高中数学典型例题解析---- 数列§等差数列的通项与求和一、知识导学1.数列：按一定次序排成的一列数叫做数列.2.项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….3.通项公式：一般地，如果数列｛a n ｝的第ｎ项与序号ｎ之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.4. 有穷数列:项数有限的数列叫做有穷数列.5. 无穷数列:项数无限的数列叫做无穷数列6.数列的递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式是给出数列的一种重要方法，其关健是先求出a 1,a 2,然后用递推关系逐一写出数列中的项.7.等差数列:一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用ｄ表示．8.等差中项:如果ａ，Ａ，ｂ这三个数成等差数列，那么Ａ＝2b a +．我们把Ａ＝2ba +叫做ａ和ｂ的等差中项．二、疑难知识导析1.数列的概念应注意几点：（1）数列中的数是按一定的次序排列的，如果组成的数相同而排列次序不同，则就是不同的数列；（2）同一数列中可以出现多个相同的数；（3）数列看做一个定义域为正整数集或其有限子集(｛1，2，3，…，n ｝)的函数.2.一个数列的通项公式通常不是唯一的.3.数列｛a n ｝的前n 项的和S n 与a n 之间的关系：⎩⎨⎧≥-==-).2(),1(11n S S n S a n n n 若a 1适合a n (n>2),则n a 不用分段形式表示，切不可不求a 1而直接求4.从函数的角度考查等差数列的通项公式：a n = a 1+(n-1)d=d ·n+ a 1-d, a n 是关于n 的一次式；从图像上看，表示等差数列的各点（n,n a ）均匀排列在一条直线上，由两点确定一条直线的性质，不难得出，任两项可以确定一个等差数列.5、对等差数列的前n 项之和公式的理解：等差数列的前n 项之和公式可变形为n d a n d S n )2(212-+=，若令A ＝2d ，B ＝a 1－2d，则n S ＝An 2+6、在解决等差数列问题时，如已知，a 1，a n ，d ，n S ，n 中任意三个，可求其余两个。

三、经典例题导讲[例1]已知数列1，4，7，10，…，3n+7,其中后一项比前一项大3.（1）指出这个数列的通项公式；（2）指出1+4+…+（3n －5）是该数列的前几项之和.错解：（1）a n =3n+7;(2) 1+4+…+（3n －5）是该数列的前n 项之和.错因：误把最后一项（含n 的代数式）看成了数列的通项.（1）若令n=1,a 1=10≠1,显然3n+7不是它的通项.正解：（1）a n =3n －2;(2) 1+4+…+（3n －5）是该数列的前n －1项的和.[例2] 已知数列{}n a 的前n 项之和为① n n S n -=22 ② 12++=n n S n求数列{}n a 的通项公式。

错解： ① 34)1()1(2222-=-+---=n n n n n a n ② nn n n n a n 21)1()1(122=-----++=错因：在对数列概念的理解上，仅注意了a n ＝S n －S n-1与的关系，没注意a 1=正解： ①当1=n 时，111==S a 当2≥n 时，34)1()1(2222-=-+---=n n n n n a n 经检验 1=n 时 11=a 也适合，∴34-=n a n ②当1=n 时，311==S a 当2≥n 时，nn n n n a n 21)1()1(122=-----++= ∴ ⎩⎨⎧=n a n 23)2()1(≥=n n [例3] 已知等差数列{}n a 的前n 项之和记为S n ，S 10=10 ，S 30=70，则S 40等于 。

错解：S 30= S 10·2d. ∴ d ＝30， ∴ S 40= S 30+d =错因：将等差数列中S m , S 2m －S m , S 3m －S 2m 成等差数列误解为S m , S 2m , S 3m 成等差数列.正解：由题意：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯+=⨯+7022930301029101011d a d a 得152,521==d a 代入得S 40 ＝1204023940401=⨯⨯+d a 。

