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7.2 晶体结构的对称性
7.2.1 晶体结构中可能存在的对称元素
晶体的点阵结构使晶体的对称性跟分子的对称性有一定的差别： 晶体的对称性除了具有分子对称性的4种类型的对称操作和对称 元素外，还具有与平移操作有关的3种类型的对称操作和对称元素。
(1) . (2) . (3) . (4) . (5) . (6) . (7) .
A‘ -a 2/n O n a 2/n A
证明
B‘ B
对称轴 n 通过点阵点O并与平面点阵(纸面)相垂直, 在平
面点阵上必有过O点的直线点阵AA＇, 其素向量为a. 利用对称
轴n 对O点两侧的a分别顺、逆时针旋转角度,产生点阵点B与 B＇, BB＇必然平行与AA＇
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α α α α α α α
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7个晶系
a a a c a a 120O 三方晶系 a=b=c == 高级 c a b c 中级 b 低级 三斜晶系
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b a a
立方晶系
六方晶系
四方晶系

a
正交晶系
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单斜晶系
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六个晶族（Crystal Family)
晶胞的定义
晶体结构的基本重复单元称为晶胞.
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原子在晶胞中的位置坐标
(1/2, 0, 1/2)
Cl-
(0, 1/2, 1/2)
(1/2, 1/2, 0)
(0, 0, 0)
c
a
b
NaCl 三维周期排列 的结构及其点阵
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原子在晶胞中的位置
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7.2.2 晶系、晶族和惯用坐标
根据晶体结构所具有的特征对称元素，将晶体分为7个晶系(cryatal system)。 立方晶系(cubic)：有4个三次对称轴，晶胞的四个体对角线。 六方晶系(hexagonal)：有1个六次对称轴。 四方晶系(tetragonal)：有1个四次对称轴。 三方晶系(triagonal)：有1个三次对称轴。 正交晶系(orthothombic)：有3个互相垂直的二次对称轴或2个相互垂直的对称面。 单斜晶系(monoclinic)：有1个二次对称轴或对称面。 三斜晶系(triclinic)：没有特征对称元素。
切分
切分
把结构单元抽象为几何点 晶胞 把结构单元放回到几何点 正当单位
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7.1.2 点阵参数和晶胞参数
空间点阵必然可选择3个不相平行的单位矢量a，b，c。 选择有多种方式.
点阵参数指三个矢量a，b，c的长度及两两之间 的夹角。
a=｜a｜ ， b =｜b｜，c =｜c｜ α= b∧c ，β=a∧c ，γ=a∧b
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7个晶系
晶系 立方晶系 三方晶系 四方晶系 六方晶系 正交晶系 单斜晶系 三斜晶系 边长 a=b=c a=b=c a = b≠c a = b≠c a≠b≠c a≠b≠c a≠b≠c 夹角 =β =γ = 900 =β =γ ≠900 =β =γ = 900 =β = 900, γ = 1200 =β =γ = 900 =β = 900, γ ≠ 900 0 ≠β ≠γ ≠ 90 晶体实例 NaCl Al2O3 SnO2 AgI HgCl2 KClO3 CuSO4·5H2O
在非直角坐标系中, 计算公式为：
2 2 2 rij = [ xi - x ）a 2 + yi - y ）c 2 + zi - z ）c 2 ( （ （ j j j 1 2
2 xi - x j ) yi - y ） cos + 2 xi - x j ) zi - z j )ac cos 2 yi - y j ) zi - z ） cos ] （ ( （ ( （ ( j ab j bc
立方晶族(cubic) 立方晶系(cubic) 六方晶系(hexagonal) 六方晶族(hexagonal)
三方晶系(triagonal)
四方晶族(tetragonal) 正交晶族(orthothombic) 单斜晶族(monoclinic) 三斜晶族(triclinic) 四方晶系(tetragonal) 正交晶系(orthothombic) 单斜晶系(monoclinic) 三斜晶系(triclinic)
(0, 0, 1/2) (1/2,1/20,1/2)
Na+
(1/2, 0, 0)
( 0, 1/2， 0)
NaCl 三维周期排列 的结构及其点阵
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*两粒子之间的距离
当三个晶轴构成直角坐标系时（===90), 根据两点
间距离公式可方便地求得任意两粒子间的距离：
2 2 2 rij = （xi - x j）a 2 + yi - y j）b 2 + z i - z j）c 2 （ （
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国际符号中三个位置代表的方向
c a a a 120O 三方晶系 a=b=c == 第一方向 c a b c 第二方向 b 第三方向 a b a
a a
立方晶系
六方晶系
