2019学年度高一年级第二学期期末考试数学试卷第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合2{|430}A x x x=-+<，{|13}B x x=-<<，则（）A．A B= B．A B⊇ C．A B⊆ D．A B=∅I2.某校有女生1400人，男生1600人，用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为60的样本，则男生应抽取（）A．14人 B．16人 C．28人 D．32人3.设x，y满足约束条件101010x yx yy-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩，则3z x y=+的最大值为（）A．1 B．3 C．4 D．54.某校高一学生进行测试，随机抽取20名学生的测试成绩，绘制茎叶图如图所示，则这组数据的众数和中位数分别为（）A．86，77 B．86，78 C．77，77 D．77，785.已知0a b>>，0c<，cMa=，cNb=，则M，N的大小关系为（）A．M N> B．M N< C．M N= D．不能确定6.等差数列{}na的前n项和为nS，若936S=，则37a a+=（）A．4 B．8 C．12 D．167.在ABC∆中，A B∠>∠，则下列结论一定正确的是（）A．sin sinA B> B．sin sinA B<C．sin cosA B> D．cos cosA B>8.如图，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，已知直角三角形较大锐角的正弦值为1213，向大正方形区域内随机地掷一点，则该点落在小正方形内的概率是（ ）A ．25144 B ．49169 C ．49144 D ．1441699.执行下边的程序框图，若输出的S 是121，则判断框内应填写（ ）A ．3?n <B ．4?n <C ．3?n >D ．4?n > 10.数列{}n a 满足12a =，1110n n n n a a a a +++-+=，则2018a =（ ） A ．2 B ．13 C ．12- D ．-3 11.如图是一个斜拉桥示意图的一部分，AC 与BD 表示两条相邻的钢缆，A 、B 与C 、D 分别表示钢缆在桥梁与主塔上的铆点，两条钢缆的仰角分别为α、β，为了便于计算，在点B 处测得C 的仰角为γ，若AB m =，则CD =（ ）A．sin sin()cos sin()m ααγββγ-- B ．sin sin()sin sin()m αβγβαγ--C ．cos sin()cos sin()m αβγβαγ-- D ．sin sin()cos sin()m αβγβαγ--12.①45化为二进制数为(2)101101；②一个总体含有1000个个体（编号为0000，0001，…，0999），采用系统抽样从中抽取一个容量为50的样本，若第一个抽取的编号为0008，则第六个编号为0128； ③已知a ，b ，c 为ABC ∆三个内角A ，B ，C 的对边，其中3a =，4c =,6A π=，则这样的三角形有两个解. 以上说法正确的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3唐山市2017～2018学年度高一年级第二学期期末考试数学试卷第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在题中横线上） 13.鞋柜内散放着两双不同的鞋，随手取出两只，恰是同一双的概率是 ． 14.执行下面的程序框图，若输入的255a =，68b =，则输出的a 是 ．15.公差不为0的等差数列{}n a 满足23a =，且1a ，3a ，7a 成等比数列，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前7项和为 ．16.实数x ，y ，z 满足2224270x y z x z ++++-=，则x y z ++的最大值为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，11a =，525S =，{}n n b a -是等比数列，13b =，423b =.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前10项和10T .18.