ，b=1，3=∆S 。

求（1）CB A cb a sin sin sin ++++的值；（2）ABC ∆的切圆的半径长。

四、课后练习1、在ABC ∆中，下列等式总能成立的是（ ）A 、A c C a cos cos =B 、A cC b sin sin = C 、B bc C ab sin sin =D 、A c C a sin sin = 2、在ABC ∆中，120,3,5===C b a ，则B A sin :sin 的值是（ ）A 、35 B 、53 C 、73 D 、75 3、在ABC ∆中，已知75,60,8===C B a ，则b 等于（ ）A 、24B 、34C 、64D 、3324、在ABC ∆中，24,34,60===b a A，则角B 等于（ ）A 、45°或135°B 、135°C 、45°D 、以上答案都不对 5、根据下列条件，判断三角形的情况，其中正确的是（ ） A 、30,16,8===A b a ，有两解 B 、60,20,18===B c b ，有一解 C 、90,2,5===A b a ，无解 D 、150,25,30===A b a ，有一解6、已知ABC ∆中，45,60,10===C B a ，则c 等于（ ） A 、310+B 、)13(10-C 、)13(10+D 、3107、在ABC ∆中，已知A b B a tan tan 22=，则此三角形是（ ） A 、锐角三角形 B 、直角三角形C 、钝角三角形D 、直角或等腰三角形8、在ABC ∆中，C=2B ，则B Bsin 3sin 等于（ ） A 、abB 、b aC 、caD 、ac9、在ABC ∆中，已知45,2,===B cm b xcm a ，如果利用正弦定理，三角形的两解，则x 的取值围是（ ） A 、2<x <22B 、x >22C 、2<x <2D 、0<x <210、三角形两边之差为2，夹角的余弦值为53，该三角形的面为14，则这两边分别为（ ） A 、3和5B 、4和6C 、5和7D 、6和811、在ABC ∆中，若60,32,2=∠==B b a ，则=c ，=∠C 。