四方晶系

a
正交晶系
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单斜晶系
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三斜晶系
7.2.3 晶体学点群
晶体学点群的对称元素方向及国际符号
晶系 第一位 可能对称元 素 三斜 1,`1 方向 任意 第二位 可能对称元 素 无 方向 第三位 可能对称元 素 无 方向 点群 （共32个） 1，`1
单斜 正交
四方 三方 六方 立方
2,m,2/m 2，m
4,`4，4/m 3,`3 6,`6, 6/m 2,m,4, `4
Y X
Z Z Z X
无 2，m
无， 2，m 无， 2，m 无， 2，m 3,`3
无 Y
X X X 体对 角线
2,m,2/m Z
底对角 线
2，m
无， 2，m 无 无， 2，m 无， 2，m
222,mm2,mmm
4,`4，4/m，422， 4mm, `42m, 4/mmm 3,`3, 32,3m, `3m
底对角 线 面对角 线
6,`6, 6/m,622, 6mm, `62m, 6/mmm 23,m3,432, `43m, m`3m
旋转轴的限制
2 2 A‘ B B ma 2 OB cos 2a cos n n m 2 cos 2 n
'
-a 2/n
O n
a 2/n
A
2 cos 1 n
B‘
B
m -2 -1 0 1 2
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cos -1 -1/2 0 1/2 1
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180 120 90 60 360
结构基元 ( structural motif )
每个点阵点所代表的具体内容 （包括粒子的种类、数量及其在空间的排列方式等）.
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直线点阵
以直线连接各个阵点形成的点阵称为直线点阵.
结构基元
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点阵
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点阵参数：相邻点阵点的距离
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平面点阵
在二维方向上排列的阵点, 即为平面点阵.
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点群的Schönflies符号
Cn: 具有一个n次旋转轴的点群。 Cnh: 具有一个n次旋转轴和一个垂直于该轴的镜面的点群。 Cnv: 具有一个n次旋转轴和n个通过该轴的镜面的点群。
Dn: 具有一个n次旋转主轴和n个垂直该轴的二次轴的点群。
Sn:具有一个n次反轴的点群。
最简单的情况是等径圆球密置层. 每个球抽取为一个 点. 这些点即构成平面点阵.
b a
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平面点阵
（ a ）NaCl 结构
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（ b ）Cu 点阵
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晶格
平面点阵
b a
（c）石墨
结构
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点阵
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晶格
空间点阵
（a）Po
结构
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第7章
晶体的点阵结构和晶体的性质
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晶体的定义
由原子、分子或离子等微粒在空间按一定 规律、周期性重复排列所构成的固体物质。
晶态结构示意图
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非晶态结构示意图
7.1 晶体结构的周期性和点阵
7.1.1 点阵、结构基元和晶胞 点阵的定义
按连接其中任意两点的向量进行平移能够复原的一组 点, 称为点阵. 由此推断：点阵的环境必须相同, 阵点是无限的. 晶体结构 = 点阵 + 结构基元
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2.旋转
书写符号
1 2 3 4 6
图示符号
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3．反映—反映面：
若物体含有一个对称面，那么在对称面一侧的每一 点，都可在对称面的另一侧找到它的对应点。另一种 特殊情况是物体本身是一个平面物体，被包含在对称 面内，则平面上每一点与自己对应。
点阵
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晶格
空间点阵
（ b ）CsCl 结构
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点阵
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晶格
空间点阵
（ c ） Na
结构
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点阵
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晶格
空间点阵
（ d ）Cu 结构