市政府为了节约用水，调查了100位居民某年的月均用水量（单位：t ），频数分布如下： 分组 [0,0.5) [0.5,1) [1,1.5) [1.5,2) [2,2.5) [2.5,3) [3,3.5) [3.5,4) [4,4.5]频数4815222514642（1）根据所给数据将频率分布直方图补充完整（不必说明理由）； （2）根据频率分布直方图估计本市居民月均用水量的中位数；（3）根据频率分布直方图估计本市居民月均用水量的平均数（同一组数据由该组区间的中点值作为代表）.19.ABC ∆中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，已知3C π=.（1）若2b a =，求角A ；（2）若1a =，3b =，求边c 上的高h .20.某公司经营一种二手机械，对该型号机械的使用年数x 与再销售价格y （单位：百万元/台）进行统计整理，得到如下关系： 使用年数246810再销售价格16 13 9.5 7 5（1）求y 关于x 的回归直线方程$$y bxa =+$； （2）该机械每台的收购价格为20.05 1.817.5p x x =-+（百万元），根据（1）中所求的回归方程，预测x 为何值时，此公司销售一台该型号二手机械所获得的利润Q 最大？附：参考公式：1221ni ii ni i x y nx ybx nx==-⋅=-∑∑$，$ay bx =-$. 21.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且233n n S a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若32log n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .22.如图，在梯形ABCD 中，//DC AB ，1DA CB AB ===，DC AC =.（1）求DC ；（2）平面内点P 在DC 的上方，且满足3DPC ACB ∠=∠，求DP CP +的最大值.唐山市2017～2018学年度高一年级第二学期期末考试数学参考答案一、选择题1-5: CDDBA 6-10: BABCB 11、12：DC 二、填空题 13.13 14. 17 15. 71816. 3 三、解答题 17．解：（1）设数列{a n }的公差为d ，由a 1＝1，S 5＝5a 1＋10d ＝25，解得d ＝2，故a n ＝2n －1， （2）设数列{b n －a n }的公比为q ，由b 1－a 1＝2，b 4－a 4＝16，得q 3＝b 4－a 4b 1－a 1＝8，解得q ＝2，b n －a n ＝2n，故b n ＝2n＋2n －1， 所以数列{b n }的前10项和为T 10＝b 1＋b 2＋…b 10＝(2＋1)＋(22＋3)＋(23＋5)＋…＋(210＋19) ＝(2＋22＋…＋210)＋(1＋3＋5＋…＋19) ＝2(1－210)1－2＋10(1＋19)2＝2146．18．解：（1）频率分布直方图如图所示: …4分（2）∵0.04＋0.08＋0.15＋0.22＝0.49＜0.5， 0.04＋0.08＋0.15＋0.22＋0.25＝0.74＞0.5， ∴中位数应在[2，2.5)组内，设中位数为x ， 则0.49＋(x －2)×0.50＝0.5， 解得x ＝2.02．故本市居民月均用水量的中位数的估计值为2.02．（3）0.25×0.04＋0.75×0.08＋1.25×0.15＋1.75×0.22＋2.25×0.25 ＋2.75×0.14＋3.25×0.06＋3.75×0.04＋4.25×0.02 ＝2.02． 故本市居民月均用水量的平均数的估计值为2.02． 19．解：（1）由正弦定理得sin B ＝2sin A ， sin (A ＋3)＝2sin A ，sin A cos3＋cos A sin3＝2sin A ，整理得3sin A ＝cos A ， tan A ＝33， ∵0<A <，∴A ＝6．（2）由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2abcos C ＝1＋9－2×1×3×12＝7，故c ＝7， 由S ＝12absin C ＝12ch得h ＝absin C c ＝32114．202020．解：（1）x －＝15(2＋4＋6＋8＋10)＝6，y －＝15(16＋13＋9.5＋7＋5)＝10.1， 5i ＝1∑x 2i＝220，5i ＝1∑x i y i ＝247．