(13)
(1 x) 2
dx ;
ar
3 x2 1 )dx 2 x 2
1 2 2 x3 x 2 x 2 x C . 3 3 5
3
5
n.
3
3 2 3 2 ( x 1)( x 1)dx ( x x x 1)dx x dx x 2 dx x 2 dx dx
w.
tt
le
ar
n.
ne
x 因为 ( 1 e 2 x ) e 2 x , 所以 1 e2 x 是 e 的原函数. 2 2 chx shx 因为 (e x sh x ) e x sh x e x ch x e x (sh x ch x ) x x x x e x ( e e e e ) e2 x , 2 2 x 所以 e x sh x 是 e 的原函数. chx shx 因为 (e x ch x ) e x ch x e x sh x e x (ch x sh x ) x x x x e x ( e e e e ) e2 x , 2 2 x 所以 e x ch x 是 e 的原函数. chx shx
(10)
解
dx d (5 ln | x |) ; x dx 1 d (5 ln | x |) . x 5 dx d (3 5 ln | x |) ; x
(11)
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w.
解 e 2 dx 2 d (1 e
tt
x 2
);
x 2
).
le
(7)e 2x dx
d(e2x);
ar
(6)x3dx d(3x42); 1 解 x3dx d(3x42). 12
n.
1 d (1 x 2 ) . 2
ne
t
(4) xdx d(5x2); 1 解 xd x d(5x2). 10
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习题 41 1. 求下列不定积分: 1 (1) 2 dx ; x 1 1 1 解 2 dx x 2 dx x 2 1 C C . x 2 1 x (2) x x dx ; 解
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证明
x x ex x x e x x e x e2x . chx shx e e e e e 2 2
ww
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(19) 3 x e x dx ;
(20)
23 x 52 x dx ; 3x
2 3 x 5 2 x 3x
解

解
sec x(sec x tan x)dx (sec
ww
x (22) cos 2 dx ; 2
解
cos
2
(23)
解
1 dx ; 1 cos 2 x
(25)
解
cos 2 x dx ; cos 2 x sin 2 x
cos 2 x cos 2 x sin 2 x 1 1 dx cos 2 x sin 2 x cos 2 x sin 2 x dx ( sin 2 x cos 2 x )dx cot x tan x C .
(2)由 t 3360, 得物体走完 360m 所需的时间 t 3 360 7.11 s. ex 1 4. 证明函数 e 2 x , e x sh x 和 e x ch x 都是 的原函数. chx shx 2
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解
dx 1 d (3 5 ln | x |) . x 5
dx 1 9 x 2 dx
2
(12)
解
d (arctan 3x) ; 1 d (arctan 3x) . 3
1 9 x
(13)
dx 1 x 2 dx 1 x 2
(11) ( x 2 1) 2 dx ;
解
(x
2
1 2 1) 2 dx ( x 4 2 x 2 1)dx x 4 dx 2 x 2 dx dx x 5 x 3 x C . 5 3
解
x
(1 x) 2 x
le
dx ( x
1 2 1 2x 2
ar
1 y dx ln | x | C . x
n.
2. 一曲线通过点(e2, 3), 且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数, 求该曲 线的方程. 解 设该曲线的方程为 yf(x), 则由题意得
ne
t
1 4 1 2 x x dx ( x 4 x 4 ) dx x 4 4 x 4 C . 7 x
1 x2 ) x x dx ;
3 5 7 1
(26) (1
解
1 y f ( x) , x
所以
ww
解 设位移函数为 ss(t), 则 sv3 t2, s 3t 2 dt t 3 C .
因为当 t0 时, s0, 所以 C0. 因此位移函数为 st 3. (1)在 3 秒后物体离开出发点的距离是 ss(3)3327.
ww
解
(2e
x
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w.
(14)
3 x 4 3 x 2 1 dx ; x 2 1 3 x 4 3 x 2 1 1 解 dx (3 x 2 2 )dx x 3 arctan x C . 2 x 1 x 1 2 x (15) dx ; 1 x 2 x2 x 2 11 1 解 dx dx (1 ) dx x arctan x C . 2 2 1 x 1 x 1 x 2 3 (16) (2e x )dx ; x 3 1 )dx 2 e x dx 3 dx 2e x 3 ln | x | C . x x
1 1 1
1 cos 2 x dx 2 cos 2 x dx 2 tan x C .
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w.
x 1 cos x 1 1 dx dx (1 cos x)dx ( x sin x) C . 2 2 2 2
5x
3
5 dx 5 x 3 dx x 4 C . 4
(8) ( x 2 3x 2)dx ; 解
(x
2
1 3 3x 2)dx x 2 dx 3 xdx 2 dx x 3 x 2 2 x C . 3 2
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1 x
2
x2
1 x
dx x

5 2 dx
(6) m x n dx ; 解
w.
tt
n m x dx
1 3 1 1 x 2 C C . 5 2 x x 1 2

m
x dx
n
1
le
5
n 1 m C x
x
dx ;
ww
n 1 m
(7) 5 x 3 dx ; 解
w.
yln|x|1. 3. 一物体由静止开始运动, 经 t 秒后的速度是 3t2(m/s), 问 (1)在 3 秒后物体离开出发点的距离是多少？ (2)物体走完 360m 需要多少时间？
tt
3f(e 2)ln|e 2|C2C, C321. 于是所求曲线的方程为
le
又因为曲线通过点(e2, 3), 所以有321
解 xdx 1 d(x2). 2
(5) xdx d (1 x 2 ) ;
解 xdx
解 e 2x dx 1 d(e2x). 2
(8) e 2 dx d (1 e
x
x
ww
3 3 (9) sin xdx d (cos x) ; 2 2
3 2 3 解 sin xdx d (cos x) . 2 3 2
t
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习题 42
1 1. 在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数使等式成立(例如 dx d ( 4 x 7 ) : 4
(1) dxd(ax); 1 解 dx d(ax). a
(2) dx d(7x3); 1 解 dx d(7x3). 7 (3) xdx d(x2);
h

1 2 dh
1 2g
1
2h 2 C
2h C . g
(10) ( x 2) 2 dx ;
解
( x 2)
2
1 dx ( x 2 4 x 4)dx x 2 dx 4 xdx 4 dx x 3 2 x 2 4 x C . 3
ar
m x nm
mn m
n.
C .
ne
t

1
dx x

1 2 dx
1 1 x 2 C 2 x C . 1 1 2
1
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(9)
dh 2 gh
(g 是常数);
解

dh 2 gh

1 2g
tt
2
(21) sec x (sec x tan x )dx ;
le
2 ( )x 2 x 5 2 dx [2 5( ) ]dx 2 x 5 3 C 2 x ( ) x C . 2 3 ln 2 ln 3 3 ln 3