年高一数学下册期末考试试题
第Ⅰ卷（选择题 共分）
一、选择题：每小题分，共分.
.在等差数列{}n a 中，若136,2a a ==，则5a =（ ）
． ． ． ．
.如图，已知向量,,a b c ，那么下列结论正确的是（ ）
．a b c += ．a b c +=- ．a b c -=- ．b c a += .用数学归纳法证明11112321
n n +
++<-（*,1n N n ∈>）时，第一步应验证不等式为（ ） ．1122+
< ．111323++< ．11113234+++< ．111223
++< .已知平面向量a 和b 的夹角等于3π，2a =，1b =，则2a b -=（ ）
．
.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若030B =，c =，2b =，则C =
（ ）
．3π ．3π或23π . 4π ．4
π或54π .已知等比数列{}n a 中，12340a a a ++=，45620a a a ++=，则前项之和等于（ ） ． ． . ． .已知向量,a b 满足1a =，2b =
，且a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影相等，
则a b -等于（ ）
．．
.已知数列{}n a 满足121a a ==，2111n n n n
a a a a +++-=，则65a a -的值为（ ） ． ． . ．
.已知数列{}n a 是各项均不为的正项数列，n S 为前n 项和，
且满足1n a =+，*
n N ∈，
128(1)n n a +≤+-对任意的*n N ∈恒成立，求实数λ的最大值为（ ） ． ． ．
.在ABC ∆中，AB AC =，点M 在BC 上，4BM BC =，N 是AM 的中点，
1sin 3
BAM ∠=，2AC =，则AM CN ∙=（ ） ． ． . ．
第Ⅱ卷（非选择题 共分）
二、填空题（本大题共小题，第题每小题分，第题每小题分，共分） .已知向量(2,5)a =，(,2)b x =-，且a b ⊥，则x =，a b -= ．
.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c
，若01,30a b C ===，则c =，
ABC ∆的面积S = ．
.已知等差数列{}n a 中，1013a =，927S =，则公差d =，100a = ．
.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若1tan 2A =，1tan 3
B =，2b =，则tan
C =，c = ． .已知向量3OA =1OB =，0OA OB ∙=，点C 在AOB ∠内，且060AOC ∠=，设OC OA OB λμ=+（,R λμ∈），则λμ
= ． .已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足21n n S a =-，则
1210181818a a a -+-+-= ．
. O 是ABC ∆所在平面上的一点，内角,,A B C 所对的边分别是、、，且
3450OA OB OC ++=，若点P 在ABC ∆的边上，则OA OP ∙的取值范围为 ．
三、解答题 （本大题共小题，共分）
. 已知向量,,a b c 是同一平面内的三个向量，其中(1,1)a =-. （）若32c =，且//c a ，求向量c 的坐标； （）若1b =，且(2)a a b ⊥-，求a 与b 的夹角θ.
. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知cos (2)cos 0c B b a C ∙+-=. （）求角C 的大小；
（）若2c =，a b ab +=，求ABC ∆的面积.
. 等比数列{}n a 的各项均为正数，且12231a a +=，2
3269a a a =，数列{}n b 满足
31323log log log n n b a a a =+++.
（）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
（）求设1
n n n
c a b =+（*n N ∈），求数列{}n c 的前n 项和n S .
. 在锐角ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，s i n c o s 20A a C b c -+-=.
（）求角A 的大小；
（）求cos cos B C +的范围.
.已知数列{}n a 满足11a =，2
11
4n n a a p +=+.
（）若数列{}n a 就常数列，求p 的值；
（）当1p >时，求证：1n n a a +<；
（）求最大的正数p ，使得2n a <对一切整数n 恒成立，并证明你的结论.
年高一数学下册期末考试试卷答案
一、选择题
、：
二、填空题
. , . , 4 . , . , . 1
3 . . [5,10]-
三、解答题
.解：
（）设(,)c x y =，由=32c ，且//c a 可得22018
y x x y +=⎧⎨+=⎩ 所以33x y =-⎧⎨=⎩或33x y =⎧⎨=-⎩
故(3,3)c =-，或(3,3)c =- （）因为=1b ，且()2a a b ⊥-，所以()2=0a a b ⋅-
即220a a b -⋅=，所以220a b -⋅=，=1a b ⋅ 故2cos a b
a b θ⋅==⋅，4
πθ= .（）∵()cos 2cos 0c B b a C ⋅+-=，cos cos 2cos 0c B b C a C +-=，2cos 0a a C -=， ∴1cos 2C =，=3
C π （）∵2c =，所以2222cos c a b ab C =+-，
()()22423a b ab ab a b ab =+--=+-
∴4ab =，1sin 2S ab C =
= .解：
（）因为等比数列{}n a 中23269a a a =，故22349a a =，0n a >，故1=3
q 又因为122+31a a =，所以11=3a ，1=3n
n a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
()313231log log log 122n n n n b a a a n +=+++=----=- （）因为数列1+n n n c a b =，令数列{}n a 前n 项和n T ，数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为n Q
则1113311==112313
n n n T ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭- ()1211=2n n+11n b n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭ 111111=212122311n Q n n n ⎛⎫⎛⎫-+-+-=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭
1113211=1212312123n n n
S n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=-+- ⎪ ⎪ ⎪+
+⎝⎭⎝⎭
⎝⎭ .解：
cos 20A a C b c -+-=，
sin sin cos sin
2sin 0C A A C B C -+-=
因为()sin =sin sin cos cos sin B A C A C
A C +=+， sin cos sin 2sin 0C A A C C +-=
sin 0C ≠cos 2A A +=
sin()16A π+=，因为ABC ∆是锐角三角形，所以，62A ππ+=，3A π= （）因为3A π
=，所以23B C π+=，2cos cos cos cos =sin 36B C C C C ππ⎛⎫⎛⎫+=
-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭ 因为ABC ∆是锐角三角形，所以62C π
π
<<，
cos cos B C +的范围⎫⎪⎪⎝⎭
.解：
（）若数列{}n a 是常数列，则2111=+144a a p p =
+=，34p =；显然，当34
p =时，有=1n a （）由条件得2211113=p 044
a a a p a -=+-->得21a a >， 又因为2221111,44n n n n a a p a a p +++=+=+， 两式相减得
()()()222221111111114444
n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a ++++++-=-=-=-+ 显然有0n a >，所以21n n a a ++-与1n n a a +-同号，而210a a ->，所以10n n a a +->； 从而有1n n a a +<. （）因为()2211121144
k k k k k a a a a p a p p +-=-+=-+-≥-， 所以()()()()1211111n n n a a a a a a n p -=+-+->+--， 这说明，当1p >时，n a 越来越大，不满足2n a <，所以要使得2n a <对一切整数n 恒成立，只可能1p ≤，下面证明当1p =时，2n a <恒成立；用数学归纳法证明： 当1n =时，11a =显然成立；
假设当n k =时成立，即2k a <，则当1n k =+时，22111121244k k a a +=+<⨯+=成立，由上可知对一切正整数n 恒成立，因此，正数p 的最大值是。