有关，故ROC的边界总是平行于j 的直线。
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4.2 拉普拉斯变换
2）拉氏变换的收敛域内无极点。 3）时限信号的收敛域是整个S平面。 4）右边信号的收敛域是最右边极点的右边区域。 5）左边信号的收敛域是最左边极点的左边。 6）双边信号的拉氏变换如果存在，则它的收敛域是一个带形 区域。
f2 (t) F2 (s), Re[s] 2
则 f1(t) * f2 (t) F1(s)F2 (s), Re[s] max(1, 2 )
4.3.6 复频域卷积分性质
若 f1(t) ， f2 (t) 为因果信号，并且：
f1(t) F1(s), Re[s] 1
f2 (t) F2 (s), Re[s] 2
则
f1(t)
f2 (t)
1 2
j
c j
c j F1()F2 (s )d, Re[s] 1 2,1 c Re[s] 2
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4.3 单边拉普拉斯变换的性质
4.3.7 时域微.积分性质
若 f (t) F (s), Re[s] 0
n1
则 f (n) (t) sn F (s) sn1m f (m) (0 ) , Re[s] 0
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4.5 连续系统的复频域分析
二阶常系数线性微分方程的一般形式为：
d2
d
d2
d
dt2 y(t) a1 dt y(t) a0 y(t) b2 dt2 f (t) b1 dt f (t) b0 f (t)
式中，a0 、a1 和 b0 、 b1 、 b2 为实常数；f(t)为因果信号，
因此， f (0 ) 、 f (0 ) 均为零。设初始时刻 t0 0 ，y(t)的单边拉
双边拉普拉斯变换是信号 f (t)et 的傅里叶变换，因此，若 f (t)et
绝对可积，即
f (t) etdt
则f(t)的双边拉普拉斯变换一定存在。上式表明，F(s)是否存
在取决于能否选取适当的 。进一步说，由于 Re[s] ，所以，
F(s)是否存在取决于能否选取适当的S。由于F(s)的收敛域由S的实
（ 为实数），构建新的信号：
(t)et
eat et ( a)
et sin t
对于新构建的信号 f (t) e-t（ 为实数），如果能选择适当
的 使 f (t)e- t 绝对可积，
上一页 下一页 返回的傅里叶变换存在。
用 F( j) 表示该信号的傅里叶变换，根据傅里叶变换的定义，
普拉斯变换为Y(s)，对上式两端取单边拉普拉斯变换，根据时域微
分性质得
[s2Y(s) sy(0 ) y '(0 )] a1[sY(s) y(0 )] a0Y(s)
b2s2F (s) b1sF (s) b0F (s)
即 (s2 a1s a0 )Y (s) [(s a1) y(0 ) y '(0 )] (b2s2 b1s b0 )F (s)
对于简单的拉普拉斯逆变换可以用查表法。常见的拉普拉斯逆 变换如表4-2所示。
4.4.2 部分分式展开法
设F(s)是S的有理真分式
F(s)
B(s) A(s)
bmsm an s n
bm1sm1 ... b1s b0 an1sn1 ... a1s a0
（n>m）
式中系数 a0 , a1,..., an1, an ， b0,b1,...bm1,bm 都是实常数；m,n是正整 数。按代数定理可将F(s)展开为部分分式。
5． 正弦函数 f (t) sin t (t) 的拉氏变换
L[sint (t)] sintestdt 0
1
2j
0
e(s j)t
e(s j)t
dt
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4.2 拉普拉斯变换
即 同理
1 2j
s
1 j
s
1 j
s2
2
(Re[s]
0)
L[sin t ]
s2
s
L[t (t)]
test dt
0
[ te st s
]0
1 s
e st 1
0
s2
即
L[t
(t)]
1 s2
同理可得，当n为正整数
L[tn (t)]
n! s n 1
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4.2 拉普拉斯变换
3． 指数函数 f (t)=eat (t) (a是实常数)的拉氏变换
L[eat (t)]
2 j j
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4.2 拉普拉斯变换
4.2.2 双边拉普拉斯变换的收敛域
拉氏变换与傅里叶变换一样存在收敛域问题。并非任何信号的 拉氏变换都存在，也不是S平面上的任何复数都能使拉氏变换收敛。 不同的信号可能会有完全相同的拉氏变换表达式，只是它们的收敛 域不同。 只有拉氏变换表达式连同相应的收敛域，才能和信号建立
x
A(s)
与输入有关，而与初始值f (0 ) 、f '(0 ) 无关，因此，它是系统零