b ˆ＝5i ＝1∑x i y i －5·x -y-5i ＝1∑x 2i －5x-2＝－1.4，a ˆ＝y -－b ˆx -＝18.5．所求回归直线方程为：y ˆ＝－1.4x ＋18.5． （2）由题可知，Q ＝－1.4x ＋18.5－(0.05x 2－1.8x ＋17.5) ＝－0.05x 2＋0.4x ＋1 ＝－0.05(x －4)2＋1.8，故预测当x ＝4时，销售利润Q 取得最大值． 21．解：（1）∵2S n ＋3＝3a n ， ① ∴2S n －1＋3＝3a n －1， (n ≥2)②①－②得2S n －2S n －1＝3a n －3a n －1＝2a n ， 则a na n －1＝3 (n ≥2)， 在①式中，令n ＝1，得a 1＝3．∴数列{a n }是首项为3，公比为3的等比数列， ∴a n ＝3n．（2）b n ＝a n ·log 3a n+2＝3n·log 33n+2＝(n+2)·3n． 所以T n ＝3·31＋4·32＋5·33＋…＋(n+1)·3n －1＋(n+2)·3n，①则 3T n ＝ 3·32＋4·33＋…＋n·3n －1＋(n+1)·3n＋(n+2)·3n+1，②①－②得，－2T n ＝9＋1 (32＋33＋…＋3n －1＋3n )－(n+2)·3n+1，＝9＋9－3n+11－3－(n+2)·3n+1＝92－2n ＋32×3n+1．所以T n ＝2n ＋34×3n+1－94．22．解：（1）∵DC ∥AB ，AB ＝BC ，∴∠ACD ＝∠CAB ＝∠ACB ． 在△ACD 中，记DC ＝AC ＝t ，由余弦定理得 cos ∠ACD ＝DC 2＋AC 2－AD 22DC ·AC ＝2t 2－12t2．在△ACB 中，cos ∠ACB ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·B C ＝ t2．由2t 2－12t 2＝t 2得t 3－2t 2＋1＝0，即(t －1)(t 2－t －1)＝0， 解得t ＝1，或t ＝1±52．∵ t ＝1与梯形矛盾，舍去，又t>0， ∴ t ＝1＋52，即DC ＝1＋52．（2）由（1）知∠CAD ＝∠ADC ＝∠BCD ＝2∠ACD ． 故5∠ACD ＝180°，∠ACD ＝∠ACB ＝36°， 故∠DPC ＝3∠ACB ＝108°．在△DPC 中，由余弦定理得DC 2＝DP 2＋CP 2－2DP ·CPcos ∠DPC ， 即t 2＝DP 2＋CP 2－2DP ·CPcos 108° ＝(DP ＋CP)2－2DP ·CP(1＋cos 108°) ＝(DP ＋CP)2－4DP ·CPcos 254°∵4DP ·CP ≤(DP ＋CP)2，(当且仅当DP ＝CP 时，等号成立．) ∴t 2≥(DP ＋CP)2(1－cos 254°) ＝(DP ＋CP)2sin 254° ＝(DP ＋CP)2cos 236° ＝(DP ＋CP)2·t24∴(DP ＋CP)2≤4，DP ＋CP ≤2．故当DP ＝CP ＝1时，DP ＋CP 取得最大值2．月均用水量唐山市2017～2018学年度高一年级第二学期期末考试数学参考答案及评分标准一．选择题：A 卷：CDDBA BABCB DC B 卷：CDDBA CADCBDB二．填空题：13． 1 314．1715． 71816．3三．解答题： 17．解：（1）设数列{a n }的公差为d ，由a 1＝1，S 5＝5a 1＋10d ＝25，解得d ＝2，故a n ＝2n －1， …4分 （2）设数列{b n －a n }的公比为q ， 由b 1－a 1＝2，b 4－a 4＝16，得q 3＝b 4－a 4b 1－a 1＝8，解得q ＝2， b n －a n ＝2n ，故b n ＝2n ＋2n －1， …8分所以数列{b n }的前10项和为T 10＝b 1＋b 2＋…b 10＝(2＋1)＋(22＋3)＋(23＋5)＋…＋(210＋19)＝(2＋22＋…＋210)＋(1＋3＋5＋…＋19) ＝2(1－210)1－2＋10(1＋19)2＝2146．…10分18．解：（1）频率分布直方图如图所示: …4分 （2）∵0.04＋0.08＋0.15＋0.22＝0.49＜0.5，0.04＋0.08＋0.15＋0.22＋0.25＝0.74＞0.5，∴中位数应在[2，2.5)组内，设中位数为x ， 则0.49＋(x －2)×0.50＝0.5， 解得x ＝2.02．