实验六信号与系统复频域分析一、实验目的1.学会用MATLAB进行部分分式展开；2.学会用MATLAB分析LTI系统的特性；3.学会用MATLAB进行Laplace正、反变换。
4.学会用MATLAB画离散系统零极点图；5.学会用MATLAB分析离散系统的频率特性；二、实验原理及内容1．用MATLAB进行部分分式展开用MATLAB函数residue可以得到复杂有理分式F(s)的部分分式展开式，其调用格式为其中，num,den分别为F(s)的分子和分母多项式的系数向量，r为部分分式的系数，p为极点，k为F(s)中整式部分的系数，若F(s)为有理真分式，则k为零。
例6-1 用部分分式展开法求F(s)的反变换解:其MATLAB程序为format rat;num=[1,2];den=[1,4,3,0];[r,p]=residue(num,den)程序中format rat是将结果数据以分数形式显示F(s)可展开为210.536()13F s s s s --=++++ 所以，F(s)的反变换为3211()()326t t f t e e u t --⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦2．用MATLAB 分析LTI 系统的特性系统函数H （s ）通常是一个有理分式，其分子和分母均为多项式。
计算H （s ）的零极点可以应用MATLAB 中的roots 函数，求出分子和分母多项式的根，然后用plot 命令画图。
在MATLAB 中还有一种更简便的方法画系统函数H （s ）的零极点分布图，即用pzmap 函数画图。
其调用格式为pzmap(sys)sys 表示LTI 系统的模型，要借助tf 函数获得，其调用格式为sys=tf(b,a)式中，b 和a 分别为系统函数H （s ）的分子和分母多项式的系数向量。
如果已知系统函数H （s ），求系统的单位冲激响应h(t)和频率响应H ω（j ）可以用以前介绍过的impulse 和freqs 函数。
例6-2 已知系统函数为 321221s s s +++H(s)=试画出其零极点分布图，求系统的单位冲激响应h(t)和频率响应H ω（j ），并判断系统是否稳定。
解：其MATLAB 程序如下： num=[1];den=[1,2,2,1]; sys=tf(num,den); figure(1);pzmap(sys); t=0:0.02:10;h=impulse(num,den,t); figure(2);plot(t,h) title('Impulse Response') [H,w]=freqs(num,den); figure(3);plot(w,abs(H)) xlabel('\omega')title('Magnitude Response')3．用MATLAB 进行Laplace 正、反变换MATLAB 的符号数学工具箱提供了计算Laplace 正、反变换的函数Laplace 和ilaplace,其调用格式为上述两式右端的f 和F 分别为时域表示式和s 域表示式的符号表示，可以应用函数sym 实现，其调用格式为S=sym(A)式中，A 为待分析表示式的字符串，S 为符号数字或变量。
例6-3 试分别用Laplace 和ilaplace 函数求 （1）()sin()()t f t e at u t -=的Laplace 变换；（2）22()1s F s s =+的Laplace 反变换。
解：（1）其程序为f=sym('exp(-t)*sin(a*t)');F=laplace(f)或syms a tF=laplace(exp(-t)*sin(a*t))（2）其程序为F=sym('s^2/(s^2+1)');ft=ilaplace(F)或syms sft= ilaplace(s^2/(s^2+1))4．离散系统零极点图离散系统可以用下述差分方程描述：∑∑= =-= -Mm mNiimkfbikya)()(Z变换后可得系统函数：NNMMzazaazbzbbzFzYzH----++++++==......)()()(1111用MATLAB提供的root函数可分别求零点和极点，调用格式是p=[a0,a1…an],q=[b0,b1…bm,0,0…0], 补0使二者维数一样。
画零极点图的方法有多种，可以用MATLAB函数[z,p,k]=tf2zp(b,a)和zplane(q,p)，也可用plot命令自编一函数ljdt.m,画图时调用。
