第四章 不定积分
一、学习要求
1、理解原函数与不定积分的概念及性质。

2、掌握不定积分的第一类换元法、第二类换元法及分部积分法。

二、练习
1．在下列等式中，正确的结果是( C ). A.'()()f x dx f x =⎰ B.()()df x f x =⎰ C.()()d f x dx f x dx =⎰
D.[()]()d f x dx f x =⎰ 2.若ln x 是函数()f x 的一个原函数，则()f x 的另一个原函数是（ A ）； A. ln ax B.1ln ax a C.ln x a + D.21(ln )2
x 3.设()f x 的一个原函数是2x e -，则()f x ＝（ B ）；
A. 2x e -
B. 22x e --
C. 24x e --
D. 24x e -
4．''
()xf x dx =⎰（ C ）.
A.'()xf x C +
B. '()()f x f x C -+
C. '()()xf x f x C -+
D. '()()xf x f x C ++. 5
．将化为有理函数的积分，应作变换x =（ D ）. A. 3
t B. 4t C. 7t D. 12t 6.dx = 1/7 ()73d x -，
2cos 2dx x = 1/2 ()tan 2d x ，219dx x =+1/3 ()arctan3d x ； 7. 已知(31)x f x e '-=，则()f x =1
33x e c ++.
8.设()f x 是可导函数，则'()d f x x ⎰为()f x C +.
9.过点(1,2)且切线斜率为34x 的曲线方程为41y x =+
10.已知()cos xf x dx x C =+⎰，则()f x =sin x x
- 11.求下列不定积分
解: (1) 2232tan 1tan tan tan 1sin 3
x dx xd x x c x ==+-⎰⎰ (2) 22arctan 11
x x
x x x x x dx e dx de e c e e e e -===++++⎰⎰⎰ 5342(3)tan sec tan sec sec x xdx x xd x ⋅=⋅⎰⎰222(sec 1)sec sec x xd x =-⋅⎰
()642sec 2sec sec sec x x x d x =-+⎰753121sec sec sec 753
x x x c =-++
(4)(1(1
1(1)
x
dx dx
x
==-
-+
⎰⎰
3
2
2
(1)
3
x x c
=-+++
2
,1,
t x t
==-
()
2
32
1
212
2(1)
13
t t
dt t t dt t t c
t
-⎛⎫
==-=-+
⎪
+⎝⎭
⎰⎰
()
3
1
2
1
3
x c
=-++
3
2
2
(1)
3
x x c
=-+++
(5)22
22
111
(1)ln(1)
1212
x
dx d x x c
x x
=+=++
++
⎰⎰
(6)
333
2ln ln ln ln
333
x x x
x xdx xd x d x
==⋅-
⎰⎰⎰
2
333
111
ln ln
3339
x
x x dx x x x c
=⋅-=-+
⎰
(7)()
2211
1ln(1) 111
x x
dx dx dx x dx x c x x x
-
=+=-+++ +++
⎰⎰⎰⎰
2
1
ln(1)
2
x x x c
=-+++
(8)
2
arctan arctan
2
x
x xdx xd
=
⎰⎰22
arctan arctan
22
x x
x d x
=-⎰
22
2
1
arctan
221
x x
x dx
x
=-⋅
+
⎰22
11
arctan1
221
x
x dx
x
⎛⎫
=--
⎪
+
⎝⎭
⎰
21
arctan arctan
222
x x
x x c
=-++
(9) ⎰
2
12
,,
33
t
t x dx tdt
-
===-
则
原式
2
22
122
()(1)
339
t
t t dt t t dt
-
=⋅-=--
⎰⎰
33
2455
22122
()()
99352745
t t
t t dt t c t c
=--=--+=-++
⎰
（10）
222
23221
222222
x x
dx dx dx
x x x x x x
++
=+
++++++
⎰⎰⎰
222211(22)(1)ln 22arctan(1)22(1)1
d x x d x x x x C x x x =++++=+++++++++⎰⎰12．曲线过点2(,3)
e ，且在任意点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，试求此曲线方程.
解：令所求曲线为()y f x =，任意点为(,)x y ，
由已知条件可得： '1()k f x x =
切线＝， 则 1()ln f x dx x C x ==+⎰； 又因为曲线过点2(,3)e ，可得 23ln 1e C C =+⇒=， 所以此曲线方程为()ln 1f x x =+.
13.选做题：求-.x e dx ⎰
解：当0x ≥时，--1,x x x e dx e dx e C -==-+⎰
⎰ 当0x <时，-2,x x x e dx e dx e C ==+⎰⎰
()12,0;,0
x x e C x F x e C x -⎧-+≥⎪∴=⎨+<⎪⎩ ()()()1200
lim lim 0,2.x x F x F x F C C C +-→→==∴==+ ()2,0,0
x x e C x F x e C x -⎧-++≥⎪=⎨+<⎪⎩ 14. 选做题
(1)若x e -是()f x 的原函数，则()2ln x f x dx ⎰＝ ，若()f x 是x
e -的原函数，则()ln
f x dx x ⎰＝ .
(2) ;（3）4sin xdx ⎰.
解：(1) ()()x x f x e e --'==-，则()ln 1ln x f x e x
-=-=-， ()22211ln 2
x f x dx x dx xdx x c x =-⋅=-=-+⎰⎰⎰. 又()x f x e -'=，则()x x f x e dx e C --==-+⎰，()ln 111ln x
f x e C C x
-=-+=-+ ()112ln 11ln f x C dx dx C x C x x x x ⎛⎫=-+=++ ⎪⎝⎭⎰⎰.
(2) (
(222arcsin arcsin C
====+⎰
(
(2
2C ==+⎰
（3）()241cos 2sin 4x xdx dx -=
⎰⎰
()
212cos 2cos 24x x dx -+=⎰1cos 412cos 213cos 422cos 2442
2x x x dx x dx +⎛⎫-+ ⎪⎛⎫⎝⎭==-+ ⎪⎝⎭⎰⎰ 31cos 431sin 4cos 2sin 28288432x x x dx x x c ⎛⎫=-+=-++ ⎪⎝⎭
⎰ 15.选做题
已知()sin ,0
1,0,x x x f x e x ≥⎧⎨-<⎩＝求()1f x dx -⎰.
解：(1) ()()()1sin 1,1sin ,011,0,1,1,x x x x x x f x f x e x e x -⎧-≥≥⎧⎪-⎨
⎨-<-<⎪⎩⎩＝＝ 当1x ≥时，
()()()11sin 1cos 1f x dx x dx x C -=-=--+⎰⎰ 当1x <时， ()()11211x x f x dx e dx e x C ---=-=-+⎰⎰。