n
(3.19)
这是一个用解析函数f ( z )的边界值表示其各阶导函数内 部值的积分公式.
注：
(1)
如果被积函数含有多个奇 点，就不能直接用公式 和 公式(3.19)可以改写成： (3.19)和(3.19)’
f (ξ ) 2πi ( n ) ∫C (ξ − z ) n+1 dξ = n! f ( z )
3. 柯西不等式与刘维尔定理 柯西不等式 : 含于D, 则有 设函数f ( z )在区域D内解析, a为D内 内一点,以a为圆心作圆周γ :| ξ − a |= R, 只要γ及其内部K均
柯西不等式是对解析函数各 阶导数模的估计式,说明解析 n! M ( R) (n) | f (a函数在解析点a的各阶导数 ) |≤ Rn 的估计与它的解析区域的大 其中M ( R ) = max | f ( z ) |, n = 1,2,L. 小密切相关. | z − a| = R
( z ∈ D, n = 1,2, L) (3.19)'
此公式可以计算一些周线积分。
cos z 例3.12 计算积分 ∫ dz, 其中C是绕i一周的周线. C ( z − i)3
应用上述定理得到： 应用上述定理得到：解析函数的无穷可微性
定理3.14 设函数f ( z )在z平面上的区域D内解析, 则 f ( z )在D内具有各阶导数, 并且它们在D内也解析.
(4) 由(3.15)得
f (ξ ) ∫C ξ − z dz = 2πif ( z ).
(5) 柯西积分公式的主要用途：用(4)计算某些周线 柯西积分公式的主要用途： 计算某些周线 积分。 积分。
1 f (ξ ) f ( z) = ∫C ξ − z dξ 2πi
( z ∈ D).
(3.15)
例3.10 设C是圆周 | ξ |= 2, 计算积分
1 f (ξ ) f ( z) = ∫C ξ − z dξ 2πi
( z ∈ D).
(3.15)
2. 解析函数的无穷可微性
定理3.13 在定理3.11的条件下,函数f ( z )在区域D内 有各阶导数, 并且有 n! f (ξ ) f ( z) = ∫C (ξ − z ) n+1 dξ ( z ∈ D) 2πi
在整个复平面上解析的函数称为整函数. 例如 : e x , cos x, sin x, 常数, 多项式都是整函数.
刘维尔定理 : 有界整函数必为常数.
这是一个非局部性命题,也是模有界定理 其逆也真. 也是模有界定理. 注: 这是一个非局部性命题 也是模有界定理 其逆也真
代数学基本定理 : 在z平面上, n次多项式 p ( z ) = a0 z n + a1 z n −1 + L + an 至少有一个零点. ( a0 ≠ 0)
注：
1 f (ξ ) f ( z) = ∫C ξ − z dξ 2πi
( z ∈ D).
(3.15)Βιβλιοθήκη (1).(3.15)即柯西积分公式. (2).(3.15)是用边界值表示解析函数内部值的积分公式, 是研究 各种解析函数的重要工具. 1 f (ξ ) (3). ∫C ξ − z dz 2πi (z ∉ C) 称为柯西积分.
∫
C
f ( z )dz = 0.
定理2.5 (解析的充要条件 解析的充要条件) 定理 解析的充要条件 函数f(z) = u(x,y) + iv(x,y) 在区域D内解析的 充要条件是:
(1).二元函数u x , u y , v x , v y 在区域D内连续; (2).u ( x, y ), v( x, y )在区域D内满足C. − R.方程.
∫
ξ
(9 − ξ )(ξ + i )
2
C
dξ
1 f (ξ ) f ( z) = ∫C ξ − z dξ 2πi
( z ∈ D).
(3.15)
计算某些周线积分,被积函数在 注：用(4)计算某些周线积分 被积函数在 的内部 计算某些周线积分 被积函数在C的内部 只含有一个奇点,若有两个奇点 若有两个奇点， 只含有一个奇点 若有两个奇点，则不能直接用 柯西积分公式。 柯西积分公式。
4. 摩勒拉 摩勒拉(Morera)定理 定理
定理3.16( Morera定理) 若函数f ( z )在单连通区域D内 连续, 且对D内任一周线C , 有
∫
则f ( z )在D内解析.
C
f ( z )dz = 0,
注. 此即柯西积分定理的逆命题.
定理3.17 设函数f ( z )在区域G内解析的充要条件是 : (i ) f ( z )在G内连续; (ii ) C为G内任一条周线, 则
第三节 柯西积分公式
1.柯西积分公式 定理3.11 设区域D的边界是周线(或复周线)C , 函数f ( z ) 在D内解析, 在 D = D + C上连续, 则有 1 f (ξ ) f ( z0 ) = ∫C ξ − z0 dξ 2πi ( z0 ∈ D). (3.15)
由于z0的任意性，柯西积分公式： f ( z) = 1 f (ξ ) ∫C ξ − z dξ 2πi ( z ∈ D). (3.15)
例2.计算积分 4 dz ( j = 1,2,3) ∫C j z 2 − 1 1 1 (1)C1 :| z + 1 |= ; (2)C2 :| z − 1 |= ; (3)C3 :| z |= 2; 2 2 sin
π
z
特别的 : 有解析函数平均值定理 定理3.12 如果函数f ( z )在 | ξ − z0 |< R内解析, 在闭圆 | ξ − z0 |≤ R上连续, 则 1 2π f ( z0 ) = f ( z0 + Re iφ )dφ , 2π ∫0 即f ( z )在圆心z0的值等于它在圆周上的值的算术平均数.