function ljdt(A,B)% The function to draw the pole-zero diagram for discrete system p=roots(A)；%求系统极点q=roots(B)；%求系统零点p=p'；%将极点列向量转置为行向量q=q'；%将零点列向量转置为行向量x=max(abs([p q 1]))；%确定纵坐标范围x=x+0.1；y=x；%确定横坐标范围clfhold onaxis([-x x -y y]) %确定坐标轴显示范围w=0:pi/300:2*pi；t=exp(i*w)；plot(t) %画单位园axis('square')plot([-x x],[0 0]) %画横坐标轴plot([0 0],[-y y]) %画纵坐标轴text(0.1,x,'jIm[z]')text(y,1/10,'Re[z]') plot(real(p),imag(p),'x') %画极点 plot(real(q),imag(q),'o')%画零点 title('pole-zero diagram for discrete system') %标注标题hold off例6-4 求系统函数零极点图131)(45+-+=z z z z H a=[3 -1 0 0 0 1]; b=[1 1]; ljdt(a,b) p=roots(a) q=roots(b) pa=abs(p)5．离散系统的频率特性离散系统的频率特性可由系统函数求出，既令ωj e z =,MATLAB函数freqz 可计算频率特性，调用格式是：[H ，W]=freqz(b,a,n)，b 和a 是系统函数分子分母系数，n 是π-0范围 n 个等份点，默认值512，H 是频率响应函数值，W 是相应频率点；[H ，W]=freqz(b,a,n,’whole’), n 是π2-0范围 n 个等份点； freqz(b,a,n)，直接画频率响应幅频和相频曲线； 例6-5 系统函数zz z H 5.0)(-=运行如下语句，可得10个频率点的计算结果A=[1 0];B=[1 -0.5];[H,W]=freqz(B,A,10)继续运行如下语句，可将400个频率点的计算结果用plot语句画幅频和相频曲线B=[1 -0.5];A =[1 0];[H,w]=freqz(B,A,400,'whole');Hf=abs(H);Hx=angle(H);clffigure(1)plot(w,Hf)title('离散系统幅频特性曲线')figure(2)plot(w,Hx)title('离散系统相频特性曲线')还可用freqz语句直接画图，注意区别A=[1 0];B=[1 -0.5];freqz(B,A,400)例6-6 用几何矢量法，自编程序画频率响应原理：频率响应∏∏==--=Ni ijMj jjj p e qe e H 11)()()(ωωω编程流程：定义Z 平面单位圆上k 个频率等分点；求出系统函数所有零点和极点到这些等分点的距离；求出系统函数所有零点和极点到这些等分点的矢量的相角；求出单位圆上各 频率等分点的)()(ωϕω和j e H画指定范围内的幅频与相频。
若要画零极点图，可调用ljdt.m 函数。
function dplxy(k,r,A,B)%The function to draw the frequency response of discrete system p=roots(A); %求极点 q=roots(B);%求零点figure(1) ljdt(A,B)%画零极点图 w=0:l*pi/k:r*pi;y=exp(i*w);%定义单位圆上的k 个频率等分点 N=length(p); %求极点个数 M=length(q);%求零点个数 yp=ones(N,1)*y;%定义行数为极点个数的单位圆向量yq=ones(M,1)*y;%定义行数为零点个数的单位圆向量vp=yp-p*ones(1,r*k+1); %定义极点到单位圆上各点的向量vq=yq-q*ones(1,r*k+1); %定义零点到单位圆上各点的向量Ai=abs(vp); %求出极点到单位圆上各点的向量的模Bj=abs(vq); %求出零点到单位圆上各点的向量的模Ci=angle(vp); %求出极点到单位圆上各点的向量的相角Dj=angle(vq); %求出零点到单位圆上各点的向量的相角fai=sum(Dj,1)-sum(Ci,1); %求系统相频响应H=prod(Bj,1)./prod(Ai,1); %求系统幅频响应figure(2)plot(w,H); %绘制幅频特性曲线title('离散系统幅频特性曲线')xlabel('角频率')ylabel('幅度')figure(3)plot(w,fai)title('离散系统的相频特性曲线') xlabel('角频率') ylabel('相位')已知系统函数114/11)1(4/5)(----=zz z H ，画频率响应和零极点图。
A=[1 -1/4]; B=[5/4 -5/4];dplxy(500,2,A,B) %绘制系统2π频率范围内500个频率点的幅频和相频特性曲线及零极点图三、上机实验内容1．验证实验原理中所述的相关程序； 2．求信号)()(3t u te t f t -=的拉普拉斯变换3．求函数23795)(223+++++=s s s s s s F 的反变换 4．已知连续系统的系统函数如下，试用MATLAB 绘制系统的零极点图，并根据零极点图判断系统的稳定性 5．系统函数是321551---+++zzz求频率响应。