S 0 ( 2 BC
2h h ) tan 2
BC
S0 h h tan
L
S0 h 2h h tan sin
dy （20 分） dx
三、求由下列方程所确定的隐函数 y 的导数
(1) y22x y90 (2) x3y33axy0 (3) xyexy (4) y1xey
y
时 求湿周 L(LABBCCD)与水深 h 之间的函数关系式 并指明其定义域 （20 分）
ay x2 y 2 ax
(3)方程两边求导数得 y x ye xy (1y)
-1-
于是
(xe xy)ye xyy
y
ex y y x ex y
2
表面上升的速度为多少？（20 分） 解：设在 t 时刻容器中的水深为 h ,水面半径为 r ，水的容积为 V ，由
1 2 h3 ,V 't 3h2 h 't h2 h 't 故 V r h 3 12 12 4
当 h 5 时， V 't 4 ，故 h 't
r h h ，得 r ， 2 4 8
S (168t (6t
2 )2 )2
2S
dS
16(168t) 72t
dt dS 16(168t) 72t dt 2S
当 t1 时 S10
dS dt
12872 2.8(km/h)
t1
20
即下午一点正两船相离的速度为28km/h
(1)方程两边求导数得 于是 2y y2y2x y 0 (yx)yy
y
y yx
(2)方程两边求导数得 3x23y2y2ay3axy0 于是 (y2ax)yayx2
二、已知水渠的横断面为等腰梯形 斜角 40(图 1) 当过水断面 ABCD 的面积为定值 S0
西南大学网络与继续教育学院课程考试试题卷
类别：网教 专业： 建筑工程技术 2016 年 12 月 A卷 满分：100 分
解： AB CD
课程名称【编号】 ： 9102 【高等数学】 大作业
图1
h sin
注意：请从下列六道大题中选作五道。 一、设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(l l)上的 证明 （20 分） (1)两个偶函数的和是偶函数 两个奇函数的和是奇函数 (2)两个偶函数的乘积是偶函数 两个奇函数的乘积是偶函数 偶函数与奇函数的乘 积是奇函数 解：证明 (1)设 F(x)f(x)g(x) 如果 f(x)和 g(x)都是偶函数 则 F(−x)f(−x)g(−x)f(x)g(x)F(x) 所以 F(x)为偶函数 即两个偶函数的和是偶函数如果 f(x)和 g(x)都是奇函数 则 F(−x)f(−x)g(−x)f(x)−g(x)F(x) 所以 F(x)为奇函数 即两个奇函数的和是奇函数 (2)设 F(x)f(x) g(x) 如果 f(x)和 g(x)都是偶函数 则 F(−x)f(−x) g(−x)f(x) g(x)F(x) 所以 F(x)为偶函数 即两个偶函数的积是偶函数如果 f(x)和 g(x)都是奇函数 则 F(−x)f(−x) g(−x)[−f(x)][−g(x)]f(x) g(x)F(x) 所以 F(x)为偶函数 即两个奇函数的积是偶函数如果 f(x)是偶函数 而 g(x)是奇函数 则 F(−x)f(−x) g(−x)f(x)[−g(x)]f(x) g(x)F(x) 所以 F(x)为奇函数 即偶函数与奇函数的积是奇函数 解：
-2-
(4)方程两边求导数得 于是 ye yxeyy (1xe y)ye y 六、求下列函数的导数 （20 分）
y
1 xe y
ey

(1)yx4 (2) y 3 x2 (3)yx1 6 1 (4) y x
四、 注水入深 8m 上顶径 8m 的正圆锥形容器中 其速率为 4m /min 当水深为 5m 时 其
16 0.204 （ m /min） 25
五、甲船以 6km/h 的速率向东行驶 乙船以 8km/h 的速率向南行驶 在中午十二点正 乙
船位于甲船之北 16km 处 问下午一点正两船相离的速率为多少?（20 分） 解：设从中午十二点开始 经过 t 小时 两船之间的距离为 S 则有