状态响应y(t)的单边拉普拉斯变换。求得逆变换，得到系统的全响
应：
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4.5 连续系统的复频域分析
y(t) y (t) y (t) L1[ M (s) B(s) F(s) ]
x
f
A(s) A(s)
f (t t0 ) (t t0 ) est0 F (s) , Re[s] 0
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4.3 单边拉普拉斯变换的性质
4.3.3 复频移性质
若 f (t) F (s), Re[s] 0
则 f (t)esat F (s sa ) , Re[s] 0 a , (sa a ja )
若 f (t) F (s), Re[s] 0
则
f (t)
t
s F()d, Re[s] 0
4.3.11 初值定理
若信号f(t)不包含冲激函数 (t) 及其各阶导数，并且
f (t) F (s), Re[s] 0
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4.3 单边拉普拉斯变换的性质
则信号f(t)的初值为
系统的初始状态决定。A(s)称为系统的特征多项式，A(s)=0称为系
统的特征方程， A(s)=0的根称为特征根；Y(s)的第一项M (s) 只与
A(s)
初始值y(0 ) 、y(0 ) 有关，与系统的输入无关，因此，它是系统
零输入响应y (t) 的单边拉普拉斯变换；Y(s)的第二项B(s) F (s) 只
在任一有限区间上满足狄利赫利条件，并要求 f (t) dt 存在。这是
一个比较苛刻的要求，有几种常见的情况就不满足狄里赫利条件：
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4.2 拉普拉斯变换
阶跃信号 f (t) (t)
增长信号 f (t) eat (a>0)
周期信号 f (t) sint
对这几种傅立叶变换不存在的信号，若乘一衰减因子 e-t
F
n1 (s) m1 snm1
f
(m) (0 ), Re[s] max( 0, 0)
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4.3 单边拉普拉斯变换的性质
4.3.9 复频域微分性质
若 f (t) F (s), Re[s] 0
则
(t)n f (t)
d nF (s) dsn
, Re[s]
0
4.3.10 复频域积分性质
4.3.4 尺度变换性质
若 f (t) F (s), Re[s] 0
则
f
(at)
1 a
F( t ), a
Re[s]
a 0
(a
0)
4.3.5 卷积性质
若 f1(t) ， f2 (t) 为因果信号，并且：
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4.3 单边拉普拉斯变换的性质
f1(t) F1(s), Re[s] 1
m0
若f(t)为因果信号，则 f (n) (0 ) 0 ( n 1, 2L )，此时，时域微
分性质表示为 f (n) (t) snF (s) , Re[s] 0
4.3.8 时域积分性质
若 f (t) F (s), Re[s] 0
则 f (n) (t)
t
(
)n
f
( x)dx
1 sn
f
(0 )
lim t 0
f
(t) lim sF s
(s)
4.3.12 终值定理
若f(t)在 t 时极限 f () 存在，并且 f (t) F (s), Re[s] 0
则的终值为
f () lim f (t) lim sF(s)
t
s0
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4.4 拉普拉斯逆变换
4.4.1 查表法
A(s) (s2 a1s a0 )
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4.5 连续系统的复频域分析
B(s) (b2s2 b1s b0 )
M (s) (s a1) y(0 ) y '(0 )
Y (s)
Yx (s)
Yf
(s)
M (s) A(s)
B(s) A(s)
F (s)
y(0 ) 和 y '(0 ) 是在 t 0 时刻的初始值，由 t 0 时刻
一一对应的关系。在以 为实轴， j 为虚轴如图4-1所示的复
平面中，使拉氏变换积分收敛的那些复数S的集合，称为拉氏变换的 收敛域 （Region of Convergence），拉氏变换的ROC是非常重要的 概念。
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4.2 拉普拉斯变换
任一信号f(t)的双边拉普拉斯变换不一定都存在。由于f(t)的
则有 F ( j) f (t)e( j)tdt
根据傅里叶逆变换的定义，则
f (t)et 1 F ( j)e jtd