轴 向
单元体的左、右表面上的正应力为： F / A
拉 单元体的上、下侧面和前、后侧面均无应力。
伸
圆杆在扭转时
如图所示，对于其表面
上的 B 点，可以围绕该点以
杆的横截面和径向、周向纵
截面截取代表它的单元体进
行研究。横截面上在 B 点处
的切应力：
B max
式中：

MT WP
T WP
杆在周向截面上没有应力。 又由切应力互等定理可知，
1）单向应力状态 2）二向应力状态 3）三向应力状态
平面应力状态 复杂应力状态
• 主平面：单元体的侧面称为主平面。 • 主应力：主平面上的正应力称为该点处的主应力。
一般情况下，过一点 处所取的主单元体的六个 侧面上有三对主应力，我
们用1、2、3 表示，这
三者的顺序按代数值大小
排列，即123。
• 应力状态的分类
1）单向应力状态：只有一个主应力不等零； 2）二向应力状态：有两个主应力不等于零； 3）三向应力状态：三个主应力都不等于零。
工 字 钢 实 例
如图所示，设拉杆的任一斜截面m-m与其横截面
相交成 角。采用截面法研究此斜截面上的应力，取
左边部分研究，由平衡方程可得到斜截面上的内力为
F F
设杆由许多纵向
纤维组成，杆拉伸时
伸长变形是均匀的，
因此斜截面上的分布
内力必然是均匀分布
的，即各点处的应力
相等，于是
p

F A

F A
式中：p—斜截面上任一点处的 总应力，其方向沿x 轴正向；
根据斜截面面积A与横截面面积A的几何关系得到：
p

F
A/ cos
0
cos
0 F / A 杆横截面上的正应力
为研究方便，将分解为沿斜
截面m-m的法线分量和切线分
量，如图c所示。分解得：
p cos 0 cos2
一、一点处的应力状态
• 直杆轴向拉伸时：在杆件的同一截面上各点处的 应力是相同的，但是应力随所取截面与轴心线夹 角的不同而改变；
• 圆截面杆扭转或梁的弯曲时：在杆件的同一截面 上，不同位置的点具有不同的应力。
• 本节讨论要点：例如工字钢截面梁在横力弯曲时， 其截面上翼缘与腹板交界的各点处，同时有较大 的正应力和切应力。为此，要研究一点处所有截 面上在该点处的应力情况。


psΒιβλιοθήκη n 02sin
2
• 一点处的应力状态：当 变化时，对应的各个截面
的应力也随之变化。我们将构件受力后，通过其内
任意一点的各个截面上在该点处的应力情况，称为
该点处的应力状态。
二、一点处的应力状态的表示方法——应力单元体
为了研究受力构件内 A 点处的应力状态，可以围绕 A 点截取一个单元体来代表 该点。单元体的边长为无穷 小量，故单元体各个表面上 的应力分布可以看成是均匀 的，单元体任一对平行平面 上的应力可视为相等的。
MT — 横截面上的扭矩； 杆在径向截面上 B 点处应该
WP — 抗扭截面系数， 有与相等的切应力。于是此
T — 扭矩。
单元体各侧面上的应力如图
三、主平面、主应力、应力状态的分类
• 主单元体：在一般情况下，表示一点处应力状态的 应力单元体在其各个表面上同时存在有正应力和切 应力。但是可以证明：在该点处以不同方式截取的 各个单元体中，必有一个特殊的单元体，在这个单 元体的侧面上只有正应力而没有切应力。这样的单 元体称为该点处的主应力单元体或主单元体。