[例4]等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和为S n 、T n .若),(27417+∈++=N n n n T S n n 求77b a ；错解：因为等差数列的通项公式是关于n 的一次函数，故由题意令a n =7n+1;b n =4n+1110277417777=+⨯+⨯=∴b a错因：误认为=n n T S nnb a 正解：79922713411371313777777=+⨯+⨯==++=∴T S b b a a b a [例5]已知一个等差数列{}n a 的通项公式a n =25－5n ，求数列{}||n a 的前n 项和；错解：由a n ≥0得n ≤5∴ {}n a 前5项为非负，从第6项起为负，∴ S n =a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=50(n ≤5)当n ≥6时，S n =｜a 6｜+｜a 7｜+｜a 8｜+…+｜a n ｜＝2)5)(520(--n n ∴ S n =⎪⎩⎪⎨⎧≥--≤6,2)5)(520(5,50n n n n 错因：一、把n ≤5理解为n=5，二、把“前n 项和”误认为“从n ≥6起”的和.正解： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+--≤-6,502)5)(520(5,2)545(n n n n n n[例6]已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n 项和的公式吗解：理由如下：由题设： 31010=S 122020=S 得： ⎩⎨⎧=+=+122019020310451011d a d a ⎩⎨⎧==⇒641d a ∴ n n n n n S n +=⨯-+=2362)1(4[例7]已知：nn a -+=12lg 1024 （3010.02lg =）+∈N n （1） 问前多少项之和为最 大（2）前多少项之和的绝对值最小 解：（1） ⎩⎨⎧<-=≥-+=+02lg 102402lg )1(10241n a n a n n 3403340112lg 10242lg 1024<<⇒+≤<⇒n n ∴3402=n （2） 0)2lg (2)1(1024=--+=n n n S n 当n n S S 或0=近于0时其和绝对值最小令：0=n S 即 1024+0)2lg (2)1(=--n n 得：99.680412lg 2048≈+=n ∵ +∈N n ∴6805=n [例8]项数是n 2的等差数列，中间两项为1+n n a a 和是方程02=+-q px x 的两根，求证此数列的和n S 2是方程 0)lg (lg lg )lg (lg lg 2222=+++-p n x p n x 的根。

（02>n S ） 证明：依题意p a a n n =++1∵p a a a a n n n =+=++121 ∴npa a n S n n =+=2)(2212 ∵0)lg (lg lg )lg (lg lg 2222=+++-p n x p n x ∴ 0)lg (lg 2=-np x ∴n S np x 2== （获证）。

四、典型习题导练1．已知nn n S a a 2311+==-且，求n a 及n S 。

2．设)1(433221+++⨯+⨯+⨯=n n a n Λ，求证：2)1(2)1(2+<<+n a n n n 。

3.求和: n+++++++++++ΛΛ3211321121114.求和： )12()34()9798()99100(22222222-+-++-+-Λ5.已知c b a ,,依次成等差数列，求证：ab c ac b bc a ---222,,依次成等差数列.6.在等差数列{}n a 中， 40135=+a a ，则 =++1098a a a （?????? ）。

A ．72B ．60C ．48D ．367. 已知{}n a 是等差数列，且满足)(,n m m a n a n m ≠==，则n m a +等于________。

8.已知数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+21n a 成等差数列，且713,61153-=-=a a ，求8a 的值。

§等比数列的通项与求和一、知识导学1. 等比数列：一般地，如果一个数列从第２项起，每一项与它的前一项的比都等于 同 一 个 常 数，那 么 这 个 数 列 就 叫 做 等 比 数 列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母ｑ表示．2. 等比中项：若ａ，Ｇ，ｂ成等比数列，则称Ｇ 为ａ 和ｂ 的等比中项．3.等比数列的前n 项和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠-⋅-=--=⋅=)1(11)1()1(111q q qa a q q a q a n S n n n二、疑难知识导析1.由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q 也不为2.对于公比q ，要注意它是每一项与它前一项的比，防止把相邻两项的比的次序颠倒.3.“从第2项起”是因为首项没有“前一项”，同时应注意如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与它前一项的比都是同一个常数，此数列不是等比数列，这时可以说此数列从. 第2项或第3项起是一个等比数列.4.在已知等比数列的a 1和q 的前提下，利用通项公式a n =a 1q n-1,可求出等比数列中的任一项.5.在已知等比数列中任意两项的前提下，使用a n =a m q n-m 可求等比数列中任意一项.6.等比数列｛a n ｝的通项公式a n =a 1q n-1可改写为nn q qa a ⋅=1.当q>0，且q ≠1时，y=q x 是一个指数函数，而xq qa y ⋅=1是一个不为0 的常数与指数函数的积，因此等比数列｛a n ｝的图象是函数xq qa y ⋅=1的图象上的一群孤立的点.7．在解决等比数列问题时，如已知，a 1，a n ，d ，n S ，n 中任意三个，可求其余两个。

三、经典例题导讲[例1] 已知数列{}n a 的前n 项之和S n =aq n （q q a ,1,0≠≠为非零常数），则{}n a 为（ ）。

A.等差数列 B.等比数列C.既不是等差数列，也不是等比数列D.既是等差数列，又是等比数列错解：)1(111-=-=-=+++q aq aq aq S S a nn n n n n Θ)1(11-=-=∴--q aq S S a n n n nq a a nn =∴+1（常数） ∴{}n a 为等比数列，即B 。