故本市居民月均用水量的中位数的估计值2020 为2.02．…8分（3）0.25×0.04＋0.75×0.08＋1.25×0.15＋1.75×0.22＋2.25×0.25＋2.75×0.14＋3.25×0.06＋3.75×0.04＋4.25×0.02 …10分＝2.02．故本市居民月均用水量的平均数的估计值为2.02．…12分202019．解：（1）由正弦定理得sin B ＝2sin A ，sin (A ＋3)＝2sin A ，sin A cos3＋cos A sin3＝2sin A ，整理得3sin A ＝cos A ， tan A ＝33， ∵0<A <，∴A ＝6． …6分（2）由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋9－2×1×3×12＝7，故c ＝7， 由S ＝12ab sin C ＝12ch得h ＝ab sin C c ＝32114． …12分 20．解：（1）x －＝15(2＋4＋6＋8＋10)＝6，y －＝15(16＋13＋9.5＋7＋5)＝10.1， …2分5i ＝1∑x 2i ＝220，5i ＝1∑x i y i ＝247．b ˆ＝5i ＝1∑x i y i －5·x -y-5i ＝1∑x 2i －5x-2＝－1.4，…6分a ˆ＝y -－b ˆx -＝18.5．所求回归直线方程为：y ˆ＝－1.4x ＋18.5．…8分（2）由题可知，Q ＝－1.4x ＋18.5－(0.05x 2－1.8x ＋17.5)＝－0.05x 2＋0.4x ＋1 ＝－0.05(x －4)2＋1.8，故预测当x ＝4时，销售利润Q 取得最大值．…12分202021．解：（1）∵2S n ＋3＝3a n ， ①∴2S n －1＋3＝3a n －1， (n ≥2) ② ①－②得2S n －2S n －1＝3a n －3a n －1＝2a n ， 则a na n －1＝3 (n ≥2)， …4分在①式中，令n ＝1，得a 1＝3．∴数列{a n }是首项为3，公比为3的等比数列， ∴a n ＝3n．…5分（2）b n ＝a n ·log 3a n +2＝3n·log 33n +2＝(n +2)·3n． …6分所以T n ＝3·31＋4·32＋5·33＋…＋(n +1)·3n －1＋(n +2)·3n， ①则 3T n ＝ 3·32＋4·33＋…＋n ·3n －1＋(n +1)·3n ＋(n +2)·3n +1，② …8分①－②得，－2T n ＝9＋1 (32＋33＋…＋3n －1＋3n )－(n +2)·3n +1，＝9＋9－3n +11－3－(n +2)·3n +1…10分＝92－2n ＋32×3n +1． 所以T n ＝2n ＋34×3n +1－94．…12分22．解：（1）∵DC ∥AB ，AB ＝BC ，∴∠ACD ＝∠CAB ＝∠ACB ．在△ACD 中，记DC ＝AC ＝t ，由余弦定理得cos ∠ACD ＝DC 2＋AC 2－AD 22DC ·AC ＝2t 2－12t2．在△ACB 中，cos ∠ACB ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ＝ t2．由2t 2－12t 2＝t 2得t 3－2t 2＋1＝0，即(t －1)(t 2－t －1)＝0， 解得t ＝1，或t ＝1±52．∵ t ＝1与梯形矛盾，舍去，又t >0， ∴ t ＝1＋52，即DC ＝1＋52．…6分2020（2）由（1）知∠CAD ＝∠ADC ＝∠BCD ＝2∠ACD ．故5∠ACD ＝180°，∠ACD ＝∠ACB ＝36°， 故 ∠DPC ＝3∠ACB ＝108°．在△DPC 中，由余弦定理得DC 2＝DP 2＋CP 2－2DP ·CP cos ∠DPC ， 即 t 2＝DP 2＋CP 2－2DP ·CP cos 108° ＝(DP ＋CP )2－2DP ·CP (1＋cos 108°) ＝(DP ＋CP )2－4DP ·CP cos 254°∵ 4DP ·CP ≤(DP ＋CP )2，(当且仅当DP ＝CP 时，等号成立．) ∴ t 2≥(DP ＋CP )2(1－cos 254°)＝(DP ＋CP )2sin 254° ＝(DP ＋CP )2cos 236° ＝(DP ＋CP )2·t 24∴ (DP ＋CP )2≤4，DP ＋CP ≤2．故 当DP ＝CP ＝1时，DP ＋CP 取得最大值2．…12分。