(k012)
时有
当k充分大时y(xk)M
当x0+时函数 不是无穷大这是因为
M0对所有的0总可以找到这样的点xk使0xk但y(xk)M例如可取
(k012)
当k充分大时xk但y(xk)2ksin2k0M
x
0X0使当xX时有恒|f(x)A|
0X0使当xX时有恒|f(x)|M
0X0使当xX时有恒f(x)M
0X0使当xX时有恒f(x)M
6函数yxcosx在()内是否有界？这个函数是否为当x时的无穷大？为什么？
解函数yxcosx在()内无界
这是因为M0在()内总能找到这样的x使得|y(x)|M例如
y(2k)2kcos2k2k(k012)
当k充分大时就有|y(2k)|M
当x时函数yxcosx不是无穷大
这是因为M0找不到这样一个时刻N使对一切大于N的x都有|y(x)|M例如
(k012)
对任何大的N当k充分大时总有 但|y(x)|0M
7证明函数 在区间(01]上无界但这函数不是当x0+时的无穷大
证明函数 在区间(01]上无界这是使当0x0x时有恒f(x)M
x
0X0使当|x|X时有恒|f(x)A|
0X0使当|x|X时有恒|f(x)|M
0X0使当|x|X时有恒f(x)M
0X0使当|x|X时有恒f(x)M
x
0X0使当xX时有恒|f(x)A|
0X0使当xX时有恒|f(x)|M
0X0使当xX时有恒f(x)M
0X0使当xX时有恒f(x)M
5根据函数极限或无穷大定义填写下表
f(x)A
f(x)
f(x)
f(x)
xx0
00使
当0|xx0|时
有恒|f(x)A|
xx0
xx0
x
0X0使当|x|X时
有恒|f(x)|M
x
x
解
f(x)A
f(x)
f(x)
f(x)
xx0
00使当0|xx0|时有恒|f(x)A|
M00使当0|xx0|时有恒|f(x)|M
M00使当0|xx0|时有恒f(x)M
M00使当0|xx0|时有恒f(x)M
xx0
00使当0xx0时有恒|f(x)A|
M00使当0xx0时有恒|f(x)|M
M00使当0xx0时有恒f(x)M
M00使当0xx0时有恒f(x)M
xx0
00使当0x0x时有恒|f(x)A|
M00使当0x0x时有恒|f(x)|M
M00使当0x0x时有恒f(x)M
习题14
1两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之
解不一定
例如当x0时(x)2x(x)3x都是无穷小但 不是无穷小
2根据定义证明
(1) 当x3时为无穷小;
(2) 当x0时为无穷小
证明(1)当x3时 因为0当0|x3|时有
所以当x3时 为无穷小
(2)当x0时 因为0当0|x0|时有
所以当x0时 为无穷小
3根据定义证明函数 为当x0时的无穷大问x应满足什么条件能使|y|104？
证明分析 要使|y|M只须 即
证明因为M0 使当0|x0|时有
所以当x0时函数 是无穷大
取M104则 当 时|y|104
4求下列极限并说明理由
(1) ;
(2)
解(1)因为 而当x时 是无穷小所以
(2)因为 (x1)而当x0时x为无穷小所以